Вариант 4 (шифр к=8, м=4). Экспедиция издательства отправляет газеты в три почтовых отделения. Известно, что в первое отделение газеты доставляются своевременно

  • ID: 05149 
  • 19 страниц
x

Часть текста скрыта! После покупки Вы получаете полную версию

Содержание:


Вариант 4 (шифр к=8, м=4). Экспедиция издательства отправляет газе…

Задание 1

Экспедиция издательства отправляет газеты в три почтовых отделения. Известно, что в первое отделение газеты доставляются своевременно в среднем в 92% всех случаев, во второе - 85%, в третье - 95%. Найти вероятность того, что из трех почтовых отделений:

а) только одно получит газеты вовремя; b) два получат газеты вовремя;

с) не менее двух получат газеты вовремя; d) хотя бы одно получит газеты вовремя; е) все отделения либо получат газеты вовремя, либо нет.

РЕШЕНИЕ:

Обозначим через:

событие Р1 - первое отделение получило газеты вовремя

событие Р2 - второе отделение получило газеты вовремя

событие Р3 - третье отделение получило газеты вовремя

тогда по условию:

вероятность того, что первое отделение получило газеты вовремя равна Р(Р1)=0.92; второе отделение получило газеты вовремя равна Р(Р2)=0.85; третье отделение получило газеты вовремя равна Р(Р3)=0.95;

Противоположные события:

событие... - первое отделение получило газеты не вовремя

событие... - второе отделение получило газеты не вовремя

событие... - третье отделение получило газеты не вовремя

и вероятности, соответствующие этим событиям равны:

1) Обозначим через событие А - только одно отделение получит газеты вовремя

Следовательно... и вероятность события А найдем по теореме сложения и теореме умножения независимых событий:

2) Обозначим через событие В - два получат газеты вовремя. Тогда:

и вероятность равна:

3) обозначим через событие С - не менее двух получат газеты вовремя, т.е получат газеты два или все три отделения. Следовательно

4) обозначим через событие D - хотя бы одно получит газеты вовремя, т.е. одно и более. Тогда

5) обозначим через событие E - все отделения либо получат газеты вовремя, либо нет. Тогда...

и вероятность равна:...

Задание 2

В ящике 15 теннисных мячей, из которых 10 новых. Для первой игры наудачу берут три мяча, которые после игры возвращают в ящик. Для второй игры также наудачу берут из ящика три мяча.

1. Определить вероятность того, что все три мяча, взятые для второй игры, будут новыми.

2. Из взятых для второй игры трех мячей один оказался не новым. Сколько новых мячей вероятнее всего было взято для первой игры?

РЕШЕНИЕ:

Введем события:

Событие А - взятые для второй игры три мяча будут новыми

Событие Н1 - при первой игре взяли три новых мяча

Событие Н2 - при первой игре взяли два новых мяча и один играный

Событие Н3 - при первой игре взяли один новый мяч и два играных

Событие Н4 - при первой игре взяли три играных мяча

Тогда

- вероятность, что при первой игре взяли три новых мяча

- вероятность, что при первой игре взяли два новых мяча и один играный

- вероятность, что при первой игре взяли один новый мяч и два игранных

- вероятность, что при первой игре взяли три играных мяча

1) Вероятность события А найдем по формуле полной вероятности:

- вероятность взять три новых мяча, при условии того, что произошло событие Н1.

- вероятность взять три новых мяча, при условии того, что произошло событие Н2.

- вероятность взять три новых мяча, при условии того, что произошло событие Н3.

- вероятность взять три новых мяча, при условии того, что произошло событие Н3.

Следовательно

2) Используя формулу полной вероятности, найдем вероятность события В -один мяч оказался не новым из трех:

Тогда

Используя формулу Байеса найдем следующие вероятности:

- вероятность того, что при первой игре было взято три новых мяча

- вероятность того, что при первой игре было взято два новых мяча

- вероятность того, что при первой игре был взят один новый мяч

- вероятность того, что при первой игре не было взято ни одного нового мяча.

Вероятнее всего при первой игре было взято два новых мяча, т.к. эта вероятность больше других.

Задание 3

.

По результатам проверок налоговыми инспекциями установлено, что в среднем каждое 4 - е малое предприятие города N нарушает финансовую дисциплину. Какова вероятность того, что из 100 малых предприятий города N нарушения в финансовой дисциплины будут иметь:

a) 25; b) не менее 20; c) не более 30; d) не менее 20, но не более 30

РЕШЕНИЕ:

По условию вероятность нарушения финансовой дисциплины составляет.... Дано n=100

a) Воспользуемся локальной теоремой Муавра -Лапласа

В нашем примере имеем:

где значение...нашли по таблице значений функции...

b)...

Воспользуемся интегральной теоремой Муавра -Лапласа

Тогда получаем:

где значения... и...и нашли по таблице значений функции Лапласа.

c)...

d)...

Задание 4

.

Охотник, имеющий четыре патрона, стреляет по цели до тех пор, пока не попадет или не израсходует все патроны. Известно, что в цель данного вида он попадает в среднем 5 раз из 10 выстрелов. Рассматривается случайная величина... - число израсходованных охотником патронов.

1. Составить ряд распределения с.в....и представить его графически.

2. Найти функцию распределения с.в.... и построить ее график.

3. Вычислить математическое ожидание..., дисперсию...и среднее квадратическое отклонение....

4. Определить вероятности:

a)...

b)...

c)...

РЕШЕНИЕ:

с.в.... может принимать следующие значения - 1, 2, 3, 4

Вероятность того, что охотник попадет в цель равна..., и не попадет в мишень -...

Найдем следующие вероятности:

Проверка:...

Составим закон распределения:

1 2 3 4

0,5 0,25 0,125 0,125

2) Построим функцию распределения

Если......то...

Если......то...

Если......то...

Если......то...

Если......то...

Таким образом

Построим график функции распределения:

3) Математическое ожидание вычислим по формуле:

Дисперсию вычислим по формуле:

Среднее квадратическое отклонение равно:

4) Определим вероятности:

a)...

b)...

c)...

Задание 5

.

При исследовании некоторого непрерывного признака... экзаменатор предположил, что этот признак подчиняется закону распределения с плотностью распределения

1. Установить неизвестную постоянную С и построить график функции...

2. Найти функцию распределения с.в....и построить ее график.

3. Вычислить математическое ожидание..., дисперсию...и среднее квадратическое отклонение....

4. Во сколько раз число опытов, в которых экспериментатор будет получать результат меньше среднего значения, превышает число опытов, в которых результат будет больше среднего?

РЕШЕНИЕ:

1. Для определения коэффициента С воспользуемся свойством:...

В нашем случае

Тогда

откуда...

Итак

Построим график функции плотности распределения...:

2. Найдем функцию распределения...

Если..., то...

Если..., то...

Если..., то

Если..., то

т.е.

Построим график функции распределения:

3. Математическое ожидание... равно:

дисперсия...

и среднее квадратическое отклонение...:

4....

раза

Задание 6

.

Выборка из большой партии микросхем нового типа содержит 25 микросхем. Время непрерывной работы до выхода из строя для этих микросхем оказалось равным (в сутках):

41,978 42,157 40,723 40,914 40,846 38,584 41,776 39,222 38,002

41,126 39,659 41,395 40,936 40,219 38,528 40,410 39,413

41,160 40,634 41,765 40,040 39,088 40,163 39,906 40,499

Необходимо:

1. Определить исследуемый признак и его тип (дискретный или непрерывный).

2. В зависимости от типа признака построить полигон или гистограмму относительных частот.

3. На основе визуального анализа полигона (гистограммы) сформулировать гипотезу о законе распределения признака.

4. Вычислить выборочные характеристики изучаемого признака: среднее, дисперсию, среднее квадратическое (стандартное) отклонение.

5. Использую критерий согласия "хи-квадрат" Пирсона, проверить соответствие выборочных данных выдвинутому в п.3. закону распределения при уровне значимости 0.01

6. Для генеральной средней и дисперсии построить доверительные интервалы, соответствующие доверительной вероятности 0,99.

7. С надежностью 0,99 проверить гипотезу о равенстве:

а) генеральной средней значению 40,32.

б) генеральной дисперсии значению 1,254.

РЕШЕНИЕ:

1. В данной задаче исследуемым признаком является время работы микросхемы.

Исследуемый признак является непрерывным, так как он принимает значения, заполняющие конечный промежуток (38,002; 42,157) числовой оси Ох.

2. Для иллюстрации распределения непрерывной случайной величины пользуются гистограммами.

