Вариант 63. У сборщика имеется 13 новых и 8 бывших в употреблении (б/у) деталей, которые мало отличаются друг от друга по внешнему виду

  • ID: 05454 
  • 14 страниц
x

Часть текста скрыта. После покупки Вы получаете полную версию

Фрагмент работы:

Вариант 63. У сборщика имеется 13 новых и 8 бывших в употреблении …

Содержание

ЗАДАНИЕ 1

У сборщика имеется 13 новых и 8 бывших в употреблении (б/у) деталей, которые мало отличаются друг от друга по внешнему виду. Сборщик наудачу берет три детали. Найти вероятность того, что среди них будет:

а) только одна деталь б/у;

b) две детали б/у;

с) не менее двух деталей б/у;

d) хотя бы одна деталь б/у;

е) все детали одного типа (новые или б/у).

РЕШЕНИЕ

По условию задачи: 13 новых деталей и 8 бывших в употреблении. Всего 21 деталь.

Обозначим через... - i-тая деталь бывшая в употреблении... - i-тая деталь новая

а) Обозначим через событие А - только одна деталь б/у

Тогда... и вероятность события А найдем по теореме сложения несовместных событий и теореме умножения зависимых событий:

б) Обозначим через событие В - две детали б/у. Тогда:...

и вероятность равна:

с) обозначим через событие С - не менее двух деталей б/у, т.е две или три детали б/у. Следовательно...

d) обозначим через событие D - хотя бы одна деталь б/у, т.е. одна и более. Тогда

е) обозначим через событие E - все детали одного типа. Тогда...

и вероятность равна:...

ЗАДАНИЕ 2

В торговую фирму поступили телевизоры от трех поставщиков в соотношении 2:1:2. Практика показала, что телевизоры, поступающие от первого, второго и третьего поставщиков, не требуют ремонта в течение гарантийного срока в среднем соответственно в 83%, 93%, 88% случаев.

Определить вероятность того, что из двух поступивших в торговую фирму телевизоров хотя бы один потребует ремонта в течение гарантийного срока.

Два проданных телевизора не потребовали ремонта в течение гарантийного срока. От каких поставщиков вероятнее всего они поступили?

РЕШЕНИЕ

Введем события:

Событие А -хотя бы один потребует ремонт

Событие... -ни один не потребует ремонт

Событие Н1 - телевизор от первого поставщика

Событие Н2 - телевизор от второго поставщика

Событие Н3 - телевизор от третьего поставщика

Тогда

вероятность того, что в телевизор от первого поставщика:...

вероятность того, что телевизор от второго поставщика:...

вероятность того, что телевизор от третьего поставщика:...

1) Вероятность события... найдем по формуле полной вероятности:

где

- вероятность того, что телевизор от 1 поставщика не потребует ремонт

- вероятность того, что телевизор от 2 поставщика не потребует ремонт

- вероятность того, что телевизор от 3 поставщика не потребует ремонт

Следовательно

2)

Используя формулу Байеса, найдем следующие вероятности:

Вероятнее всего телевизоры были от третьего поставщика.

ЗАДАНИЕ 3

Из-за болезни на работу ежедневно не выходит в среднем 4% работников предприятия.

Какова вероятность того, что из 6 работников, выбранных наудачу из списочного состава предприятия, на работе будет присутствовать:

а) ровно 4;

b) не менее 4;

с) не более 4;

d) хотя бы один сотрудник предприятия?

Вычислить вероятность того, что на данном предприятии, насчитывающем сто работников, в наудачу выбранный день из-за болезни будут отсутствовать:

а) 4;

b) более 4;

с) менее 4;

d) хотя бы один работник предприятия.

РЕШЕНИЕ

1. Дано n=6

Вероятность, что на работник выйдет на работу..., на выйдет на работу -...

a) Воспользуемся формулой Бернулли:

В нашем примере имеем:

b) не менее 4, т.е. 4, 5 или 6 будут присутствовать.

Тогда...

c) менее 4, значит 3, 2, 1 или 0.

Противоположное событие - не менее 4 - 4, 5 или 6

Тогда...

d) хотя бы один работник будет присутствовать, т.е. один и более. Противоположное событие - ни одного работника:

2. По условию.........

