Вариант 37. Для сигнализации на складе установлены три независимо работающих устройства. Вероятность того, что при

  • ID: 05234 
  • 12 страниц

Фрагмент работы:

Задача 3.

Для сигнализации на складе установлены три независимо работающих устройства. Вероятность того, что при необходимости первое устройство сработает, составляет р1=95%, для второго и третьего устройства эти вероятности равны соответственно р2=90% и р3=75% . Найти вероятность того, что в случае необходимости сработают:

1) все устройства;

2) только одно устройство;

3) хотя бы одно устройство.

Решение:

1) обозначим через событие А – все устройства сработали. Тогда

2) обозначим через событие В – сработает только одно устройство.

3) обозначим через событие С – хотя бы одно устройство сработало, т.е. сработало одно или два или три устройства.

Противоположное событие – ни одно устройство не сработало.

Следовательно,

Ответ: 1) 0.6413 ; 2) 0.0388 ; 3) 0.9987

Задача 18.

В партии, состоящей из n=55 одинаково упакованных изделий, смешаны изделия двух сортов, причем k=35 из этих изделий – первого сорта, а остальные изделия – второго сорта. Найти вероятность того, что взятые наугад два изделия окажутся:

1) одного сорта;

2) разных сортов.

Решение:

Обозначим через: событие – изделие первого сорта

событие – изделие второго сорта

1) событие А – изделия одного сорта

2) событие В – изделия разных сортов

Ответ: 1)0.4717; 2) 0.3288

Задача 28.

Страховая компания разделяет застрахованных по классам риска: I класс – малый риск, II класс – средний риск, III класс – большой риск. Среди клиентов компании 50% - клиенты первого класса риска, 30% - второго и 20% - третьего. Вероятность необходимости выплачивать страховое вознаграждение для первого класса риска равна 0.01, второго 0.03, третьего 0.08.

1) какова вероятность того, что застрахованный получит денежное вознаграждение за период страхования?

2) Найти вероятность того, что получивший денежное вознаграждение застрахованный относится группе малого риска.

Решение:

Обозначим через:

событие – застрахованный получил денежное вознаграждение

событие – застрахованный принадлежит к I классу риска

событие – застрахованный принадлежит к II классу риска

событие – застрахованный принадлежит к III классу риска

По условию задачи: , ,

1) Найдем вероятность того, что застрахованный получит денежное вознаграждение, используя формулу полной вероятности:

2) Найдем вероятность того, что получивший денежное вознаграждение застрахованный относится группе малого риска, воспользовавшись формулой Байеса:

Ответ: 1) 0.03 ; 2) 0.1667.

Задача 33.

Вероятность того, что в результате проверки изделию будет присвоен знак «изделие высшего качества» равна p=0,2.

1. На контроль поступило n=6 изделий. Какова вероятность того, что знак высшего качества будет присвоен:

а) ровно m=3 изделиям;

б) более чем k=4 изделиям;

в) хотя бы одному изделию;

г) указать наивероятнейшее количество изделий, получивших знак высшего качества, и найти соответствующую ему вероятность.

2. При тех же условиях найти вероятность того, что в партии из N=28 изделий знак высшего качества получает:

а) ровно половина изделий;

б) не менее чем k1=4, но не более, чем k2=14 изделий.

Решение:

1. а) Искомую вероятность найдем по формуле Бернулли:

б) обозначим через событие А – более чем k=4 изделиям присвоен знак высшего качества.

в) событие С – хотя бы одному изделию – одному и более.

Противоположное событие – ни одному изделию

г) найдем наивероятнейшее количество изделий, получивших знак высшего качества по формуле:

2. а) воспользуемся локальной теоремой Лапласа:

Получаем:

по таблице находим

б) будем использовать интегральную теорему Лапласа:

Задача 50.

В лотерее на каждые 100 билетов приходиться m1=8 билетов с выигрышем a1=5 тыс. рублей, m2=10 билетов с выигрышем a2=4 тыс. рублей, m3=15 билетов с выигрышем a3=3 тыс. рублей и m4=25 билетов с выигрышем a4=2. Остальные билеты из сотни не выигрывают.

Составить закон распределения величины выигрыша для владельца одного билета и найти его основные характеристики: математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение. Пояснить смысл указанных характеристик.

