Найти эмпирическую функцию распределения и построить ее график

  • ID: 51658 
  • 13 страниц

Фрагмент работы:

Найти эмпирическую функцию распределения и построить ее график

Вариант 1

В таблице приведены сведения о заработной плате служащих одной фирмы

Заработная плата, руб. Число служащих Заработная плата, руб. Число служащих

Менее 600 1 1600- 1800 14

600 - 800 3 1800-2000 12

800- 1000 6 2000 - 2200 10

1000- 1200 11 2200 - 2400 6

1200-1400 15 2400 и выше 2

1400-1600 20

1. Построить по этим данным гистограмму.

2. Найти эмпирическую функцию распределения и построить ее график.

3. Вычислить среднее арифметическое выборки, выборочную дисперсию, выборочное среднее квадратичное отклонение, коэффициент вариации, размах вариации, начальные и центральные моменты до третьего порядка включительно, величину асимметрии и эксцесс, ошибки асимметрии и эксцесса.

4. Используя критерий... - Пирсона по данным таблицы при уровне значимости... =0,05, проверить гипотезу о том, что случайная величина X распределена по нормальному закону. Построить на одном чертеже гистограмму эмпирического распределения и соответствующую нормальную кривую.

5. Для исследования зависимости объема производства (Y) от основных фондов (X) получены статистические данные по 52 предприятиям за год

12,5 17,5 22,5 27,5 32,5 37,5 42,5 47,5 52,5

200-210 1

210-220 2

220-230 1 2

230-+240 3 3 1

240-250 8 9

250-260 1 7 5

260-270 2

270-280 1 3

280-290 2

290-300 1

а) Вычислить групповые средние... и..., построить корреляционные поля;

б) предполагая, что между х и у существует линейная корреляционная зависимость

* найти уравнения прямых регрессии и построить их графики на корреляционных полях;

* вычислить коэффициенты корреляции и детерминации, сделать выводы о тесноте и направлении связи;

* вычислить среднюю абсолютную процентную ошибку; для коэффициента корреляции генеральной совокупности; определить доверительный интервал, соответствующий доверительной вероятности...= 0,05.

РЕШЕНИЕ:

1. Построим гистограмму распределения

2. Построим функцию распределения, заменив интервалы их средними значениями:

Построим график функции распределения

3. Найдем показатели распределения. Для этого заменим интервалы их центрами. При этом величины первого и последнего открытых интервалов примем равными величинам второго и предпоследнего интервалов соответственно (для обоих интервалов 200). Промежуточные расчеты выполним в таблице:

Заработная плата, руб. Число служащих

Менее 600 1 500 500 1123600

600 - 800 3 700 2100 2218800

800- 1000 6 900 5400 2613600

1000- 1200 11 1100 12100 2327600

1200-1400 15 1300 19500 1014000

1400-1600 20 1500 30000 72000

1600- 1800 14 1700 23800 274400

1800-2000 12 1900 22800 1387200

2000 - 2200 10 2100 21000 2916000

2200 - 2400 6 2300 13800 3285600

2400 и выше 2 2500 5000 1767200

Итого 100 156000 19000000

Рассчитаем:

а) выборочное среднее:

руб.

б) дисперсию

в) среднее квадратичное отклонение

г) коэффициент вариации

д) размах вариации

=...

Для вычисления начальных моментов воспользуемся формулой:

Промежуточные расчеты выполним в таблице:

xi ni.........

500 1 500 250000 1,25E+08

700 3 2100 1470000 1,03E+09

900 6 5400 4860000 4,37E+09

1100 11 12100 1,3E+07 1,46E+10

1300 15 19500 2,5E+07 3,3E+10

1500 20 30000 4,5E+07 6,75E+10

1700 14 23800 4E+07 6,88E+10

1900 12 22800 4,3E+07 8,23E+10

2100 10 21000 4,4E+07 9,26E+10

2300 6 13800 3,2E+07 7,3E+10

2500 2 5000 1,3E+07 3,13E+10

Итого 100 156000 2,6E+08 4,69E+11

Тогда

=...

=...

=...

