Вариант 17. Для сигнализации на складе установлены три независимо работающих устройства

  • ID: 04740 
  • 13 страниц

Фрагмент работы:

Вариант 17. Для сигнализации на складе установлены три независимо …

ЗАДАЧА 6.

Для сигнализации на складе установлены три независимо работающих устройства. Вероятность того, что при необходимости первое устройство сработает, составляет р1=85%, для второго и третьего устройства эти вероятности равны соответственно р2=95% и р3=80%. Найти вероятность того, что в случае необходимости сработают:

1) все устройства;

2) только одно устройство;

3) хотя бы одно устройство.

РЕШЕНИЕ:

1) обозначим через событие А - все устройства сработали. Тогда

2) обозначим через событие В - сработает только одно устройство.

3) обозначим через событие С - хотя бы одно устройство сработало, т.е. сработало одно или два или три устройства.

Противоположное событие...- ни одно устройство не сработало.

Следовательно

ОТВЕТ: 1) 0.646 ; 2) 0.043 ; 3) 0.9985

ЗАДАЧА 20.

В партии, состоящей из n=70 одинаково упакованных изделий, смешаны изделия двух сортов, причем k=45 из этих изделий - первого сорта, а остальные изделия - второго сорта. Найти вероятность того, что взятые наугад два изделия окажутся:

1) одного сорта;

2) разных сортов.

РЕШЕНИЕ:

Обозначим через: событие... - изделие первого сорта

событие... - изделие второго сорта

1) событие А - изделия одного сорта

2) событие В - изделия разных сортов

ОТВЕТ: 1)0.5342; 2) 0.4658

ЗАДАЧА 24.

В цехе трудятся 3 мастера и 6 учеников. Мастер допускает брак при изготовлении детали с вероятностью 0,05, а ученик - с вероятностью 0,15.

1) Какова вероятность, что наугад взятое изделие будет бракованным?

2) Наугад взятое изделие оказалось бракованным. Какова вероятность, что оно изготовлено мастером?

РЕШЕНИЕ:

Обозначим через:

событие... - наугад взятое изделие оказалось бракованным

событие... - изделие изготовлено мастером

событие... - изделие изготовлено учеником

По условию задачи имеем

1) Найдем вероятность того, что наугад взятое изделие будет бракованным, используя формулу полной вероятности:

2) Наугад взятое изделие оказалось бракованным. Какова вероятность, что оно изготовлено мастером. Воспользуемся формулой Байеса:

ОТВЕТ: 1) 0.1167 ; 2) 0.1428

ЗАДАЧА 33.

Вероятность того, что в результате проверки изделию будет присвоен знак "изделие высшего качества" равна p=0,2.

1. На контроль поступило n=6 изделий. Какова вероятность того, что знак высшего качества будет присвоен:

а) ровно m=3 изделиям;

б) более чем k=4 изделиям;

в) хотя бы одному изделию;

г) указать наивероятнейшее количество изделий, получивших знак высшего качества, и найти соответствующую ему вероятность.

2. При тех же условиях найти вероятность того, что в партии из N=28 изделий знак высшего качества получает:

а) ровно половина изделий;

б) не менее чем k1=4, но не более, чем k2=14 изделий.

РЕШЕНИЕ:

1. а) Искомую вероятность найдем по формуле Бернулли:

где...

б) обозначим через событие А - более чем k=4 изделиям присвоен знак высшего качества.

в) событие С - хотя бы одному изделию - одному и более.

Противоположное событие...- ни одному изделию

г) найдем наивероятнейшее... количество изделий, получивших знак высшего качества по формуле:

или..., т.е. вероятнее всего одно или два изделия получат знак высшего качества

Соответствующие им вероятности равны:

2. а) воспользуемся локальной теоремой Лапласа:

где...

Получаем:

по таблице находим...

б) будем использовать интегральную теорему Лапласа:

ЗАДАЧА 45.

В лотерее на каждые 100 билетов приходиться m1=5 билетов с выигрышем a1=10 тыс. рублей, m2=10 билетов с выигрышем a2=8 тыс. рублей, m3=12 билетов с выигрышем a3=6 тыс. рублей и т.д. Остальные билеты из сотни не выигрывают.

Составить закон распределения величины выигрыша для владельца одного билета и найти его основные характеристики: математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение. Пояснить смысл указанных характеристик.

РЕШЕНИЕ:

Случайная величина Х - дискретная величина. Составим закон распределения этой случайной величины, перечислив все е возможные значения и найдя соответствующие им вероятности. Число выигрышных билетов из 100 составляет: 5+10+12+15+18+20=80, значит, число невыигрышных билетов: 100 - 80 =20.

Располагая величины возможного выигрыша...в порядке возрастания, получим следующую таблицу:

0 1 2 4 6 8 10

0.2 0.2 0.18 0.15 0.12 0.1 0.05

Где

Отметим, что...

а) Математическое ожидание случайной величины Х:

Ожидаемый средний выигрыш на один билет составляет 3.18 тыс.руб.

