Вариант 89. Студент знает 20 вопросов программы по теории вероятностей и математической статистике из 30

  • ID: 06846 
  • 16 страниц
x

Часть текста скрыта! После покупки Вы получаете полную версию

Содержание:


Вариант 89. Студент знает 20 вопросов программы по теории вероятно…

Задание 1

Студент знает 20 вопросов программы по теории вероятностей и математической статистике из 30. На зачете ему предлагается три наудачу выбранных из программы вопроса. Найти вероятность того, что студент ответит:

а) только на один вопрос; b) на два вопроса; с) не менее, чем на два вопроса;

d) хотя бы на один вопрос; е) либо на все вопросы, либо ни на один.

РЕШЕНИЕ

Обозначим через:

событие Р1 - студент ответил на 1 вопрос, событие Р2 - студент ответил на 2 вопрос

событие Р3 - студент ответил на 3 вопрос

1) Обозначим через событие А - студент ответил только на один вопрос

Тогда... и вероятность события А найдем по теореме сложения и теореме умножения зависимых событий:

2) Обозначим через событие В -студент ответил на два вопроса.

Тогда:...

и вероятность равна:...

3) обозначим через событие С - студент ответит не менее, чем на два вопроса, т.е он ответит на два или все три вопроса. Следовательно

4) обозначим через событие D - ответит хотя бы на один вопрос, т.е. на один и более. Тогда...

5) обозначим через событие E - студент ответит на все вопросы или не ответит ни на один вопрос. Тогда...

и вероятность равна:...

Задание 2

На складе находятся одинаковые изделия, изготовленные тремя заводами: первым заводом произведено 35% всех изделий, вторым - 40%, а остальные изделия с третьего завода. Известно, что из каждой сотни изделий удовлетворяют стандарту в среднем 95 изделий, изготовленных на первом заводе, 90 - на втором, 90 - на третьем. Для контроля качества со склада наудачу берут два изделия.

1. Определить вероятность того, что по крайней мере одно из проверяемых изделий будет нестандартным.

2. Оба проверяемых изделия оказались стандартными. На каких заводах вероятнее всего они изготовлены?

РЕШЕНИЕ

Введем события:

Событие Н1 - изделия изготовлены первым заводом, событие Н2 - изделия изготовлены вторым заводом, событие Н3 - изделия изготовлены третьим заводом, событие Н4 - изделия изготовлены первым и вторым заводами, событие Н5 - изделия изготовлены первым и третьим заводами, событие Н6 - изделия изготовлены вторым и третьим заводами

Тогда

Контроль:...

1) Событие А - среди извлеченных изделий будет хотя бы одно бракованное. Противоположное событие... - среди извлеченных изделий будут все небракованные

Вероятность события... найдем по формуле полной вероятности:

- вероятность взять два небракованных изделия с первого завода

- вероятность взять два небракованных изделия со второго завода

- вероятность взять два небракованных изделия с третьего завода

- вероятность взять два небракованных изделия с первого и второго заводов

- вероятность взять два небракованных изделия с первого и третьего заводов

- вероятность взять два небракованных изделия со второго и третьего заводов

Следовательно

2) Используя формулу Байеса найдем следующие вероятности:

- вероятность того, что изделия изготовлены на первом заводе

- вероятность того, что изделия изготовлены на втором заводе

- вероятность того, что изделия изготовлены на третьем заводе

- вероятность того, что изделия изготовлены на первом и втором заводах

- вероятность того, что изделия изготовлены на первом и третьем заводах

- вероятность того, что изделия изготовлены на втором и третьем заводах

Вероятнее всего изделия изготовлены первым и вторым заводами.

Задание 3

При опускании одной монеты автомат срабатывает неправильно в среднем в 6 случаях из ста.

1. Какова вероятность того, что при опускании 6 монет автомат сработает правильно:

а) 4; b) не менее 4; с) не более 4; d) хотя бы один раз?

2. В течение суток в автомат было опущено сто монет. Вычислить вероятность того, что автомат при этом сработал неправильно:

а) 6; b) более 6; с) менее 6; d) хотя бы один раз.

РЕШЕНИЕ

1. По условию вероятность правильного срабатывания автомата составляет..., не правильно...

1. Дано n=5

a) Воспользуемся формулой Бернулли

В нашем примере имеем:

b) событие А - не менее 4 раз, т.е. 4 или 5 или 6

Тогда...

