Вариант 98. На стройку от трех разных поставщиков должны поступить три партии материалов

  • ID: 06320 
  • 17 страниц

Фрагмент работы:

Задание 1

На стройку от трех разных поставщиков должны поступить три партии материалов. Из-вестно, что первый поставщик доставляет материалы своевременно в среднем в 95% всех слу-чаев, второй – в 85%, третий – в 90%. Найти вероятность того, что из трех партий на стройку будет доставлена своевременно:

а) только одна; b) две; с) не менее двух; d) хотя бы одна;

е) либо все партии, либо ни одна.

Решение:

Обозначим через:

событие Р1 – первый поставщик доставил товар своевременно

событие Р2 – второй поставщик доставил товар своевременно

событие Р3 – третий поставщик доставил товар своевременно

тогда по условию:

вероятность того, что первый поставщик доставил товар своевременно Р(Р1)=0.95;

вероятность того, что второй поставщик доставил товар своевременно Р(Р2)=0.85;

вероятность того, что третий поставщик доставил товар своевременно Р(Р3)=0.9;

Противоположные события:

событие – первый поставщик доставил товар не своевременно

событие – второй поставщик доставил товар не своевременно

событие – третий поставщик доставил товар не своевременно

и вероятности, соответствующие этим событиям равны:

1) Обозначим через событие А – только одна партия будет доставлена своевременно

Тогда, и вероятность события А найдем по теореме сложения и теореме умножения независимых событий:

2) Обозначим через событие В – две партии будут доставлены своевременно. Тогда:

и вероятность равна:

3) обозначим через событие С – не менее двух партий будут доставлены своевременно, т.е будут доставлены две или все три партии. Следовательно

4) обозначим через событие D – хотя бы одна партия будет доставлена своевременно, т.е. одна и более. Тогда

5) обозначим через событие E – все партии будут доставлены вовремя или ни одна не бу-дет доставлена вовремя. Тогда

и вероятность равна:

Задание 2

Имеется коробка с 4 изделиями одного образца, причем среди них с одинаковой вероят-ностью, возможно, любое количество бракованных изделий от 0 до 4. Из коробки наудачу вы-бирается одновременно три изделия.

1. Определить вероятность того, что среди извлеченных изделий будет хотя бы одно бра-кованное.

2. Извлеченные из коробки три изделия оказались одного типа (бракованные или не брако-ванные). Какой состав коробки с изделиями вероятнее всего?

Решение: Введем события:

Событие Н1 – в коробке нет бракованных изделий

Событие Н2 – в коробке имеется одно бракованное

Событие Н3 – в коробке имеется два бракованных

Событие Н4 – в коробке имеется три бракованных

Событие Н5 – в коробке имеется четыре бракованных изделий

Тогда

1) Событие А – среди извлеченных изделий будет хотя бы одно бракованное. Противопо-ложное событие – среди извлеченных изделий будут все не бракованные

Вероятность события найдем по формуле полной вероятности:

- вероятность взять три не бракованных изделия, при условии того, что про-изошло событие Н1.

- вероятность взять три не бракованных изделия, при условии того, что произошло событие Н2.

- вероятность взять три не бракованных изделия, при условии того, что про-изошло событие Н3.

- вероятность взять три не бракованных изделия, при условии того, что про-изошло событие Н4.

- вероятность взять три не бракованных изделия, при условии того, что про-изошло событие Н5.

Следовательно

2) –вероятность того, что взято три детали одного типа при условии события

Вероятность того, что взятые изделия из коробки оказались одного типа будет равна

Используя формулу Байеса найдем следующие вероятности:

Вероятнее всего в коробке находятся все бракованные изделия или все не бракованные.

Задание 3

При социологических опросах граждан города N установлено, что в среднем 15% да-ют неискренний ответ.

1. Какова вероятность того, что при опросе 500 граждан города N доля неискренних отве-тов будет:

а) равна 13%; b) не менее 13%;

с) не более 20%; d) не менее 12%, но не более 18%?

2. Сколько нужно опросить граждан города N, чтобы с вероятностью 0,99 можно было утверждать, что доля неискренних ответов среди них отклонится по абсолютной величине от вероятности получения неискреннего ответа от каждого опрашиваемого не более, чем на 0,06?