Построим вариационный ряд:

38,002 38,528 38,584 39,088 39,222 39,413 39,659 39,906 40,04

1 1 1 1 1 1 1 1 1

40,163 40,219 40,41 40,499 40,634 40,723 40,846 40,914 40,936

1 1 1 1 1 1 1 1 1

41,126 41,16 41,395 41,765 41,776 41,978 42,157

1 1 1 1 1 1 1

Разобьем вариационный ряд на n равных интервалов длиной h:

Вычислим относительные частоты по формуле и все вычисления запишем в таблицу, т.е. построим вариационный ряд относительных частот:...

Получим следующий интервальный ряд:

Номер

интервала... Граница интервала Частота... Относительная частота

1 38,002 38,695 3 3/25

2 38,695 39,387 2 2/25

3 39,387 40,080 4 4/25

4 40,080 40,772 6 6/25

5 40,772 41,465 6 6/25

6 41,465 42,157 4 4/25

Построим гистограмму относительных частот:

4. Вычислим средние характеристики. Для этого найдем середины интервалов и примем их в качестве вариант. Составим расчетную таблицу:

38,348 3 115,045 4411,765

39,041 2 78,0815 3048,36

39,733 4 158,933 6314,925

40,426 6 242,555 9805,448

41,118 6 246,71 10144,26

41,811 4 167,243 6992,555

38,348 3 115,045 4411,765

Сумма 25 1008,566 40717,316

Средняя выборочная:...

Средняя выборочная квадратов:...

Выборочная дисперсия:...

Квадратическое отклонение:...

5. Используя критерий согласия "хи-квадрат" Пирсона, проверим соответствие выборочных данных выдвинутому в п.3. закону о нормальном распределении при уровне значимости 0.01

Проведем объединение интервалов

Номер

интервала... Граница интервала Частота...

1 38,002 39,387 5

2 39,387 40,080 4

3 40,080 40,772 6

4 40,772 41,465 6

5 41,465 42,157 4

найдем интервалы.... Для этого составим расчетную таблицу

Границы интервала Границы интервала

1 38,002 39,387 -2,341 -0,956 -2,170 -0,886

2 39,387 40,080 -0,956 -0,263 -0,886 -0,244

3 40,080 40,772 -0,263 0,429 -0,244 0,398

4 40,772 41,465 0,429 1,122 0,398 1,040

5 41,465 42,157 1,122 1,045 1,040 0,969

г) найдем теоретические вероятности Pi и теоретические частоты ni/=nPi=25*Pi. Для этого составим расчетную таблицу:

Границы интервала Границы интервала

=...

1... -0,886 -0,500 -0,313 0,187 4,668

2 -0,886 -0,244 -0,313 -0,095 0,219 5,463

3 -0,244 0,398 -0,095 0,155 0,250 6,255

4 0,398 1,040 0,155 0,351 0,195 4,885

5 1,040... 0,351 0,500 0,149 3,730

д) сравним эмпирические и теоретические частоты, используя критерий Пирсона.

Вычислим наблюдаемое значение Пирсона. Для этого составим вспомогательную таблицу:

i ni ni/ ni- ni/ (ni- ni/)2 (ni- ni/)2/ ni/ ni2 ni2/ ni/

1 5 4,668 0,333 0,111 0,024 25 5,356

2 4 5,463 -1,463 2,139 0,392 16 2,929

3 6 6,255 -0,255 0,065 0,010 36 5,755

4 6 4,885 1,115 1,243 0,254 36 7,369

5 4 3,730 0,270 0,073 0,020 16 4,290

сумма 0,700 25,700

Контроль:...

По таблице критических точек распределения..., по уровню значимости... и числу степеней свободы...(s- число интервалов) находим критическую точку правосторонней критической области....

Так как...-принимаем гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности.

6. Найдем исправленное среднее квадратическое отклонение

Доверительный интервал для оценки средней найдем по формуле:

Где значение t определим по таблице Стьюдента: t(0,995; 24)=2,7969

Тогда

(39,778; 40,908)

Доверительный интервал для оценки дисперсии найдем по формуле:

По данным... и n=25 по таблице "хи-квадрат" определяем:

и....

Подставляя все в формулу найдем доверительный интервал:

(0,665; 3,062)

7. С надежностью 0,99 проверить гипотезу о равенстве:

а) генеральной средней значению 40,32.

Так как доверительный интервал, найденный в п.6 накрывает значение 40,32, то гипотезу о равенстве генеральной средней значению 40,32 принимаем.

б) генеральной дисперсии значению 1,254.

Так как значение...= 1,254 накрывается интервалом (0,665; 3,062), то гипотезу о равенстве генеральной дисперсии значению 1,254 принимаем.

Список литературы