Воспользуемся локальной теоремой Муавра - Лапласа

Получаем

б) Воспользуемся интегральной теоремой Муавра -Лапласа

Тогда получаем:

где значение... и...и нашли по таблице значений функции Лапласа.

с)...

d)...

ЗАДАНИЕ 4

Студент знает 23 вопросов из имеющихся 33 вопросов программы по теории вероятностей и математической статистике. Экзаменационный билет содержит четыре произвольных вопроса программы. Студент получает на экзамене отличную оценку ("пять"), если он знает все вопросы билета; хорошую оценку ("четыре"), если знает три вопроса; удовлетворительную оценку ("три"), если знает два вопроса; в остальных случаях он получает неудовлетворительную оценку ("два"). Рассматривается случайная величина (с.в.)...- оценка, которую студент получит на экзамене.

Составить ряд распределения с.в....и представить его графически.

Найти функцию распределения с.в....и построить её график.

Вычислить математическое ожидание (среднее значение) М..., дисперсию D... и среднее квадратическое (стандартное) отклонение....

Определить вероятности:

а) Р...;

b) Р...;

c) Р...

РЕШЕНИЕ

с.в....может принимать следующие значения - 2, 3,4,5

Найдем следующие вероятности:

Проверка:...

Составим закон распределения:

2 3 4 5

0,073 0,278 0,433 0,216

2) Построим функцию распределения

Если... то...

Если......то...

Если......то...

Если......то...

Если......то...

Таким образом

Построим график функции распределения:

3) Математическое ожидание вычислим по формуле:

Дисперсию вычислим по формуле:

Среднее квадратическое отклонение равно:

4) a)...

b)...

с)...

ЗАДАНИЕ 5

Время... (в мин.) ожидания заправки автомашины на АЗС города N является случайным с плотность распределения

Установить неизвестную постоянную С и построить график функции p(x).

Найти функцию распределения с.в.... и построить её график.

Вычислить математическое ожидание (среднее значение) М..., дисперсию D... и среднее квадратическое (стандартное) отклонение...(...).

Во сколько раз число автомашин, ожидающих заправку меньше среднего времени, превышает число автомашин, ожидающих заправку больше среднего времени?

РЕШЕНИЕ:

1. Для определения коэффициента С воспользуемся свойством:...

В нашем случае...

Тогда...

Итак...

Построим график функции плотности распределения...:

2. Найдем функцию распределения...

Если..., то...

Если..., то...

т.е....

Построим график функции распределения:

3. Математическое ожидание... равно:

дисперсия... вычисляется по формуле:...

Тогда...

и среднее квадратическое отклонение...

4....

Получаем, что число автомашин, ожидающих заправку больше среднего в 0,58 раз меньше числа автомашин, ожидающих заправку меньше среднего.

ЗАДАНИЕ 6

Компания, занимающаяся развитием кабельного телевидения в крупном городе N, провела выборочное обследование времени ежедневного просмотра телепередач 25 абонентами кабельной сети. Получены следующие результаты (в часах):

4,294 5,607 5,657 5,909 3,090 4,274 3,924 3,749 6,180 6,285

3,491 7,353 5,752 4,376 4,768 6,808 0,971 5,594 2,964 3,886

5,646 4,470 5,051 6,798 4,629

Необходимо:

1. Определить исследуемый признак и его тип (дискретный или непрерывный).

2. В зависимости от типа признака построить полигон или гистограмму относительных частот.

3. На основе визуального анализа полигона (гистограммы) сформулировать гипотезу о законе распределения признака.

4. Вычислить выборочные характеристики изучаемого признака: среднее, дисперсию, среднее квадратическое (стандартное) отклонение.

5. Используя критерий согласия "хи-квадрат" Пирсона, проверить соответствие выборочных данных выдвинутому в п.3 закону распределения при уровне значимости 0,1.

6. Для генеральной средней и дисперсии построить доверительные интервалы, соответствующие доверительной вероятности 0,9.

7. С надежностью 0,9 проверить гипотезу о равенстве:

а) генеральной средней значению 5.45;

б) генеральной дисперсии значению 1.188

РЕШЕНИЕ:

1. В данной задаче исследуемым признаком является ежедневный просмотр телепередач (в часах).

