Задача 43. В лотерее на каждые 100 билетов приходится m1=3 билетов с выигрышем a1 = 15 тыс. рублей, m2=10 билетов с выигрышем a2 = 12 тыс. рублей, m2=15 билетов

  • ID: 67612 
  • 3 страницы

Фрагмент работы:

Задача 43

В лотерее на каждые 100 билетов приходится m1=3 билетов с выигрышем a1 = 15 тыс. рублей, m2=10 билетов с выигрышем a2 = 12 тыс. рублей, m2=15 билетов с выигрышем a2 = 8 тыс. рублей, m2=20 билетов с выигрышем a2 = 4 тыс. рублей. Остальные билеты из сотни не выигрывают.

Составить закон распределения величины выигрыша для владельца одного билета и найти его основные характеристики: математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение. Пояснить смысл указанных характеристик.

Решение:

Обозначим Х тыс. рублей – величина выигрыша на один билет, это случайная дискретная величина. Составим закон распределения этой случайной величины, перечислив все ее возможные значения и найдя соответствующие им вероятности. Число выигрышных билетов из 100 составляет: 3 + 10 + 15 + 20 = 48, значит, число невыигрышных билетов 100 – 48 = 52.

Располагая величины возможного выигрыша хi в порядке возрастания, получим таблицу:

хi 0 4 8 12 15

рi 0,52 0,2 0,15 0,1 0,03

где ; ; ; ;.

а) Математическое ожидание случайной величины Х: М(Х) = хiрi = 0*0,52 + 4*0,2 + 8*0,15 + 12*0,1 + 15*0,03 = 0,8 + 1,2 + 1,2 + 0,45 = 3,65. Т.о., ожидаемый средний выигрыш на один билет составляет 3,65 тыс.руб.

б) Найдем дисперсию случайной величины: D(Х) = [хi - М(Х)]2 * рi = (0 – 3,65)2*0,52 + (4 – 3,65)2*0,2 + (8 – 3,65)2*0,15 + (12 – 3,65)2*0,1 + (15 – 3,65)2*0,03 = 6,93 + 0,02 + 2,84 + 6,97 + 3,86 = 20,44.

в) Среднее квадратическое отклонение: (х) = =  4,52.

Таким образом,  = 4,52 тыс.руб. – характеристика разброса фактических значений выигрыша от найденного среднего значения а = 3,65 тыс.руб., т.е. основные значения случайной величины выигрыша находятся в диапазоне (3,65  4,52) тыс.руб., что соответствует таблице данных.

Ответ: а) 3,65 тыс.руб.; б) 20,44; в) 4,52 тыс.руб.