К=0, М=8 (задачи 2, 4, 5, 6)

  • ID: 00891 
  • 14 страниц
x

Часть текста скрыта. После покупки Вы получаете полную версию

Фрагмент работы:

К=0, М=8 (задачи 2, 4, 5, 6)

ЗАДАЧА 2.

Имеется коробка с 3 изделиями одного образца, причем среди них с одинаковой вероятностью возможно любое количество бракованных изделий (от 0 до 3). Из коробки наудачу выбирается одновременно три изделия.

1. Определить вероятность того, что среди извлеченных изделий будет хотя бы одно бракованное.

2. Извлеченные из коробки три изделия оказались одного типа (бракованные или небракованные). Какой состав коробки вероятнее всего?

Решение: Введем события:

Событие Н1 - в коробке нет бракованных изделий

Событие Н2 - в коробке имеется одно бракованное

Событие Н3 - в коробке имеется два бракованных

Событие Н4 - в коробке имеется три бракованных

Тогда

1) Событие А - среди извлеченных изделий будет хотя бы одно бракованное. Противоположное событие... - среди извлеченных изделий будут все небракованные

Вероятность события... найдем по формуле полной вероятности:

- вероятность взять три небракованных изделия, при условии того, что произошло событие Н1.

- вероятность взять три небракованных изделия, при условии того, что произошло событие Н2.

- вероятность взять три небракованных изделия, при условии того, что произошло событие Н3.

- вероятность взять три небракованных изделия, при условии того, что произошло событие Н4.

Следовательно

2) вероятность того, что взятые изделия из коробки оказались одного типа будет равна...

Используя формулу Байеса найдем следующие вероятности:

Вероятнее всего в коробке находятся все бракованные изделия или все небракованные.

ЗАДАЧА 4.

Из поступивших в ремонт 12 часов 8 нуждаются в общей чистке механизма. Часы не рассортированы по виду ремонта. Мастер, желая найти часы, нуждающиеся в чистке, рассматривает их поочередно и, найдя такие часы, прекращает дальнейший просмотр. Рассматривается случайная величина... - число просмотренных часов.

1. Составить ряд распределения с.в....и представить его графически.

2. Найти функцию распределения с.в.... и построить ее график.

3. Вычислить математическое ожидание..., дисперсию...и среднее квадратическое отклонение....

4. Определить вероятности:

a)...

b)...

c)...

Решение: с.в.... может принимать следующие значения - 1, 2, 3, 4, 5

Найдем следующие вероятности:

Проверка:...

Составим закон распределения:

1 2 3 4 5

2) Построим функцию распределения

Если......то...

Если......то...

Если......то...

Если......то...

Если......то...

Если......то...

Таким образом

Построим график функции распределения:

3) Математическое ожидание вычислим по формуле:

Дисперсию вычислим по формуле:

Среднее квадратическое отклонение равно:

4) Определим вероятности:

a)...

b)...

c)

ЗАДАЧА 5.

При исследовании некоторого непрерывного признака... экзаменатор предположил, что этот признак подчиняется закону распределения с плотностью распределения

1. Установить неизвестную постоянную С и построить график функции...

2. Найти функцию распределения с.в....и построить ее график.

3. Вычислить математическое ожидание..., дисперсию...и среднее квадратическое отклонение....

4. Во сколько раз число опытов, в которых экспериментатор будет получать результат меньше среднего значения, превышает число опытов, в которых результат будет больше средего?

РЕШЕНИЕ:

1. Для определения коэффициента С воспользуемся свойством:

В нашем случае

Тогда

откуда...

Итак

Построим график функции плотности распределения...:

2. Найдем функцию распределения...

Если..., то...

Если..., то...

Если..., то

Если..., то

т.е.

Построим график функции распределения:

3. Математическое ожидание... равно:

дисперсия...

и среднее квадратическое отклонение...:

4....

Тогда получаем, что... раз больше.

ЗАДАЧА 6.

Служба контроля энергосбыта провела проверку расхода электроэнергии в течение месяца 25 квартиросъемщиками однокомнатных квартир города N. Получены следующие данные (в кВт.ч.):

167,508 179,388 192,564 171,072 167,724 201,852 173,988 182,520 195,156

180,576 183,600 195,588 171,072 142,992 191,268 174,744 210,060

189,972 197,748 170,316 182,412 209,628 172,692 193,536 166,644

Необходимо:

1. Определить исследуемый признак и его тип (дискретный или непрерывный).

2. В зависимости от типа признака построить полигон или гистограмму относительных частот.

3. На основе визуального анализа полигона (гистограммы) сформулировать гипотезу о законе распределения признака.

4. Вычислить выборочные характеристики изучаемого признака: среднее, дисперсию, среднее квадратическое (стандартное) отклонение.

