Вариант 64. Для сигнализации на складе установлены три независимо работающих устройства

  • ID: 05393 
  • 14 страниц
x

Часть текста скрыта! После покупки Вы получаете полную версию

Содержание:


Вариант 64. Для сигнализации на складе установлены три независимо …

Задача 5

Для сигнализации на складе установлены три независимо работающих устройства. Вероятность того, что при необходимости первое устройство сработает, составляет р1=75%, для второго и третьего устройства эти вероятности равны соответственно р2=80% и р3=95%. Найти вероятность того, что в случае необходимости сработают:

1) все устройства;

2) только одно устройство;

3) хотя бы одно устройство.

РЕШЕНИЕ:

1) обозначим через событие А - все устройства сработали. Тогда

2) обозначим через событие В - сработает только одно устройство.

3) обозначим через событие С - хотя бы одно устройство сработало, т.е. сработало одно или два или три устройства.

Противоположное событие...- ни одно устройство не сработало.

Следовательно

ОТВЕТ: 1) 0.57 ; 2) 0.065 ; 3) 0.9975

Задача 14

В партии, состоящей из n=55 одинаково упакованных изделий, смешаны изделия двух сортов, причем k=23 из этих изделий - первого сорта, а остальные изделия - второго сорта. Найти вероятность того, что взятые наугад два изделия окажутся:

1) одного сорта;

2) разных сортов.

РЕШЕНИЕ:

1) событие А - изделия одного сорта

2) событие В - изделия разных сортов

ОТВЕТ: 1) 0.5044; 2) 0.4956

Задача 22

Курс доллара повышается в течение квартала с вероятностью 0,9 и понижается с вероятностью 0,1. При повышении курса доллара фирма рассчитывает получить прибыль с вероятностью 0,85; при понижении - с вероятностью 0,5.

1) Найти вероятность того, что фирма получит прибыль

2) Фирма в течение квартала получила прибыль. Какова вероятность, что это произошло при повышении курса доллара?

РЕШЕНИЕ:

Обозначим через:

событие... - фирма получила прибыль

событие... - курс доллара повысился

событие... - курс доллара упал

По условию задачи имеем

=...

- вероятность того, что при повышении курса доллара фирма получить прибыль

- вероятность того, что при понижении курса доллара фирма получить прибыль

1) Найдем вероятность того, что взятое фирма получит прибыль, используя формулу полной вероятности:

2) Фирма в течение квартала получила прибыль. Какова вероятность, что это произошло при повышении курса доллара. Воспользуемся формулой Байеса:

ОТВЕТ: 1) 0.815 ; 2) 0.939

Задача 35

Вероятность того, что в результате проверки изделию будет присвоен знак "изделие высшего качества" равна p=0.6.

1. На контроль поступило n=4 изделий. Какова вероятность того, что знак высшего качества будет присвоен:

а) ровно m=1 изделиям;

б) более чем k=2 изделиям;

в) хотя бы одному изделию;

г) указать наивероятнейшее количество изделий, получивших знак высшего качества, и найти соответствующую ему вероятность.

При тех же условиях найти вероятность того, что в партии из N=32 изделий знак высшего качества получает:

а) ровно половина изделий;

б) не менее чем k1=10, но не более, чем k2=25 изделий.

РЕШЕНИЕ:

1. а) Искомую вероятность найдем по формуле Бернулли:

где...

б) обозначим через событие А - более чем k=2 изделиям присвоен знак высшего качества.

Найдем противоположное событие...- знак качества присвоен менее двух изделиям

( вероятность найдена в пункте 1.а.)

Получаем...

Тогда

в) событие С - хотя бы одному изделию - одному и более.

Противоположное событие...- ни одному изделию

( вероятность найдена в пункте 1.б.)

г) найдем наивероятнейшее... количество изделий, получивших знак высшего качества по формуле:

т.е. вероятнее всего два изделия получат знак высшего качества

Соответствующая ему вероятность равна:

2. а) воспользуемся локальной теоремой Лапласа:

где...

Получаем:

б) будем использовать интегральную теорему Лапласа:

Задача 50

В лотерее на каждые 100 билетов приходиться m1=8 билетов с выигрышем a1=5 тыс. рублей, m2=10 билетов с выигрышем a2=4 тыс. рублей, m3=15 билетов с выигрышем a3=3 тыс. рублей и m4=25 билетов с выигрышем a4=2. Остальные билеты из сотни не выигрывают.

Составить закон распределения величины выигрыша для владельца одного билета и найти его основные характеристики: математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение. Пояснить смысл указанных характеристик.

РЕШЕНИЕ:

Случайная величина Х - дискретная величина. Составим закон распределения этой случайной величины, перечислив все е возможные значения и найдя соответствующие им вероятности. Число выигрышных билетов из 100 составляет: 8+10+15+25=58, значит, число невыигрышных билетов: 100 - 58 =42.

Располагая величины возможного выигрыша... в порядке возрастания, получим следующую таблицу:

0 2 3 4 5

0.42 0.25 0.15 0.1 0.08

Отметим, что...

а) Математическое ожидание случайной величины Х:

Ожидаемый средний выигрыш на один билет составляет 1,75 тыс.руб.