Решение:

Случайная величина Х – дискретная величина. Составим закон распределения этой случайной величины …

Располагая величины возможного выигрыша в порядке возрастания, получим следующую таблицу:

0 2 3 4 5

Отметим, что …

а) Математическое ожидание случайной величины Х:

Ожидаемый средний выигрыш на один билет составляет 1,75 тыс.руб.

Дисперсию вычислим по формуле:

Среднее квадратическое отклонение равно:

Ответ: ; ;

Задача 58.

Вес изготовленного серебряного изделия должен составлять а=130 граммов.

При изготовлении возможны случайные погрешности, в результате которых вес изделия случаен, но подчинен нормальному закону распределения со средним квадратическим отклонением ?=5 граммов.

Требуется найти вероятность того, что:

1) Вес изделия составит от ?=125 до ?=140 граммов;

2) Величина погрешности в весе не превзойдет ?=12 граммов по абсолютной величине.

Решение:

1) Воспользуемся формулой:

Тогда получаем

По таблице приложения 2: …

Искомая вероятность попадания нормально распределенной случайной величины в интервал (125; 140) равна:

2) вероятность того, что абсолютная величина отклонения “X-a” окажется меньше ?=12, равна:

Ответ: а) 0.8185; б) 0.9836

Задача 70.

По итогам выборочных обследований для некоторой категории сотрудников величина их дневного заработка X руб. и соответствующее количество сотрудников ni представлены в виде интервального статистического распределения.

1) Построить гистограмму относительных частот распределения.

2) Найти основные характеристики распределения выборочных данных: среднее выборочное значение, выборочную дисперсию и выборочное среднее квадратическое отклонение.

3) Оценить генеральные характеристики по найденным выборочным характеристикам.

1) Считая, что значение X в генеральной совокупности подчинены нормальному закону распределения, найти доверительный интервал для оценки математического ожидания (генерального среднего значения) с надежностью ?=0.88, считая, что генеральная дисперсия равна исправленной выборочной дисперсии.

xi 80 – 82 82 – 84 84 – 86 86 – 88 88 – 90

ni 3 7 20 15 5

Решение:

Объем выборки: …

1) вычислим относительные частоты для каждого частичного интервала:

Контроль

В итоге получено следующее интервальное распределение относительных частот признака Х:

xi

wi

Длина каждого частичного интервала равна 4. Следовательно, шаг разбиения .

Построим гистограмму относительных частот.

2) для нахождения характеристик выборки интервального распределения признака Х перейдем к дискретному, выбирая в качестве значений признака xi середины частичных интервалов:

xi

ni

средняя выборочная:

..

Средняя выборочная квадратов:

Выборочная дисперсия:

квадратическое отклонение

2) доверительный интервал для оценки средней найдем по формуле:

Где значение t определим по таблице

Тогда

Ответ: ; ; ;

Задача 73.

С целью анализа взаимного влияния прибыли предприятия и его издержек выборочно были проведены наблюдения за этими показателями в течении ряда месяцев: X – величина месячной прибыли в тыс. руб., Y – месячные издержки в процентах к объему продаж.

Результаты выборки сгруппированы и представлены в виде корреляционной таблицы, где указаны значения признаков X и Y и количество месяцев, за которые наблюдались соответствующие пары значений названных месяцев.

1) По данным корреляционной таблицы найти условные средние и .

2) Оценить тесноту линейной связи между X и Y.

3) Составить уравнение линейной регрессии Y по X и X по Y.

4) Сделать чертеж, нанеся на него условные средние и найденные прямые регрессии.

5) Оценить силу связи между признаками с помощью корреляционного отношения.

30 40 50 60 70

5 1 1

10 5 5 10

15 3 2 4 9

20 4 1 4 9

25 2 7 6 15

30 3 3

6 8 8 12 13 n=47

Решение:

Найдем условные средние и по формулам:

Для того, чтобы найти коэффициент корреляции составим вспомогательные таблицы:

Найдем выборочные средние:

Найдем средние квадратические отклонения:

Найдем коэффициент корреляции:

Следовательно, связь между признаками X и Y является высокой и прямой.

Составим уравнение линии регрессии по :

Составим уравнение линии регрессии по :

Построим графики линий регрессии и нанесем точки , , :

Вычислим корреляционные отношения:

Где межгрупповые дисперсии вычисляются по формулам:

Составим расчетную таблицу:

Тогда

Тогда корреляционные отношения равны: