Вариант 26. Для сигнализации на складе установлены три независимо работающих устройства

  • ID: 04610 
  • 13 страниц

Фрагмент работы:

Вариант 26. Для сигнализации на складе установлены три независимо …

ЗАДАЧА 6.

Для сигнализации на складе установлены три независимо работающих устройства. Вероятность того, что при необходимости первое устройство сработает, составляет р1=85%, для второго и третьего устройства эти вероятности равны соответственно р2=95% и р3=80%. Найти вероятность того, что в случае необходимости сработают:

1) все устройства;

2) только одно устройство;

3) хотя бы одно устройство.

РЕШЕНИЕ:

1) обозначим через событие А - все устройства сработали. Тогда

2) обозначим через событие В - сработает только одно устройство.

3) обозначим через событие С - хотя бы одно устройство сработало, т.е. сработало одно или два или три устройства.

Противоположное событие...- ни одно устройство не сработало.

Следовательно

ОТВЕТ: 1) 0.646 ; 2) 0.043 ; 3) 0.9985

ЗАДАЧА 16.

В партии, состоящей из n=45 одинаково упакованных изделий, смешаны изделия двух сортов, причем k=15 из этих изделий - первого сорта, а остальные изделия - второго сорта. Найти вероятность того, что взятые наугад два изделия окажутся:

1) одного сорта;

2) разных сортов.

РЕШЕНИЕ:

Обозначим через: событие... - изделие первого сорта

событие... - изделие второго сорта

тогда по условию задачи

1) событие А - изделия одного сорта

2) событие В - изделия разных сортов

ОТВЕТ: 1)...; 2)...

ЗАДАЧА 24.

В цехе трудятся 3 мастера и 6 учеников. Мастер допускает брак при изготовлении детали с вероятностью 0,05, а ученик - с вероятностью 0,15.

1) Какова вероятность, что наугад взятое изделие будет бракованным?

2) Наугад взятое изделие оказалось бракованным. Какова вероятность, что оно изготовлено мастером?

РЕШЕНИЕ:

Обозначим через:

событие... - наугад взятое изделие оказалось бракованным

событие... - изделие изготовлено мастером

событие... - изделие изготовлено учеником

По условию задачи имеем

1) Найдем вероятность того, что наугад взятое изделие будет бракованным, используя формулу полной вероятности:

2) Наугад взятое изделие оказалось бракованным. Какова вероятность, что оно изготовлено мастером. Воспользуемся формулой Байеса:

ОТВЕТ: 1) 0.1167 ; 2) 0.1428

ЗАДАЧА 34.

Вероятность того, что в результате проверки изделию будет присвоен знак "изделие высшего качества" равна p=0,3.

1. На контроль поступило n=5 изделий. Какова вероятность того, что знак высшего качества будет присвоен:

а) ровно m=2 изделиям;

б) более чем k=3 изделиям;

в) хотя бы одному изделию;

г) указать наивероятнейшее количество изделий, получивших знак высшего качества, и найти соответствующую ему вероятность.

2. При тех же условиях найти вероятность того, что в партии из N=30 изделий знак высшего качества получает:

а) ровно половина изделий;

б) не менее чем k1=8, но не более, чем k2=20 изделий.

РЕШЕНИЕ:

1. а) Искомую вероятность найдем по формуле Бернулли:

где...

б) обозначим через событие А - более чем k=3 изделиям присвоен знак высшего качества, т.е. трем или четырем или пяти изделиям:

в) событие С - хотя бы одному изделию - одному и более.

Противоположное событие...- ни одному изделию

г) найдем наивероятнейшее... количество изделий, получивших знак высшего качества по формуле:

или..., т.е. вероятнее всего одно или два изделия получат знак высшего качества

Соответствующие им вероятности равны:

2. а) воспользуемся локальной теоремой Лапласа:

где...

Получаем:

б) будем использовать интегральную теорему Лапласа:

ЗАДАЧА 50.

В лотерее на каждые 100 билетов приходиться m1=8 билетов с выигрышем a1=5 тыс. рублей, m2=10 билетов с выигрышем a2=4 тыс. рублей, m3=15 билетов с выигрышем a3=3 тыс. рублей и m4=25 билетов с выигрышем a4=2. Остальные билеты из сотни не выигрывают.

Составить закон распределения величины выигрыша для владельца одного билета и найти его основные характеристики: математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение. Пояснить смысл указанных характеристик.

РЕШЕНИЕ:

Случайная величина Х - дискретная величина. Составим закон распределения этой случайной величины, перечислив все е возможные значения и найдя соответствующие им вероятности. Число выигрышных билетов из 100 составляет: 8+10+15+25=58, значит, число невыигрышных билетов: 100 - 58 =42.

Располагая величины возможного выигрыша... в порядке возрастания, получим следующую таблицу:

0 2 3 4 5

0.42 0.25 0.15 0.1 0.08

Отметим, что...

а) Математическое ожидание случайной величины Х:

Ожидаемый средний выигрыш на один билет составляет 1,75 тыс.руб.

Дисперсию вычислим по формуле:

Среднее квадратическое отклонение равно:

тыс.руб. - характеристика разброса фактических значений выигрыша от найденного среднего значения..., то есть основные значения случайной величины выигрыша находятся в диапазоне (1,75...1,699).

