Вариант 2. Рабочий обслуживает три станка. В течение смены первый станок работает бесперебойно в среднем

  • ID: 06609 
  • 19 страниц
x

Часть текста скрыта. После покупки Вы получаете полную версию

Содержание:


Вариант 2. Рабочий обслуживает три станка. В течение смены первый …

Задание 1

Рабочий обслуживает три станка. В течение смены первый станок работает бесперебойно в среднем 90% всего времени, второй - 80%, третий - 90%. Найти вероятность того, что среди этих станков в течение смены:

а) только один будет работать бесперебойно; b) два будут работать бесперебойно;

с) не менее двух будут работать бесперебойно; d) хотя бы один будет работать бесперебойно; е) все станки будут работать либо бесперебойно, либо нет.

РЕШЕНИЕ:

Обозначим через:

событие Р1- первый станок в течение смены работал бесперебойно;

событие Р2- второй станок в течение смены работал бесперебойно;

событие Р3- третий станок в течение смены работал бесперебойно;

тогда по условию:

вероятность, что первый станок в течение смены работал бесперебойно равна Р(Р1)=0,9;

вероятность, что второй станок в течение смены работал бесперебойно равна Р(Р4)=0,8;

вероятность, что третий станок в течение смены работал бесперебойно равна Р(Р3)=0,9;

Противоположные события:

событие...- первый станок работал с перебоями

событие...- второй станок работал с перебоями

событие...- третий станок работал с перебоями

и вероятности, соответствующие этим событиям равны:

1) Обозначим через событие А - только один будет работать бесперебойно

Следовательно... и вероятность события А найдем по теореме сложения и теореме умножения независимых событий:

2) Обозначим через событие В - два будут работать бесперебойно. Тогда:

и вероятность равна:

3) обозначим через событие С - не менее двух будут работать бесперебойно, т.е будут работать бесперебойно два или все три станка. Следовательно

4) обозначим через событие D - хотя бы один будет работать бесперебойно, т.е. один и более. Тогда

5) обозначим через событие E - все станки будут работать либо бесперебойно, либо нет. Тогда...

и вероятность равна:...

Задание 2

В группе из 25 студентов, пришедших сдавать экзамен, имеется 2 подготовленных отлично, 6 - хорошо, 12 - удовлетворительно, а остальные студенты подготовлены плохо. Отлично подготовленные студенты знают все 35 вопросов программы, подготовленные хорошо - 28, подготовленные удовлетворительно - 19 и подготовленные плохо знают лишь 8 вопросов программы из 35.

1. Определить вероятность того, что вызванный наугад из данной группы студент ответит хотя бы на один из трех заданных ему вопросов программы.

2. На экзамене наугад вызванный студент ответил на один вопрос из трех заданных. Как вероятнее всего он подготовлен?

Решение: Введем события:

Событие А - вызванный наугад из данной группы студент ответит хотя бы на один из трех заданных ему вопросов программы, т.е. он ответил на один, два или все три вопроса.

Событие Н1 - вызван отлично подготовленный студент

Событие Н2 - вызван хорошо подготовленный студент

Событие Н3 - вызван удовлетворительно подготовленный студент

Событие Н4 - вызван плохо подготовленный студент.

Тогда

- вероятность того, что вызвали отличника

- вероятность того, что вызвали хорошиста

вероятность того, что вызвали удовлетворительно подготовленного студента

вероятность того, что вызвали плохо подготовленного студента.

1) Рассмотрим противоположное событие...- вызванный студент не ответил ни на один из трех вопросов. Вероятность противоположного события найдем по формуле полной вероятности:

где

- вероятность того, что вызванный отличник не ответил на три заданных вопроса.

- вероятность того, что вызванный хорошист не ответил на три заданных вопроса.

- вероятность того, что вызванный удовлетворительно подготовленный студент не ответил на три заданных вопроса.

Следовательно

Тогда, вероятность события А равна:

2) Используя формулу полной вероятности, найдем вероятность события В - вызванный студент ответил на один вопрос из трех заданных:

- отличник ответил на один вопрос из трех заданных.

- хорошо подготовленный студент ответил на один вопрос из трех заданных.

- удовлетворительно подготовленный студент ответил на один вопрос из трех заданных.

- плохо подготовленный студент ответил на один вопрос из трех заданных.

Тогда

Используя формулу Байеса найдем следующие вероятности:

вероятность того, что отвечавший студент подготовлен отлично:

вероятность того, что отвечавший студент подготовлен хорошо:

вероятность того, что отвечавший студент подготовлен удовлетворительно:

вероятность того, что отвечавший студент подготовлен плохо:

Вероятнее всего студент подготовлен удовлетворительно, т.к. эта вероятность больше других.

Задание 3

В результате проверки качества приготовленных для посева семян огурца установлено, что в среднем 85% семян всхожи.

