Вариант 21. Из 12 книг 4 имеют твердый переплет. Наудачу выбираются 5 книг. Какова вероятность, что среди них окажутся 3 книги в мягком переплете?

  • ID: 06924 
  • 15 страниц

Фрагмент работы:

Задание 1

Задача 1

Из 12 книг 4 имеют твердый переплет. Наудачу выбираются 5 книг. Какова вероятность, что среди них окажутся 3 книги в мягком переплете?

Решение:

Число всех элементарных исходов равно:

Число благоприятствующих исходов равно:

По формуле классической вероятности находим вероятность события:

Задача 3

Прибор состоит из трех элементов. Отказы в работе элементов за некоторый промежуток времени Т независимы, а их вероятности равны 0.1, 0.2 и 0.25 соответственно. Найти вероятность того, что за время Т откажут не менее двух элементов.

Решение:

Не мене двух – это два или три прибора откажут. Тогда

Задача 4

Прибор содержит 3 элемента, выходящие из строя с вероятностями 0.1, 0.2 и 0.3. Прибор отказывает в работе при выходе из строя одного элемента с вероятностью 0.2, двух элементов - 0.5 и трех элементов - 1. Найти вероятность того, что прибор отказывает в работе. Какова вероятность, что при этом из строя вышел только один элемент?

Решение:

Введем события:

Событие А – прибор отказывает в работе

Событие Н1 – отказал один элемент

Событие Н2 – отказали два элемента

Событие Н3 – отказали три элемента

Событие Н4 –ни один элемент не отказал

Тогда,

1) Вероятность события найдем по формуле полной вероятности:

где,

Следовательно,

Вероятность того, что при этом из строя вышел только один элемент найдем по формуле Байеса:

Задача 5

Рассматривается серия из n независимых испытаний с вероятностью «успеха» в отдельном испытании р и вероятностью «неуспеха» q. X— число успехов в серии из и независимых испытаний. Требуется:

1) для малого n=4 при вероятности успеха р=0,6 построить ряд распределения случайной величины X, найти функцию распределения F(x), математическое ожидание MX, дисперсию DX, вероятность Р{Х 2} и вероятность хотя бы одного успеха в n испытаниях;

2) для большого n и малого р найти Р{Х 2} приближенно с помощью формулы Пуассона. Оценить точность приближения;

3) для больших n и р найти вероятность Р{710 X 735} приближенно с помощью формулы Муавра - Лапласа.

Решение:

Закон распределения случайной величины Х задается формулой:

Вычислим все вероятности и построим ряд распределения:

По формуле Бернулли найдем следующие вероятности:

Проверка:

Составим закон распределения:

0 1 2 3 4

0,0256 0,1536 0,3456 0,3456 0,1296

2) Построим функцию распределения

3) Математическое ожидание вычислим по формуле:

Дисперсию вычислим по формуле:

проверка:

Дисперсию вычислим по формуле:

проверка:

Определим вероятности:

2) n=40, р=0.02

Воспользуемся формулой Пуассона:

Р{Х=k}=

где

Р{Х 2}= Р{Х=0}+ Р{Х=1}+ Р{Х=2}=

Погрешность равна:

3) n=900 и р=0.8

Р{710 X 735}=

=0.3944+0.2967=0.6911

Задача 6

Найти закон распределения, математическое ожидание и дисперсию случайной величины X. Построить график функции распределения и найти вероятность события {1.5 < X < 3.5}.

В группе из 10 изделий 4 бракованных. Изделия выбирают одно за другим наугад до появления доброкачественного. X - число извлеченных изделий.

Решение

с.в. может принимать следующие значения – 1, 2, 3,4,5

Найдем следующие вероятности:

Составим закон распределения:

1 2 3 4 5

3/5 4/15 1/10 1/35 1/210

2) Построим функцию распределения

Таким образом,

Построим график функции распределения:

3) Математическое ожидание вычислим по формуле:

Дисперсию вычислим по формуле:

Среднее квадратическое отклонение равно:

4) Определим вероятность:

Задача 7

Задана плотность вероятности случайной величины X:

Требуется:

1. найти константу А;

2. построить графики плотности и функции распределения;

3. найти математическое ожидание MX, дисперсию DX и среднеквадратическое отклонение;

4. вычислить

Решение:

1. Для определения коэффициента С воспользуемся свойством:

В нашем случае

Тогда, откуда

Итак,

2. Найдем функцию распределения

Если, то

Если, то

Если,

то

т.е.

