Шифр 64. Экспедиция издательства отправляет газеты в три почтовых отделения. Известно, что в первое отделение газеты доставляются своевременно

  • ID: 00485 
  • 14 страниц

Фрагмент работы:

Шифр 64. Экспедиция издательства отправляет газеты в три почтовых …

ЗАДАЧА 1.

Экспедиция издательства отправляет газеты в три почтовых отделения. Известно, что в первое отделение газеты доставляются своевременно в среднем в 96% всех случаев, второе - 89%, в третье - 91%. Найти вероятность того, что из трех почтовых отделений:

1) только одно получит газеты вовремя

2) два получат газеты вовремя

3) не менее двух получат газеты вовремя

4) хотя бы одно получит газеты вовремя

5) все отделения либо получат газеты вовремя, либо нет.

РЕШЕНИЕ:

Обозначим через:

событие Р1 - первое отделение получило газеты вовремя

событие Р2 - второе отделение получило газеты вовремя

событие Р3 - третье отделение получило газеты вовремя

тогда по условию:

вероятность того, что первое отделение получило газеты вовремя равна Р(Р1)=0.96;

вероятность того, что второе отделение получило газеты вовремя равна Р(Р2)=0.89;

вероятность того, что второе отделение получило газеты вовремя равна Р(Р3)=0.91;

Противоположные события:

событие... - первое отделение получило газеты не вовремя

событие... - второе отделение получило газеты не вовремя

событие... - третье отделение получило газеты не вовремя

и вероятности, соответствующие этим событиям равны:

1) Обозначим через событие А - только одно отделение получит газеты вовремя

Следовательно... и вероятность события А найдем по теореме сложения и теореме умножения независимых событий:

2) Обозначим через событие В - два получат газеты вовремя. Тогда:

и вероятность равна:

3) обозначим через событие С - не менее двух получат газеты вовремя, т.е получат газеты два или все три отделения. Следовательно

4) обозначим через событие D - хотя бы одно получит газеты вовремя, т.е. одно и более. Тогда

5) обозначим через событие E - все отделения либо получат газеты вовремя, либо нет. Тогда

и вероятность равна:

ЗАДАЧА 2.

В ящике из 19 теннисных мячей, из которых 14 новых. Для первой игры берут три мяча, которые после игры возвращают в ящик. Для второй игры также берут из ящика три мяча.

1. Определить вероятность того, что все три мяча, взятые для второй игры, будут новыми.

2. Из взятых для второй игры трех мячей один оказался не новым. Сколько новых мячей вероятнее всего было взято для первой игры?

Решение: Введем события:

Событие А - взятые для второй игры три мяча будут новыми

Событие Н1 - при первой игре взяли три новых мяча

Событие Н2 - при первой игре взяли два новых мяча и один играный

Событие Н3 - при первой игре взяли один новый мяч и два играных

Событие Н4 - при первой игре взяли три играных мяча

Тогда

- вероятность, что при первой игре взяли три новых мяча

- вероятность, что при первой игре взяли два новых мяча и один играный

- вероятность, что при первой игре взяли один новый мяч и два игранных

- вероятность, что при первой игре взяли три играных мяча

1) Вероятность события А найдем по формуле полной вероятности:

- вероятность взять три новых мяча, при условии того, что произошло событие Н1.

- вероятность взять три новых мяча, при условии того, что произошло событие Н2.

- вероятность взять три новых мяча, при условии того, что произошло событие Н3.

- вероятность взять три новых мяча, при условии того, что произошло событие Н3.

Следовательно

2) Используя формулу полной вероятности, найдем вероятность события В -один мяч оказался не новым из трех:

Тогда

Используя формулу Байеса найдем следующие вероятности:

- вероятность того, что при первой игре было взято три новых мяча

- вероятность того, что при первой игре было взято два новых мяча

- вероятность того, что при первой игре был взят один новый мяч

- вероятность того, что при первой игре не было взято ни одного нового мяча.

Вероятнее всего при первой игре было взято три новых мяча, т.к. эта вероятность больше других.

ЗАДАЧА 3.

По результатам проверок налоговыми инспекциями установлено, что в среднем каждое из 6 - е малое предприятие города N нарушает финансовую дисциплину. Какова вероятность того, что из 100 малых предприятий города N нарушения в финансовой дисциплины будут иметь:

a) 15; b) не менее 12; c) не более 18; d) не менее 12, но не более 18

РЕШЕНИЕ:

По условию вероятность нарушения финансовой дисциплины составляет...