Дисперсию вычислим по формуле:

Среднее квадратическое отклонение равно:

тыс.руб. - характеристика разброса фактических значений выигрыша от найденного среднего значения..., то есть основные значения случайной величины выигрыша находятся в диапазоне (3.18...2.99), что соответствует таблице данных.

ОТВЕТ:...;...;...

ЗАДАЧА 54.

Вес изготовленного серебряного изделия должен составлять а=80 граммов.

При изготовлении возможны случайные погрешности, в результате которых вес изделия случаен, но подчинен нормальному закону распределения со средним квадратическим отклонением ?=3 граммов.

Требуется найти вероятность того, что:

1. Вес изделия составит от ?=75 до ?=92 граммов;

2. Величина погрешности в весе не превзойдет ?=8 граммов по абсолютной величине.

РЕШЕНИЕ:

1) воспользуемся формулой:

Тогда получаем

По таблице приложения 2:......

Искомая вероятность попадания нормально распределенной случайной величины в интервал(80;110) равна:

2) вероятность того, что абсолютная величина отклонения "X-a" окажется меньше ?=8, равна:

ОТВЕТ: а) 0,95247; б) 0,9924

ЗАДАЧА 68.

По итогам выборочных обследований для некоторой категории сотрудников величина их дневного заработка X руб. и соответствующее количество сотрудников ni представлены в виде интервального статистического распределения.

1) Построить гистограмму относительных частот распределения.

2) Найти основные характеристики распределения выборочных данных: среднее выборочное значение, выборочную дисперсию и выборочное среднее квадратическое отклонение.

3) Оценить генеральные характеристики по найденным выборочным характеристикам.

1) Считая, что значение X в генеральной совокупности подчинены нормальному закону распределения, найти доверительный интервал для оценки математического ожидания (генерального среднего значения) с надежностью ?=0.99, считая, что генеральная дисперсия равна исправленной выборочной дисперсии.

xi 52-56 56-60 60-64 64-68 68-72 72-76 76-80

ni 5 15 25 18 12 8 2

РЕШЕНИЕ:

Объем выборки:...

1) вычислим относительные частоты для каждого частичного интервала:

Контроль...

В итоге получено следующее интервальное распределение относительных частот признака Х:

xi 52-56 56-60 60-64 64-68 68-72 72-76 76-80

wi 0,059 0,176 0,294 0,212 0,141 0,094 0,024

Длина каждого частичного интервала равна 4. Следовательно, шаг разбиения....

Построим гистограмму относительных частот.

2) для нахождения характеристик выборки интервального распределения признака Х перейдем к дискретному, выбирая в качестве значений признака xi середины частичных интервалов:

xi 54 58 62 66 70 74 78

ni 5 15 25 18 12 8 2

средняя выборочная:

Средняя выборочная квадратов:

Выборочная дисперсия:

квадратическое отклонение

2) доверительный интервал для оценки средней найдем по формуле:

Где значение t определим по таблице

Тогда

(62,72; 65,9)

ОТВЕТ:...;...;...;...

ЗАДАЧА 76.

С целью анализа взаимного влияния прибыли предприятия и его издержек выборочно были проведены наблюдения за этими показателями в течении ряда месяцев: X - величина месячной прибыли в тыс. руб., Y - месячные издержки в процентах к объему продаж.

Результаты выборки сгруппированы и представлены в виде корреляционной таблицы, где указаны значения признаков X и Y и количество месяцев, за которые наблюдались соответствующие пары значений названных месяцев.

1) По данным корреляционной таблицы найти условные средние... и....

2) Оценить тесноту линейной связи между X и Y.

3) Составить уравнение линейной регрессии Y по X и X по Y.

4) Сделать чертеж, нанеся на него условные средние и найденные прямые регрессии.

5) Оценить силу связи между признаками с помощью корреляционного отношения.

110 120 130 140 150

2 2 2

7 4 6 10

12 2 3 1 6

17 5 4 1 10

22 2 3 4 9

27 3 3

6 8 10 8 8 40

РЕШЕНИЕ:

Найдем условные средние... и...по формулам:

и...

;...

;...

;...

;...

;...

Для того, чтобы найти коэффициент корреляции составим вспомогательные таблицы:

110 6 660 72600 3 1980

120 8 960 115200 8,5 8160

130 10 1300 169000 17 22100

140 8 1120 156800 18,5 20720

150 8 1200 180000 23,5 28200

40 5240 693600 81160

2 2 4 8 110 440

7 10 70 490 116 8120

12 6 72 864 128 9216

17 10 170 2890 136 23120

22 9 198 4356 142 28116

27 3 81 2187 150 12150

40 595 10795 81160

Найдем выборочные средние:

Найдем средние квадратические отклонения:

Найдем коэффициент корреляции:

Следовательно, связь между признаками X и Y является высокой и прямой.

Составим уравнение линии регрессии...по...:

Построим график линии регрессии и нанесем точки...:

Составим уравнение линии регрессии...по...:

Построим график линии регрессии и нанесем точки...:

Вычислим корреляционные отношения:

и...

Где межгрупповые дисперсии вычисляются по формулам:

Используя расчетную таблицу, находим:

вычисляем:

Тогда корреляционные отношения равны:

и...