Построим график функции плотности распределения :

Построим график функции распределения:

3. Математическое ожидание равно:

дисперсия

Среднеквадратическое отклонение:

4.

Задача 8

Отклонение размера детали от номинала есть случайная величина X, X. Годными считаются детали, для которых отклонение от номинала лежит в интервале ( ). Требуется:

1) записать формулу плотности распределения и построить ее график;

2) построить график функции распределения по точкам, ±1,±2,±3;

3) найти вероятность того, что при выборе 3 деталей отклонение каждой из них попадет в интервал ( );

4) определить, какое наименьшее число деталей необходимо изготовить, чтобы среди них с вероятностью 0.95 хотя бы одна деталь была одной.

Решение:

1) Плотность вероятности, построим ее график.

2) Построим график функции по точкам

X -4 -3 -2 -1 0 1 2

F(X) F(–4) F(–3) F(–2) F(-1) F(0) F(1) F(2)

Ф(X) Ф(-3) Ф(-2) Ф(-1) Ф(0) Ф(1) Ф(2) Ф(3)

-0,4987 -0,4772 -0,3413 0 0,3413 0,4772 0,4987

Построим график функции распределения

3) Найдем вероятность того, что одна деталь попадет в интервал (-1; 3):

Найдем вероятность того, что при выборе 3 деталей отклонение каждой из них попадет в интервал (-1;3);

4) Пусть n –число деталей, которые необходимо изготовить. Найдем вероятность того, что одна изготовленная деталь годная:

Задание 1

Задача 1

Закон распределения случайного вектора Z = (X, Y) задан таблицей.

Х У

–3 2 4

-1 0,1 0,1 0,1

0 0,1 0,2 0

1 0 0,2 0,2

Найти:

1) законы распределения случайных величин X и Y;

2) математическое ожидание MZ;

3) дисперсии DХи DY;

4) ковариацию cov(X, Y) и коэффициент корреляции. Зависимы ли случайные величины X и Y?

5) закон распределения случайной величины Х при условии, что У принимает любое из всех возможных для нее значений

6) условное математическое ожидание и условную дисперсию

Решение:

1) Найдем законы распределения случайных величин X и Y:

Х -1 0 1 У -3 2 4

Р 0,3 0,3 0,4 Р 0,2 0,5 0,3

2) Вычислим математические ожидания случайных величин X и Y

Математическое ожидание MZ(0,1; 1,6)

3) Вычислим дисперсии случайных величин X и Y

4) Вычислим ковариацию cov(X,Y):

коэффициент корреляции =

Случайные величины X и Y являются зависимыми, так как

5) Построим закон распределения случайной величины Х при условии, что У принимает любое из всех возможных для нее значений:

Х У

-3 2 4

-1 1/2 1/5 1/3

0 1/2 2/5 0

1 0 2/5 2/3

6) Найдем условное математическое ожидание :

Найдем условную дисперсию :

Задача 2

Плотность вероятности случайного вектора Z = (X, Y) и область определения D случайной величины Z заданы в вариантах. Формула плотности вероятности f(x,y) содержит неизвестную переменную А.

Найти:

1) значение переменной А;

2) вероятность попадания случайной точки (Х, Y) в заданную область G;

3) законы распределения случайных величин X и Y, а также их функции распределения. Дать графическое изображение полученных функций;

4) математические ожидания MX и MY, а также дисперсии DX и DY:

5) ковариацию cov (XY) и коэффициент корреляции ;

6) условные законы распределений f(x/у), f{y/x)

7) условные математические ожидания тх(у), ту(х) и дисперсии dx (у), dу(х). Нарисовать на одном чертеже линии регрессии;

8) вычислить корреляционные отношения и

Решение

1)

2)

3),

Задача 3

Найти закон распределения случайной величины У, если известна плотность распределения случайной величины Х. Вычислить МУ, DY

Решение