Дисперсию вычислим по формуле:

Среднее квадратическое отклонение равно:

тыс.руб. - характеристика разброса фактических значений выигрыша от найденного среднего значения..., то есть основные значения случайной величины выигрыша находятся в диапазоне (1,75...1,699).

ОТВЕТ:...;...;...

Задача 55

Вес изготовленного серебряного изделия должен составлять а=90 граммов.

При изготовлении возможны случайные погрешности, в результате которых вес изделия случаен, но подчинен нормальному закону распределения со средним квадратическим отклонением ?=4 граммов.

Требуется найти вероятность того, что:

1) Вес изделия составит от ?=78 до ?=95 граммов;

2) Величина погрешности в весе не превзойдет ?=9 граммов по абсолютной величине.

РЕШЕНИЕ:

1) воспользуемся формулой:

Тогда получаем

По таблице приложения 2:......

Искомая вероятность попадания нормально распределенной случайной величины в интервал (78; 95) равна:

3) вероятность того, что абсолютная величина отклонения "X-a" окажется меньше ?=6, равна:

ОТВЕТ: а) 0.89305; б) 0.975

Задача 63

По итогам выборочных обследований для некоторой категории сотрудников величина их дневного заработка X руб. и соответствующее количество сотрудников ni представлены в виде интервального статистического распределения.

1. Построить гистограмму относительных частот распределения.

2.Найти основные характеристики распределения выборочных данных: среднее выборочное значение, выборочную дисперсию и выборочное среднее квадратическое отклонение.

3. Оценить генеральные характеристики по найденным выборочным характеристикам.

4. Считая, что значение X в генеральной совокупности подчинены нормальному закону распределения, найти доверительный интервал для оценки математического ожидания (генерального среднего значения) с надежностью ?=0.92, считая, что генеральная дисперсия равна исправленной выборочной дисперсии.

xi 40-46 46-52 52-58 58-64 64-70

ni 5 10 20 15 10

Решение: Объем выборки:...

1) вычислим относительные частоты для каждого частичного интервала:

Контроль...

В итоге получено следующее интервальное распределение относительных частот признака Х:

xi 40-46 46-52 52-58 58-64 64-70

wi 0,083 0,167 0,333 0,25 0,167

Длина каждого частичного интервала равна 6. Следовательно, шаг разбиения....

Построим гистограмму относительных частот.

2) для нахождения характеристик выборки интервального распределения признака Х перейдем к дискретному, выбирая в качестве значений признака xi середины частичных интервалов:

xi 43 49 55 61 67

ni 5 10 20 15 10

средняя выборочная:

Средняя выборочная квадратов:

Выборочная дисперсия:

квадратическое отклонение

1) доверительный интервал для оценки средней найдем по формуле:

Где значение t определим по таблице

Тогда

(54.92; 58.08)

ОТВЕТ:...;...;...;...

Задача 77

С целью анализа взаимного влияния прибыли предприятия и его издержек выборочно были проведены наблюдения за этими показателями в течении ряда месяцев: X - величина месячной прибыли в тыс. руб., Y - месячные издержки в процентах к объему продаж.

Результаты выборки сгруппированы и представлены в виде корреляционной таблицы, где указаны значения признаков X и Y и количество месяцев, за которые наблюдались соответствующие пары значений названных месяцев.

1) По данным корреляционной таблицы найти условные средние... и....

2) Оценить тесноту линейной связи между X и Y.

3) Составить уравнение линейной регрессии Y по X и X по Y.

4) Сделать чертеж, нанеся на него условные средние и найденные прямые регрессии.

5) Оценить силу связи между признаками с помощью корреляционного отношения.

20 30 40 50 60

5 2 2

10 4 3 7

15 7 5 12

20 2 7 5 14

25 3 2 6 11

30 3 3

=...

РЕШЕНИЕ:

Найдем условные средние... и...по формулам:... и...

;...

;...

;...

;...

;...

Для того, чтобы найти коэффициент корреляции составим вспомогательные таблицы:

20 6 120 2400 8,33 1000

30 10 300 9000 13,50 4050

40 10 400 16000 19,00 7600

50 9 450 22500 21,11 9500

60 14 840 50400 24,29 20400

49 2110 100300 42550

5 2 10 50 20,00 200

10 7 70 700 24,29 1700

15 12 180 2700 34,17 6150

20 14 280 5600 52,14 14600

25 11 275 6875 52,73 14500

30 3 90 2700 60,00 5400

49 905 18625 42550

Найдем выборочные средние:

Найдем средние квадратические отклонения:

Найдем коэффициент корреляции:

Следовательно, связь между признаками X и Y является высокой и прямой.

Составим уравнение линии регрессии...по...:

Составим уравнение линии регрессии...по...:

Построим графики линий регрессии и нанесем точки.........:

Вычислим корреляционные отношения:... и...

Где межгрупповые дисперсии вычисляются по формулам:

Составим расчетную таблицу:

531,8201 1063,64 102,7396 616,4376

352,5198 2467,638 24,69481 246,9481

79,11316 949,3579 0,281549 2,815494

82,47605 1154,665 6,978702 62,80832

93,43249 1027,757 33,82965 473,6152

286,9221 860,7663 1402,625

7523,825

Тогда......

вычисляем:......

Тогда корреляционные отношения равны:

и...