1. Дано n=100

a) Воспользуемся локальной теоремой Муавра -Лапласа

В нашем примере имеем:

где значение...нашли по таблице значений функции...

b)...

Воспользуемся интегральной теоремой Муавра -Лапласа

Тогда получаем:

где значения... и...и нашли по таблице значений функции Лапласа.

c)...

d)

ЗАДАЧА 4.

Охотник, имеющий четыре патрона, стреляет по цели до тех пор, пока не попадет или не израсходует все патроны. Известно, что в цель данного вида он попадает в среднем 7 раз из 10 выстрелов. Рассматривается случайная величина...м - число израсходованных охотником патронов.

1. Составить ряд распределения с.в....и представить его графически.

2. Найти функцию распределения с.в.... и построить ее график.

3. Вычислить математическое ожидание..., дисперсию...и среднее квадратическое отклонение....

4. Определить вероятности:

a)...

b)...

c)...

РЕШЕНИЕ:

с.в.... может принимать следующие значения - 1, 2, 3, 4

Вероятность того, что охотник попадет в цель равна..., и не попадет в мишень -...

Найдем следующие вероятности:

Проверка:...

Составим закон распределения:

1 2 3 4

0,7 0,21 0,063 0,027

2) Построим функцию распределения

Если......то...

Если......то...

Если......то...

Если......то...

Если......то...

Таким образом

Построим график функции распределения:

3) Математическое ожидание вычислим по формуле:

Дисперсию вычислим по формуле:

Среднее квадратическое отклонение равно:

4) Определим вероятности:

a)...

b)...

c)

ЗАДАЧА 5.

При исследовании некоторого непрерывного признака... экзаменатор предположил, что этот признак подчиняется закону распределения с плотностью распределения

1. Установить неизвестную постоянную С и построить график функции...

2. Найти функцию распределения с.в....и построить ее график.

3. Вычислить математическое ожидание..., дисперсию...и среднее квадратическое отклонение....

4. Во сколько раз число опытов, в которых экспериментатор будет получать результат меньше среднего значения, превышает число опытов, в которых результат будет больше средего?

РЕШЕНИЕ:

1. Для определения коэффициента С воспользуемся свойством:

В нашем случае

Тогда

откуда...

Итак

Построим график функции плотности распределения...:

2. Найдем функцию распределения...

Если..., то...

Если..., то...

Если..., то

Если..., то

т.е.

Построим график функции распределения:

3. Математическое ожидание... равно:

дисперсия...

и среднее квадратическое отклонение...:

4....

Тогда получаем,что... раз больше.Задача 6.

Выборка из большой партии микросхем нового типа содержит 25 микросхем. Время непрерывной работы до выхода из строя для этих микросхем оказалось равным (в сутках):

41,228 40,392 40,425 41,404 38,951 39,908 39,996 40,656 41,019 40,183

40,205 39,325 40,117 39,501 38,39 37,895 37,84 39,446 41,03 39,688

39,193 38,522 38,709 39,776 37,323

Необходимо:

1. Определить исследуемый признак и его тип (дискретный или непрерывный).

2. В зависимости от типа признака построить полигон или гистограмму относительных частот.

3. На основе визуального анализа полигона (гистограммы) сформулировать гипотезу о законе распределения признака.

4. Вычислить выборочные характеристики изучаемого признака: среднее, дисперсию, среднее квадратическое (стандартное) отклонение.

5. Использую критерий согласия "хи-квадрат" Пирсона, проверить соответствие выборочных данных выдвинутому в п.3. закону распределения при уровне значимости 0.01

6. Для генеральной средней и дисперсии построить доверительные интервалы, соответствующие доверительной вероятности 0,99.

7. С надежностью 0,99 проверить гипотезу о равенстве:

а) генеральной средней значению 39,6.

б) генеральной дисперсии значению 1,21.

РЕШЕНИЕ:

1. В данной задаче исследуемым признаком является время работы микросхемы.

Исследуемый признак является непрерывным, так как он принимает значения, заполняющие конечный промежуток (37,323; 41,404) числовой оси Ох.

2. Для иллюстрации распределения непрерывной случайной величины пользуются гистограммами.