ОТВЕТ:...;...;...

ЗАДАЧА 53.

Вес изготовленного серебряного изделия должен составлять а=70 граммов.

При изготовлении возможны случайные погрешности, в результате которых вес изделия случаен, но подчинен нормальному закону распределения со средним квадратическим отклонением ?=3 граммов.

Требуется найти вероятность того, что:

1) Вес изделия составит от ?=64 до ?=80 граммов;

2) Величина погрешности в весе не превзойдет ?=7 граммов по абсолютной величине.

РЕШЕНИЕ:

1) Воспользуемся формулой:

Тогда получаем

По таблице приложения 2:......

Искомая вероятность попадания нормально распределенной случайной величины в интервал (64; 80) равна:

2) вероятность того, что абсолютная величина отклонения "X-a" окажется меньше ?=7, равна:

ОТВЕТ: а) 0.97686; б) 0.9796

ЗАДАЧА 67.

По итогам выборочных обследований для некоторой категории сотрудников величина их дневного заработка X руб. и соответствующее количество сотрудников ni представлены в виде интервального статистического распределения.

1) Построить гистограмму относительных частот распределения.

2) Найти основные характеристики распределения выборочных данных: среднее выборочное значение, выборочную дисперсию и выборочное среднее квадратическое отклонение.

3) Оценить генеральные характеристики по найденным выборочным характеристикам.

4) Считая, что значение X в генеральной совокупности подчинены нормальному закону распределения, найти доверительный интервал для оценки математического ожидания (генерального среднего значения) с надежностью ?=0,85, считая, что генеральная дисперсия равна исправленной выборочной дисперсии.

xi 36-42 42-48 48-54 54-60 60-66 66-72

ni 8 13 15 15 7 2

РЕШЕНИЕ:

Объем выборки:...

1) вычислим относительные частоты для каждого частичного интервала:

Контроль...

В итоге получено следующее интервальное распределение относительных частот признака Х:

xi 36-42 42-48 48-54 54-60 60-66 66-72

wi 0.133 0.217 0.25 0.25 0.117 0.033

Длина каждого частичного интервала равна 6. Следовательно, шаг разбиения....

Построим гистограмму относительных частот.

2) для нахождения характеристик выборки интервального распределения признака Х перейдем к дискретному, выбирая в качестве значений признака xi середины частичных интервалов:

xi 39 45 51 57 63 69

ni 8 13 15 15 7 2

средняя выборочная:

Средняя выборочная квадратов:

Выборочная дисперсия:

квадратическое отклонение

2) доверительный интервал для оценки средней найдем по формуле:

Где значение t определим по таблице

Тогда

(50,12; 53,08)

ОТВЕТ:...;...;...;...

ЗАДАЧА 78.

С целью анализа взаимного влияния прибыли предприятия и его издержек выборочно были проведены наблюдения за этими показателями в течении ряда месяцев: X - величина месячной прибыли в тыс. руб., Y - месячные издержки в процентах к объему продаж.

Результаты выборки сгруппированы и представлены в виде корреляционной таблицы, где указаны значения признаков X и Y и количество месяцев, за которые наблюдались соответствующие пары значений названных месяцев.

1) По данным корреляционной таблицы найти условные средние... и....

2) Оценить тесноту линейной связи между X и Y.

3) Составить уравнение линейной регрессии Y по X и X по Y.

4) Сделать чертеж, нанеся на него условные средние и найденные прямые регрессии.

5) Оценить силу связи между признаками с помощью корреляционного отношения.

35 45 55 65 75

10 5 5

15 1 6 7

20 2 5 1 8

25 8 10 1 19

30 5 2 4 11

35 8 8

=...

РЕШЕНИЕ:

Найдем условные средние... и...по формулам:

и...

;...

;...

;...

;...

;...

Для того, чтобы найти коэффициент корреляции составим вспомогательные таблицы:

35 6 210 7350 10,8 2268

45 8 360 16200 16,25 5850

55 18 990 54450 25 24750

65 13 845 54925 25,4 21463

75 13 975 73125 32,7 31882,5

58 3380 206050 86213,5

10 5 50 500 35 1750

15 7 105 1575 43,6 4578

20 8 160 3200 53,8 8608

25 19 475 11875 61,31 29124,5

30 11 330 9900 64,1 21153

35 8 280 9800 75 21000

58 1400 36850 86213,5

Найдем выборочные средние:

Найдем средние квадратические отклонения:

Найдем коэффициент корреляции:

Следовательно, связь между признаками X и Y является высокой и прямой.

Составим уравнение линии регрессии...по...:

Составим уравнение линии регрессии...по...:

Построим графики линий регрессии и нанесем точки......:

Вычислим корреляционные отношения:

и...

Где межгрупповые дисперсии вычисляются по формулам:

Составим расчетную таблицу:

541,7658 2708,829 177,9004 1067,402

215,3809 1507,666 62,21946 497,7556

20,03334 160,2667 0,743163 13,37693

9,205993 174,9139 1,592818 20,70663

33,92058 373,1264 73,30902 953,0173

279,6968 2237,574 2552,259

7162,377

Тогда

вычисляем:

Тогда корреляционные отношения равны:

и...