1. Какова вероятность того, что среди 200 посеянных семян доля взошедших будет:

а) равна 83%; b) не менее 83%; с) не более 90%; d) не менее 82%, но не более 88%?

2. Сколько нужно посеять семян, чтобы с вероятностью 0,94 можно было утверждать, что доля взошедших семян среди них отклонится по абсолютной величине от вероятности взойти каждому семени не более, чем на 0,01?

РЕШЕНИЕ:

По условию вероятность всхожести семян составляет...

1. Дано n=200

a)...

Воспользуемся локальной теоремой Муавра -Лапласа

В нашем примере имеем:

где значение...нашли по таблице значений функции...

b)...

Воспользуемся интегральной теоремой Муавра -Лапласа

Тогда получаем:

c)...

d)

2. По условию.........

Абсолютная величина отклонения доли взошедших семян от вероятности взойти каждому семени не превысит числа..., приближенно равна удвоенной функции Лапласа при...:

В нашем случае имеем:

В силу условия

По таблице функции Лапласа найдем:...

Следовательно...............

Таким образом, искомое число посеянных семян n=4509.

Задание 4

На пути движения автомобиля четыре светофора, каждый из которых (независимо от других) запрещает дальнейшее движение автомобиля с вероятностью 0,6. Рассматривается случайная величина с.в.... - число светофоров, пройденных автомобилем без остановки.

1. Составить ряд распределения с.в.... и представить его графически.

2. Найти функцию распределения с.в.... и построить её график.

3. Вычислить математическое ожидание (среднее значение) М..., дисперсию D... и среднее квадратическое (стандартное) отклонение...(...).

4. Определить вероятности: а) Р...; b) Р...; c) Р...

РЕШЕНИЕ:

с.в....может принимать следующие значения - 0,1, 2, 3,4

Вероятность того, что автомобиль пройдет светофор равна..., и не пройдет светофор -...

По формуле Бернулли найдем следующие вероятности:

Проверка:...

Составим закон распределения:

0 1 2 3 4

0,1296 0,3456 0,3456 0,1536 0,0256

2) Построим функцию распределения

Если......то...

Если......то...

Если......то...

Если......то...

Если......то...

Если......то...

Таким образом

Построим график функции распределения:

3) Математическое ожидание вычислим по формуле:

Дисперсию вычислим по формуле:

Среднее квадратическое отклонение равно:

4) Определим вероятности:

a)...

b)...

c)

Задание 5

Годовой облагаемый налогом доход... (в тыс. у.е.) наудачу выбранного частного предпринимателя города N является случайным с плотностью распределения

1. Установить неизвестную постоянную С и построить график функции p(x).

2. Найти функцию распределения с.в.... и построить её график.

3. Вычислить математическое ожидание (среднее значение) М..., дисперсию D... и среднее квадратическое (стандартное) отклонение...(...).

4. Во сколько раз число частных предпринимателей города N с доходом, облагаемым налогом меньше среднего, превышает число частных предпринимателей с доходом, облагаемым налогом больше среднего?

РЕШЕНИЕ:

1. Для определения коэффициента С воспользуемся свойством:

В нашем случае

Тогда

откуда...

Итак

2. Найдем функцию распределения...

Если..., то...

Если...

то...

т.е.

Построим график функции плотности распределения...:

Построим график функции распределения:

3. Математическое ожидание... равно:

дисперсия...

Дисперсия и среднее квадратическое отклонение... не существуют.

4....

Тогда получаем,что... раз больше.

Задание 6

При проверке длины 25 деталей изготовленных станком - автоматом были обнаружены следующие отклонения от номинала (в мм). Необходимо:

1. Определить исследуемый признак и его тип (дискретный или непрерывный).

2. В зависимости от типа признака построить полигон или гистограмму относительных частот.

3. На основе визуального анализа полигона (гистограммы) сформулировать гипотезу о законе распределения признака.

4. Вычислить выборочные характеристики изучаемого признака: среднее, дисперсию, среднее квадратическое (стандартное) отклонение.

5. Используя критерий согласия "хи-квадрат" Пирсона, проверить соответствие выборочных данных выдвинутому в п.3 закону распределения при уровне значимости 0,05.

6. Для генеральной средней и дисперсии построить доверительные интервалы, соответствующие доверительной вероятности 0,95.

7. С надежностью 0,95 проверить гипотезу о равенстве:

а) генеральной средней значению 1,06;

б) генеральной дисперсии значению 0,281.

РЕШЕНИЕ:

1. В данной задаче исследуемым признаком является длина изделий (в мм.).

Исследуемый признак является непрерывным, так как он принимает значения, заполняющие конечный промежуток (-0,877; 0,962) числовой оси Ох.

2. Для иллюстрации распределения непрерывной случайной величины пользуются гистограммами.