С) С - не более 4, т.е. 4 и менее.

Противоположное событие... - более 4, т.е на 5 или 6

2. При решении будем пользоваться формулой Пуассона:

где...

По условию......, тогда...

a) событие А - автомат сработал неправильно 6 раз

b) событие В - более 6; т.е 7, 8, 9, и т.д. Противоположное событие автомат сработал не правильно 6 раз или менее

c) С - менее 6 раз, т.е. 5 раз и меньше

d) событие... - хотя бы один раз, т.е один и более. Противоположное событие... - ни одного раза

Задание 4

Произведено три независимых выстрела по удаляющейся цели. Вероятность попадания при 1 выстреле равна 0,8, при втором - 0,7, при третьем - 0,6. Рассматривается случайная величина (с.в.) ? - число попаданий в цель.

1. Составить ряд распределения с.в.... и представить его графически.

2. Найти функцию распределения с.в.... и построить её график.

3. Вычислить математическое ожидание (среднее значение) М..., дисперсию D... и среднее квадратическое (стандартное) отклонение...(...).

4. Определить вероятности:

а) Р...; b) Р...; c) Р...

РЕШЕНИЕ

С.В.... может принимать следующие значения - 0, 1, 2, 3

Найдем следующие вероятности:

- ни одного попадания в цель

- только одно попадание

- два попадания в цель

- три попадания

Проверка:...

Составим ряд распределения:

0 1 2 3

0,024 0,188 0,452 0,336

2) Построим функцию распределения

Если......то...

Если......то...

Если......то...

Если......то...

Если......то...

Таким образом

Построим график функции распределения:

3) Математическое ожидание вычислим по формуле:

Дисперсию вычислим по формуле:

Среднее квадратическое отклонение равно:

4) Определим вероятности:

a)...

b)...

c)...

Задание 5

Обработка результатов переписи населения в городе N показала, что плотность распределения возраста ? (в годах) лиц, занимающихся малым бизнесом, может быть представлена функцией

1. Установить неизвестную постоянную С и построить график функции p(x).

2. Найти функцию распределения с.в.... и построить её график.

3. Вычислить математическое ожидание (среднее значение) М..., дисперсию D... и среднее квадратическое (стандартное) отклонение...(...).

4. Во сколько раз число бизнесменов в возрасте ниже среднего превышает число бизнесменов в возрасте выше среднего?

РЕШЕНИЕ

1. Для определения коэффициента С воспользуемся свойством:...

В нашем случае

Тогда..., откуда...

Итак...

2. Найдем функцию распределения...

Если..., то...

Если..., то

Если..., то

т.е.

Построим графики функций... и...:

3. Математическое ожидание... равно:

дисперсия...:...

и среднее квадратическое отклонение...:...

4....

Число бизнесменов в возрасте ниже среднего и число бизнесменов в возрасте выше среднего одинаково.

Задание 6

Для определения нормы времени на выполнение определенной технологической операции на конвейере часов проведено 25 экспериментов. Получены следующие результаты (в часах):

0,828 0,542 0,89 0,705 0,491 1,384 0,379 0,242 0,866

0,321 0,627 1,012 0,579 0,477 0,49 1,079 0,443 0,374

0,937 0,529 0,912 0,949 0,906 0,794 0,735

Необходимо:

1. Определить исследуемый признак и его тип (дискретный или непрерывный).

2. В зависимости от типа признака построить полигон или гистограмму относительных частот.

3. На основе визуального анализа полигона (гистограммы) сформулировать гипотезу о законе распределения признака.

4. Вычислить выборочные характеристики изучаемого признака: среднее, дисперсию, среднее квадратическое (стандартное) отклонение.

5. Используя критерий согласия "хи-квадрат" Пирсона, проверить соответствие выборочных данных выдвинутому в п.3 закону распределения при уровне значимости 0,05.

6. Для генеральной средней и дисперсии построить доверительные интервалы, соответствующие доверительной вероятности 0,95.

7. С надежностью 0,95 проверить гипотезу о равенстве:

а) генеральной средней значению 0,878;

б) генеральной дисперсии значению 2,738.

РЕШЕНИЕ

1. В данной задаче исследуемым признаком является норма времени на выполнение технологической операции.