Решение:

По условию вероятность неискреннего ответа составляет

1. Дано n=500

a)

Воспользуемся локальной теоремой Муавра –Лапласа

В нашем примере имеем:

где значение нашли по таблице значений функции

b)

Воспользуемся интегральной теоремой Муавра –Лапласа

Тогда получаем:

где значение и нашли по таблице значений функции Лапласа.

c)

d)

2. По условию

Абсолютная величина отклонения доли неискренних ответов от вероятности получить неискренний ответ не превысит числа, приближенно равна удвоенной функции Лапласа при :

В нашем случае имеем:

В силу условия

По таблице функции Лапласа найдем:

Следовательно

Таким образом, искомое число опрошенных n=195

Задание 4

Из поступивших в ремонт 15 часов 11 нуждаются в общей чистке механизма. Часы не рассортированы по виду ремонта. Мастер, желая найти часы, нуждающиеся в чистке, рассмат-ривает их поочередно и, найдя такие часы, прекращает дальнейший просмотр. Рассматривает-ся случайная величина (с.в.) – число просмотренных часов.

1. Составить ряд распределения с.в. и представить его графически.

2. Найти функцию распределения с.в. и построить её график.

3. Вычислить математическое ожидание (среднее значение) М, дисперсию D и сред-нее квадратическое (стандартное) отклонение ( ).

4. Определить вероятности: а) Р ; b) Р ; c) Р

Решение: с.в. может принимать следующие значения – 1, 2, 3, 4, 5

Найдем следующие вероятности:

Проверка:

Составим закон распределения:

1 2 3 4 5

0,733 0,21 0,048 0,008 0,001

2) Построим функцию распределения

Если то

Если то

Если то

Если то

Если то

Если то

Таким образом

Построим график функции распределения:

3) Математическое ожидание вычислим по формуле:

Дисперсию вычислим по формуле:

Среднее квадратическое отклонение равно:

4) Определим вероятности:

a)

b)

c)

Задание 5

При исследовании некоторого непрерывного признака ξ экспериментатор предположил, что этот признак подчиняется закону распределения с плотностью

1. При каком значении С экспериментатор будет прав? Построить график плотности распределения.

2. Найти функцию распределения с.в. и построить её график.

3. Вычислить математическое ожидание (среднее значение) М, дисперсию D и среднее квадратическое (стандартное) отклонение ( ).

4. Во сколько раз число опытов, в которых экспериментатор будет получать результат больше среднего значения, превышает число опытов, в которых результат будет меньше сред-него значения?

Решение:

1. Для определения коэффициента С воспользуемся свойством:

В нашем случае

Тогда, откуда

Итак

Построим график функции плотности распределения :

2. Найдем функцию распределения

Если, то

Если, то

Если, то

Если, то

т.е.

Построим график функции распределения:

3. Математическое ожидание равно:

дисперсия вычисляется по формуле:

и среднее квадратическое отклонение :

4.

Тогда получаем,что раз больше.

Задание 6

Служба контроля Энергосбыта провела проверку расхода электроэнергии в течение ме-сяца 25 квартиросъемщиками однокомнатных квартир города N. Получены следующие ре-зультаты (в кВт. ч.):

Необходимо:

1. Определить исследуемый признак и его тип (дискретный или непрерывный).

2. В зависимости от типа признака построить полигон или гистограмму относительных частот.

3. На основе визуального анализа полигона (гистограммы) сформулировать гипотезу о за-коне распределения признака.

4. Вычислить выборочные характеристики изучаемого признака: среднее, дисперсию, среднее квадратическое (стандартное) отклонение.

5. Используя критерий согласия «хи-квадрат» Пирсона, проверить соответствие выбороч-ных данных выдвинутому в п.3 закону распределения при уровне значимости 0,05.

6. Для генеральной средней и дисперсии построить доверительные интервалы, соответ-ствующие доверительной вероятности 0,95.

7. С надежностью 0,95 проверить гипотезу о равенстве:

а) генеральной средней значению 175,5;

б) генеральной дисперсии значению 308,003.

Решение:

1. В данной задаче исследуемым признаком является расход электроэнергии.

Исследуемый признак является непрерывным, так как он принимает значения, заполня-ющие конечный промежуток (154,908; 227,565) числовой оси Ох.