Построим вариационный ряд:

37,323 37,84 37,895 38,39 38,522 38,709 38,951 39,193 39,325

1 1 1 1 1 1 1 1 1

39,446 39,501 39,688 39,776 39,908 39,996 40,117 40,183 40,205

1 1 1 1 1 1 1 1 1

40,392 40,425 40,656 41,019 41,03 41,228 41,404

1 1 1 1 1 1 1

Разобьем вариационный ряд на n равных интервалов длиной h:

Вычислим относительные частоты по формуле и все вычисления запишем в таблицу, т.е. построим вариационный ряд относительных частот:

Получим следующий интервальный ряд:

Номер

интервала... Граница интервала Частота... Относительная частота

1 37,323 38,003 3 3/25

2 38,003 38,683 2 2/25

3 38,683 39,364 4 4/25

4 39,364 40,044 6 6/25

5 40,044 40,724 6 6/25

6 40,724 41,404 4 4/25

Построим гистограмму относительных частот:

4. Вычислим средние характеристики. Для этого найдем середины интервалов и примем их в качестве вариант:

37,663 38,343 39,023 39,704 40,384 41,064

3 2 4 6 6 4

Средняя выборочная:

Средняя выборочная квадратов:

Выборочная дисперсия:

Квадратическое отклонение

5. Используя критерий согласия "хи-квадрат" Пирсона, проверим соответствие выборочных данных выдвинутому в п.3. закону о нормальном распределении при уровне значимости 0.01

а) выборочные характеристики равны:

и...

б) проведем объединение интервалов

Номер

интервала... Граница интервала Частота...

1 39,323 38,683 5

2 38,683 39,364 4

3 39,364 40,044 6

4 40,044 40,724 6

5 40,724 41,404 4

в) найдем интервалы.... Для этого составим расчетную таблицу

Границы интервала Границы интервала

1 39,323 38,683 -0,299 -0,939... -0,885

2 38,683 39,3635 -0,939 -0,259 -0,885 -0,244

3 39,364 40,0437 -0,259 0,422 -0,244 0,397

4 40,044 40,7238 0,422 1,102 0,397 1,038

5 40,724 41,404 1,102 1,782 1,038...

г) найдем теоретические вероятности Pi и теоретические частоты ni/=nPi=25*Pi. Для этого составим расчетную таблицу:

Границы интервала Границы интервала

=...

1... -0,885 -0,500 -0,313 0,187 4,668

2 -0,885 -0,244 -0,313 -0,095 0,219 5,463

3 -0,244 0,397 -0,095 0,156 0,251 6,263

4 0,397 1,038 0,156 0,351 0,195 4,878

5 1,038... 0,351 0,500 0,149 3,730

д) сравним эмпирические и теоретические частоты, используя критерий Пирсона.

Вычислим наблюдаемое значение Пирсона. Для этого составим вспомогательную таблицу:

i ni ni/ ni- ni/ (ni- ni/)2 (ni- ni/)2/ ni/ ni2 ni2/ ni/

1 5 4,668 0,333 0,111 0,024 25 5,356

2 4 5,463 -1,463 2,139 0,392 16 2,929

3 6 6,263 -0,263 0,069 0,011 36 5,749

4 6 4,878 1,123 1,260 0,258 36 7,381

5 4 3,730 0,270 0,073 0,020 16 4,290

5 4,668 0,333 0,111 0,024 25 5,356

25,704

По таблице критических точек распределения..., по уровню значимости... и числу степеней свободы...(s- число интервалов) находим критическую точку правосторонней критической области....

Так как...-принимаем гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности.

6. Найдем исправленное среднее квадратическое отклонение

Доверительный интервал для оценки средней найдем по формуле:

Где значение t определим по таблице Стьюдента: t(0,995; 24)=2,7969

Тогда

(39,016; 40,228)

Доверительный интервал для оценки дисперсии найдем по формуле:

По данным... и n=25 по таблице "хи-квадрат" определяем:

и....

Подставляя все в формулу найдем доверительный интервал:

(0,644; 2,966)

7. С надежностью 0,99 проверить гипотезу о равенстве:

а) генеральной средней значению 39,6.

Так как доверительный интервал, найденный в п.6 накрывает значение 39.6, то гипотезу о равенстве генеральной средней значению 39,6 принимаем.

б) генеральной дисперсии значению 1,21.

Так как значение...= 1,21 накрывается интервалом (0,644; 2,966), то гипотезу о равенстве генеральной дисперсии значению 1,21 принимаем.