Для вычисления центральных моментов воспользуемся формулой:

Т.к. нужно вычислить эксцесс, то центральные моменты рассчитаем до 4-го порядка включительно. Промежуточные расчеты выполним в таблице:

xi ni............

500 1 -1060 1123600 -1,2E+09 1,262E+12

700 3 -2580 2218800 -1,9E+09 1,641E+12

900 6 -3960 2613600 -1,7E+09 1,138E+12

1100 11 -5060 2327600 -1,1E+09 4,925E+11

1300 15 -3900 1014000 -2,6E+08 6,855E+10

1500 20 -1200 72000 -4320000 259200000

1700 14 1960 274400 38416000 5,378E+09

1900 12 4080 1387200 4,72E+08 1,604E+11

2100 10 5400 2916000 1,57E+09 8,503E+11

2300 6 4440 3285600 2,43E+09 1,799E+12

2500 2 1880 1767200 1,66E+09 1,561E+12

Итого 100 0 1,9E+07 14400000 8,98E+12

Тогда

=0

=...

=...

=...

Рассчитаем коэффициенты асимметрии и эксцесса по формулам:

Стандартные ошибки асимметрии и эксцесса составят

4. Проверим гипотезу о соответствии выборочных данных нормальному распределению с помощью критерия ?2. Определим границы интервалов по формуле..., для чего составим таблицу:

i Границы интервалов Границы интервалов

ci ci+1 zi zi+1

1 400 600 -? -2,202

2 600 800 -2,202 -1,744

3 800 1000 -1,744 -1,285

4 1000 1200 -1,285 -0,826

5 1200 1400 -0,826 -0,367

6 1400 1600 -0,367 0,092

7 1600 1800 0,092 0,551

8 1800 2000 0,551 1,009

9 2000 2200 1,009 1,468

10 2200 2400 1,468 1,927

11 2400 2600 1,927 +?

Найдем теоретические вероятности pi и теоретические частоты.... Результаты расчетов запишем в таблицу

i Границы интервалов Ф(zi) Ф(zi+1) pi=Ф(zi+1)- Ф(zi)...

zi zi+1

1 -? -2,202 -0,500 -0,486 0,014 1,4

2 -2,202 -1,744 -0,486 -0,459 0,027 2,7

3 -1,744 -1,285 -0,459 -0,401 0,059 5,9

4 -1,285 -0,826 -0,401 -0,296 0,105 10,5

5 -0,826 -0,367 -0,296 -0,143 0,152 15,2

6 -0,367 0,092 -0,143 0,037 0,180 18,0

7 0,092 0,551 0,037 0,209 0,172 17,2

8 0,551 1,009 0,209 0,344 0,135 13,5

9 1,009 1,468 0,344 0,429 0,085 8,5

10 1,468 1,927 0,429 0,473 0,044 4,4

11 1,927 +? 0,473 0,5 0,027 2,7

Вычислим наблюдаемое значение критерия Пирсона.... Для этого составим таблицу, предварительно объединив малочисленные частоты в одну группу:

i ni............

1 4 4,06 -0,06 0,00 0,00

2 6 5,88 0,12 0,01 0,00

3 11 10,50 0,50 0,25 0,02

4 15 15,24 -0,24 0,06 0,00

5 20 17,98 2,02 4,09 0,23

6 14 17,25 -3,25 10,55 0,61

7 12 13,46 -1,46 2,12 0,16

8 10 8,54 1,46 2,14 0,25

9 8 7,10 0,90 0,81 0,11

Итого 1,39

=1,39

По уровню значимости... =0,05 и количеству степеней свободы k=n-3=9-3=6 находим... по таблице критических точек:...=12,59.

Т.к....0,9, поэтому линейная связь очень высокая.

Составляем уравнения регрессии:

а) Y по X:

б) X по Y:

Построим уравнения регрессии на поле корреляции:

Рассчитаем коэффициент детерминации. В случае парной регрессии он равен квадрату коэффициента корреляции:

=...

т.е. регрессия объясняет 88,74% вариации переменных.

Построим доверительный интервал для коэффициента корреляции:

При уровне значимости ?=0,05 находим, что t?=1,96.

=...

=...

Тогда доверительный интервал для коэффициента корреляции... будет