Исследуемый признак является непрерывным, так как он принимает значения, заполняющие конечный промежуток (0,283; 1,619) числовой оси Ох.

2. Для иллюстрации распределения непрерывной случайной величины пользуются гистограммами.

Разобьем вариационный ряд на n равных интервалов длиной h:

Вычислим относительные частоты по формуле и все вычисления запишем в таблицу, т.е. построим вариационный ряд относительных частот:...

Получим следующий интервальный ряд:

Номер

интервала... Граница интервала Частота... Относительная частота

1 0,283 0,506 4 0,724

2 0,506 0,728 7 1,267

3 0,728 0,951 4 0,724

4 0,951 1,174 7 1267

5 1,174 1,396 2 0,362

6 1,396 1,619 1 0,181

Построим гистограмму относительных частот:

3. На основе визуального анализа гистограммы выдвенем гипотезу о нормальном распределении.

4. Вычислим средние характеристики. Для этого найдем середины интервалов и примем их в качестве вариант:

0,394 4 1,577 0,622

0,617 7 4,319 2,665

0,840 4 3,359 2,820

1,062 7 7,436 7,900

1,285 2 2,570 3,302

1,508 1 1,508 2,273

Сумма 25 20,769 19,582

Средняя выборочная:...

Средняя выборочная квадратов:...

Выборочная дисперсия:...

Квадратическое отклонение:...

5. Используя критерий согласия "хи-квадрат" Пирсона, проверим соответствие выборочных данных нормальному закону распределения при уровне значимости 0.05.

Проведем объединение интервалов

Номер

интервала... Граница интервала Частота...

1 0,283 0,506 4

2 0,506 0,728 7

3 0,728 0,951 4

4 0,951 1,174 7

5 1,174 1,619 3

в) найдем интервалы.... Для этого составим расчетную таблицу

Границы интервала Границы интервала

1 0,283 0,506 -0,548 -0,325 -1,79 -1,07

2 0,506 0,728 -0,325 -0,102 -1,07 -0,34

3 0,728 0,951 -0,102 0,120 -0,34 0,39

4 0,951 1,174 0,120 0,343 0,39 1,12

5 1,174 1,619 0,343 0,788 1,12 2,58

г) найдем теоретические вероятности Pi и теоретические частоты ni/=nPi=25*Pi. Для этого составим расчетную таблицу:

Границы интервала Границы интервала

=...

1... -1,07 -0,500 -0,358 0,142 3,558

2 -1,07 -0,34 -0,358 -0,133 0,225 5,615

3 -0,34 0,39 -0,133 0,152 0,285 7,120

4 0,39 1,12 0,152 0,369 0,217 5,423

5 1,12... 0,369 0,500 0,131 3,285

д) сравним эмпирические и теоретические частоты, используя критерий Пирсона.

Вычислим наблюдаемое значение Пирсона. Для этого составим вспомогательную таблицу:

i ni ni/ ni- ni/ (ni- ni/)2 (ni- ni/)2/ ni/ ni2 ni2/ ni/

1 4 3,558 0,443 0,196 0,055 16 4,498

2 7 5,615 1,385 1,918 0,342 49 8,727

3 4 7,120 -3,120 9,734 1,367 16 2,247

4 7 5,423 1,578 2,489 0,459 49 9,036

5 3 3,285 -0,285 0,081 0,025 9 2,740

сумма... 27.248

По таблице критических точек распределения..., по уровню значимости... и числу степеней свободы...(s- число интервалов) находим критическую точку правосторонней критической области....

Так как... - принимаем гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности.

6. Найдем исправленное среднее квадратическое отклонение

Доверительный интервал для оценки средней найдем по формуле:

Где значение... определили по таблице Стьюдента

Тогда

Доверительный интервал для оценки дисперсии найдем по формуле:

По данным... и n=25 по таблице "хи-квадрат" определяем:

и....

Подставляя все в формулу найдем доверительный интервал:

7. С надежностью 0,95 проверить гипотезу о равенстве:

а) генеральной средней значению 0.878.

Так как доверительный интервал..., найденный в п.6 накрывает значение 0.878, то гипотезу о равенстве генеральной средней значению 0.878 принимаем.

б) генеральной дисперсии значению 2.738.

Так как значение...= 2.691 не накрывается интервалом..., то гипотезу о равенстве генеральной дисперсии значению 2.738 не принимаем.

Список литературы