5. Использую критерий согласия "хи-квадрат" Пирсона, проверить соответствие выборочных данных выдвинутому в п.3. закону распределения при уровне значимости 0.05

6. Для генеральной средней и дисперсии построить доверительные интервалы, соответствующие доверительной вероятности 0,95.

7. С надежностью 0,95 проверить гипотезу о равенстве:

а) генеральной средней значению 162.

б) генеральной дисперсии значению 262,44.

РЕШЕНИЕ:

1. В данной задаче исследуемым признаком является расход электроэнергии.

Исследуемый признак является непрерывным, так как он принимает значения, заполняющие конечный промежуток (142,992; 210,06) числовой оси Ох.

2. Для иллюстрации распределения непрерывной случайной величины пользуются гистограммами.

Построим вариационный ряд:

142,992 166,644 167,508 167,724 170,316 171,072 172,692 173,988 174,744

1 1 1 1 1 2 1 1 1

179,388 180,576 182,412 182,52 183,6 189,972 191,268 192,564 193,536

1 1 1 1 1 1 1 1 1

195,156 195,588 197,748 201,852 209,628 210,06

1 1 1 1 1 1

Разобьем вариационный ряд на n равных интервалов длиной h:

Вычислим относительные частоты по формуле и все вычисления запишем в таблицу, т.е. построим вариационный ряд относительных частот:...

Получим следующий интервальный ряд:

Номер

интервала... Граница интервала Частота... Относительная частота

1 142,992 154,170 1 1/25

2 154,170 165,348 0 0

3 165,348 176,526 9 9/25

4 176,526 187,704 5 5/25

5 187,704 198,882 7 7/25

6 198,882 210,060 3 3/25

Построим гистограмму относительных частот:

5. Вычислим средние характеристики. Для этого найдем середины интервалов и примем их в качестве вариант:

148,581 159,759 170,937 182,115 193,293 204,471

1 0 9 5 7 3

Средняя выборочная:...

Средняя выборочная квадратов:...

Выборочная дисперсия:...

Квадратическое отклонение:...

5. Используя критерий согласия "хи-квадрат" Пирсона, проверим соответствие выборочных данных выдвинутому в п.3. закону о нормальном распределении при уровне значимости 0.05.

а) выборочные характеристики равны:

и...

б) проведем объединение интервалов

Номер

интервала... Граница интервала Частота...

1 142,992 176,526 10

2 176,526 187,704 5

3 187,704 198,882 7

4 198,882 210,060 3

в) найдем интервалы.... Для этого составим расчетную таблицу

Границы интервала Границы интервала

1 142,992 176,526 -39,570 -6,036 -2,911 -0,444

2 176,526 187,704 -6,036 5,142 -0,444 0,378

3 187,704 198,882 5,142 16,320 0,378 1,201

4 198,882 210,060 16,320 27,498 1,201 2,023

г) найдем теоретические вероятности Pi и теоретические частоты ni/=nPi=25*Pi. Для этого составим расчетную таблицу:

Границы интервала Границы интервала

=...

1... -0,444 -0,500 -0,170 0,330 8,250

2 -0,444 0,378 -0,170 0,148 0,318 7,950

3 0,378 1,201 0,148 0,385 0,237 5,923

4 1,201... 0,385 0,500 0,115 2,878

д) сравним эмпирические и теоретические частоты, используя критерий Пирсона.

Вычислим наблюдаемое значение Пирсона. Для этого составим вспомогательную таблицу:

i ni ni/ ni- ni/ (ni- ni/)2 (ni- ni/)2/ ni/ ni2 ni2/ ni/

1 10 8,250 1,750 3,063 0,371 100 12,121

2 5 7,950 -2,950 8,703 1,095 25 3,145

3 7 5,923 1,078 1,161 0,196 49 8,274

4 3 2,878 0,123 0,015 0,005 9 3,128

сумма... 26,667

По таблице критических точек распределения..., по уровню значимости... и числу степеней свободы...(s- число интервалов) находим критическую точку правосторонней критической области....

Так как...-принимаем гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности.

6. Найдем исправленное среднее квадратическое отклонение

Доверительный интервал для оценки средней найдем по формуле:

Где значение... определили по таблице Стьюдента

Тогда

Доверительный интервал для оценки дисперсии найдем по формуле:

По данным... и n=25 по таблице "хи-квадрат" определяем:

и....

Подставляя все в формулу найдем доверительный интервал:

7. С надежностью 0,95 проверить гипотезу о равенстве:

а) генеральной средней значению 162.

Так как доверительный интервал..., найденный в п.6 не накрывает значение 162, то гипотезу о равенстве генеральной средней значению 162 не принимаем.

б) генеральной дисперсии значению 262,44.

Так как значение...= 262,44 накрывается интервалом..., то гипотезу о равенстве генеральной дисперсии значению 262,44 принимаем.