Исследуемый признак является непрерывным, так как он принимает значения, заполняющие конечный промежуток (0,971; 7,353) числовой оси Ох.

2. Разобьем вариационный ряд на n равных интервалов длиной h:

Вычислим относительные частоты по формуле и все вычисления запишем в таблицу, т.е. построим вариационный ряд относительных частот:...

Получим следующий интервальный ряд:

Номер

интервала... Граница интервала Частота... Относительная частота

1 0,971 2,035 1 1/25

2 2,035 3,098 2 2/25

3 3,098 4,162 4 4/25

4 4,162 5,226 7 7/25

5 5,226 6,289 8 8/25

6 6,289 7,353 3 3/25

Построим гистограмму относительных частот:

4. Вычислим средние характеристики. Для этого найдем середины интервалов и примем их в качестве вариант:

1,503 2,567 3,630 4,694 5,758 6,821

1 2 4 7 8 3

Средняя выборочная:...

Средняя выборочная квадратов:...

Выборочная дисперсия:...

Квадратическое отклонение:...

5. Используя критерий согласия "хи-квадрат" Пирсона, проверим соответствие выборочных данных выдвинутому в п.3. закону о нормальном распределении при уровне значимости 0.1

а) выборочные характеристики равны:... и...

б) проведем объединение интервалов

Номер

Интервала... Граница интервала Частота...

1 0,971 3,098 3

2 3,098 4,162 4

3 4,162 5,226 7

4 5,226 6,289 8

5 6,289 7,353 3

в) найдем интервалы.... Для этого составим расчетную таблицу

Границы интервала Границы интервала

1 0,971 3,098 -3,850 -1,723 -2,839 -1,271

2 3,098 4,162 -1,723 -0,659 -1,271 -0,486

3 4,162 5,226 -0,659 0,404 -0,486 0,298

4 5,226 6,289 0,404 1,468 0,298 1,082

5 6,289 7,353 1,468 1,525 1,082 1,125

г) найдем теоретические вероятности Pi и теоретические частоты ni/=nPi=25*Pi. Для этого составим расчетную таблицу:

Границы интервала Границы интервала

=...

1... -1,271 -0,500 -0,398 0,102 2,550

2 -1,271 -0,486 -0,398 -0,188 0,210 5,253

3 -0,486 0,298 -0,188 0,118 0,306 7,645

4 0,298 1,082 0,118 0,360 0,242 6,050

5 1,082... 0,360 0,500 0,140 3,503

д) сравним эмпирические и теоретические частоты, используя критерий Пирсона.

Вычислим наблюдаемое значение Пирсона. Для этого составим вспомогательную таблицу:

i ni ni/ ni- ni/ (ni- ni/)2 (ni- ni/)2/ ni/ ni2 ni2/ ni/

1 3 2,550 0,450 0,203 0,079 9 3,529

2 4 5,253 -1,253 1,569 0,299 16 3,046

3 7 7,645 -0,645 0,416 0,054 49 6,409

4 8 6,050 1,950 3,803 0,629 64 10,579

5 3 3,503 -0,503 0,253 0,072 9 2,570

26,133

По таблице критических точек распределения..., по уровню значимости... и числу степеней свободы...(s- число интервалов) находим критическую точку правосторонней критической области....

Так как...-принимаем гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности.

6. Найдем исправленное среднее квадратическое отклонение

Доверительный интервал для оценки средней найдем по формуле:

Где значение... определили по таблице Стьюдента

Тогда

Доверительный интервал для оценки дисперсии найдем по формуле:

По данным... и n=25 по таблице "хи-квадрат" определяем:

и....

Подставляя все в формулу найдем доверительный интервал:

7. С надежностью 0,9 проверить гипотезу о равенстве:

а) генеральной средней значению 5,45.

Так как доверительный интервал..., найденный в п.6 не накрывает значение 5,15, то гипотезу о равенстве генеральной средней значению 5,45 не принимаем.

б) генеральной дисперсии значению 1,188.

Так как значение...= 1,061 накрывается интервалом..., то гипотезу о равенстве генеральной дисперсии значению 1,188 принимаем.