2. Построим вариационный ряд:

154,908 180,531 181,467 181,701 184,509 185,328 187,083 188,487 189,306

1 1 1 1 1 2 1 1 1

194,337 195,624 197,613 197,73 198,9 205,803 207,207 208,611 209,664

1 1 1 1 1 1 1 1 1

211,419 211,887 214,227 218,673 227,097 227,565

1 1 1 1 1 1

Разобьем вариационный ряд на n равных интервалов длиной h:

Вычислим относительные частоты по формуле и все вычисления запишем в таблицу, т.е. построим вариационный ряд относительных частот:

Получим следующий интервальный ряд:

Номер

интервала

Граница интервала Частота

Относительная частота

1 154,908 167,018 1 1/25

2 167,018 179,127 0 0

3 179,127 191,237 9 9/25

4 191,237 203,346 5 5/25

5 203,346 215,456 7 7/25

6 215,456 227,565 3 3/25

Построим гистограмму относительных частот:

3. На основе построенной гистограммы выдвинем гипотезу о нормальном законе распре-деления.

4. Вычислим средние характеристики. Для этого найдем середины интервалов и примем их в качестве вариант:

160,963 1 160,963 25909,007

173,072 0 0 0

185,182 9 1666,64 308630,52

197,291 5 986,456 194619,19

209,401 7 1465,81 306940,72

221,510 3 664,531 147200,37

Сумма 25 4944,391 983299,810

Средняя выборочная:

Средняя выборочная квадратов:

Выборочная дисперсия:

Квадратическое отклонение:

5. Используя критерий согласия «хи-квадрат» Пирсона, проверим соответствие выбороч-ных данных выдвинутому в п.3. закону о нормальном распределении при уровне значимости 0.05.

а) выборочные характеристики равны:

и

б) проведем объединение интервалов

Номер

интервала

Граница интервала Частота

1 154,908 191,237 10

2 191,237 203,346 5

3 203,346 215,456 7

4 215,456 227,565 3

в) найдем интервалы. Для этого составим расчетную таблицу

Границы интервала Границы интервала

1 154,908 191,237 -42,868 -6,539 -2,911 -0,444

2 191,237 203,346 -6,539 5,570 -0,444 0,378

3 203,346 215,456 5,570 17,680 0,378 1,201

4 215,456 227,565 17,680 29,789 1,201 2,023

г) найдем теоретические вероятности Pi и теоретические частоты ni/=nPi=25*Pi. Для это-го составим расчетную таблицу:

Границы интервала Границы интервала

ni/=25*Pi

1

-0,444 -0,500 -0,195 0,305 7,625

2 -0,444 0,378 -0,195 0,163 0,358 8,945

3 0,378 1,201 0,163 0,410 0,247 6,178

4 1,201

0,410 0,500 0,090 2,253

д) сравним эмпирические и теоретические частоты, используя критерий Пирсона.

Вычислим наблюдаемое значение Пирсона. Для этого составим вспомогательную табли-цу:

i ni ni/ ni- ni/ (ni- ni/)2 (ni- ni/)2/ ni/ ni2 ni2/ ni/

1 10 8,250 1,750 3,063 0,371 100 12,121

2 5 7,950 -2,950 8,703 1,095 25 3,145

3 7 5,923 1,078 1,161 0,196 49 8,274

4 3 2,878 0,123 0,015 0,005 9 3,128

сумма

26,667

По таблице критических точек распределения, по уровню значимости и числу степеней свободы (s- число интервалов) находим критическую точку правосторонней критической области.

Так как -принимаем гипотезу о нормальном распределении генеральной со-вокупности.

6. Найдем исправленное среднее квадратическое отклонение

Доверительный интервал для оценки средней найдем по формуле:

Где значение определили по таблице Стьюдента

Тогда

Доверительный интервал для оценки дисперсии найдем по формуле:

По данным и n=25 по таблице «хи-квадрат» определяем:

и.

Подставляя все в формулу найдем доверительный интервал:

7. С надежностью 0,95 проверить гипотезу о равенстве:

а) генеральной средней значению 175,5.

Так как доверительный интервал, найденный в п.6 не накрывает значе-ние 175,5, то гипотезу о равенстве генеральной средней значению 175,5 не принимаем.

б) генеральной дисперсии значению.

Так как значение = 308,003 накрывается интервалом, то гипотезу о равенстве генеральной дисперсии значению 308,003 принимаем.

Литература

1. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебное пособие для вузов. – М.: Высшая школа, 2002.

2. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике: Учебное пособие для студентов вузов. – М.: Высшая школа, 2002.

3. Семёнов А.Т. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебно–методический комплекс. – Новосибирск: НГАЭиУ, 2005.