Построим вариационный ряд:

xi -0,877 -0,736 -0,735 -0,593 -0,583 -0,394 -0,393 -0,325 -0,159

ni 1 1 1 1 1 1 1 1 2

xi -0,148 -0,126 -0,12 -0,119 -0,069 -0,05 0,082 0,278 0,409

ni 1 1 1 1 1 1 1 1 1

xi 0,54 0,578 0,74 0,811 0,913 0,962

ni 1 1 1 1 1 1

Разобьем вариационный ряд на n равных интервалов длиной h:

Вычислим относительные частоты по формуле и все вычисления запишем в таблицу, т.е. построим вариационный ряд относительных частот:...

Получим следующий интервальный ряд:

Номер

интервала... Граница интервала Частота... Относительная частота

1 -0,877 -0,571 5 5/25

2 -0,571 -0,264 2 2/25

3 -0,264 0,043 8 8/25

4 0,043 0,349 3 3/25

5 0,349 0,656 3 3/25

6 0,656 0,962 4 4/25

Построим гистограмму относительных частот:

1. Вычислим средние характеристики. Для этого найдем середины интервалов и примем их в качестве вариант:

1 -0,724 5 -3,619 2,619

2 -0,417 3 -1,252 0,522

3 -0,111 8 -0,886 0,098

4 0,196 2 0,392 0,077

5 0,502 3 1,507 0,757

6 0,809 4 3,235 2,616

Сумма среднее -0,623 6,689

Средняя выборочная:...

Средняя выборочная квадратов:...

Выборочная дисперсия:...

Квадратическое отклонение:...

5. Используя критерий согласия "хи-квадрат" Пирсона, проверим соответствие выборочных данных выдвинутому в п.3. закону о нормальном распределении при уровне значимости 0.05.

а) выборочные характеристики равны:... и...

б) проведем объединение интервалов

Номер

интервала... Граница интервала Частота...

1 -0,877 -0,264 8

2 -0,264 0,043 8

3 0,043 0,656 5

4 0,656 0,962 4

в) найдем интервалы.... Для этого составим расчетную таблицу

Границы интервала Границы интервала

1 -0,877 -0,264 -0,852 -0,239 -1,649 -0,463

2 -0,264 0,043 -0,239 0,067 -0,463 0,131

3 0,043 0,656 0,067 0,680 0,131 1,317

4 0,656 0,962 0,680 0,987 1,317 1,910

г) найдем теоретические вероятности Pi и теоретические частоты ni/=nPi=25*Pi. Для этого составим расчетную таблицу:

Границы интервала Границы интервала

=...

1... -0,463 -0,500 -0,177 0,323 8,070

2 -0,463 0,131 -0,177 0,052 0,229 5,723

3 0,131 1,317 0,052 0,407 0,355 8,873

4 1,317... 0,407 0,500 0,093 2,335

д) сравним эмпирические и теоретические частоты, используя критерий Пирсона.

Вычислим наблюдаемое значение Пирсона. Для этого составим вспомогательную таблицу:

i ni ni/ ni- ni/ (ni- ni/)2 (ni- ni/)2/ ni/ ni2 ni2/ ni/

1 8 8,070 -0,070 0,005 0,001 64 7,931

2 8 5,723 2,278 5,187 0,906 64 11,184

3 5 8,873 -3,873 14,996 1,690 25 2,818

4 4 2,335 1,665 2,772 1,187 16 6,852

сумма 3,784 28,784

По таблице критических точек распределения..., по уровню значимости... и числу степеней свободы...(s- число интервалов) находим критическую точку правосторонней критической области....

Так как... - принимаем гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности.

6. Найдем исправленное среднее квадратическое отклонение

Доверительный интервал для оценки средней найдем по формуле:

Где значение... определили по таблице Стьюдента

Тогда

Доверительный интервал для оценки дисперсии найдем по формуле:

По данным... и n=25 по таблице "хи-квадрат" определяем:

и....

Подставляя все в формулу найдем доверительный интервал:

7. С надежностью 0,95 проверить гипотезу о равенстве:

а) генеральной средней значению 1,06.

Так как доверительный интервал..., найденный в п.6 не накрывает значение 1,06, то гипотезу о равенстве генеральной средней значению 1,06 не принимаем.

б) генеральной дисперсии значению 0,281.

Так как значение...= 0,281 накрывается интервалом..., то гипотезу о равенстве генеральной дисперсии значению 0,281 принимаем.

Литература

1. Бекишев Г.А., Митрофанов Е.Н., Семёнов А.Т., Соболев В.Ф. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебное пособие для студентов заочной формы обучения. - Новосибирск: Изд-во НГАЭиУ, 1997.

2. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебное пособие для вузов. - М.: Высшая школа, 2002.

3. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике: Учебное пособие для студентов вузов. - М.: Высшая школа, 2002.

4. Семёнов А.Т. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебно-методический комплекс. - Новосибирск: НГАЭиУ, 2003.