Вариант 20. В чулане находится б пар ботинок, все пары разных фасонов. Наугад в темноте выбирают 4 ботинка. Какова вероятность, что среди выбранных ботинок отсутствуют парные?

  • ID: 41807 
  • 5 страниц

Фрагмент работы:

Контрольная работа 7: Вариант 20.

В чулане находится б пар ботинок, все пары разных фасонов. Наугад в темноте выбирают 4 бо-тинка. Какова вероятность, что среди выбранных ботинок отсутствуют парные?

Решение:

Определим вероятность по формуле классической вероятности. Общее количество равновоз-можных исходов равно количеству способов выбора 4 ботинок из 12, т.е.. Количество благоприятных исходов равно, т.к. должны быть выбраны ботинки из 4 различных пар, пор одному (любому) из каждой пары. Тогда вероятность того, что среди выбранных боти-нок отсутствуют парны, будет равна:

Задача №2.

В продажу поступают телевизоры трех заводов. Продукция первого завода содержит 10% теле-визоров со скрытым дефектом, второго - 5% и третьего 2%. Какова вероятность приобрести ис-правный телевизор, если в магазин поступило 40% телевизоров с первого завода, 40% со второ-го и 20% с третьего? Если купленный телевизор оказался неисправным, какова вероятность, что его изготовили на третьем заводе?

Решение:

Рассмотрим гипотезы:

H1 – купленный телевизор был изготовлен на 1 заводе

H2 – купленный телевизор был изготовлен на 2 заводе

H3 – купленный телевизор был изготовлен на 3 заводе

и событие A – купленный телевизор оказался исправным, тогда

P(H1)=0,4 P(H2)=0,4 P(H3)=0,2

P(A/H1)=1-0,1=0,9 P(A/H2)=1-0,05=0,95 P(A/H3)=1-0,02=0,98

Гипотезы H1, H2 и H3 образуют полную группу, поэтому по формуле полной вероятности име-ем:

=0,40,9+0,40,95+0,20,98=0,936

Рассмотрим событие B - купленный телевизор оказался неисправным при тех же гипотезах, тогда

P(В/H1)=0,1 P(В/H2)=0,05 P(В/H3)=0,02

По формуле полной вероятности

=0,40,1+0,40,05+0,20,02=0,064

Т.к. купленный телевизор оказался неисправным, т.е. событие В произошло, то вероятность того, что его изготовили на третьем заводе, определим по формуле Байеса:

Задача №3.

Найти закон распределения, математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратичное от-клонение следующей случайной дискретной величины:

Количество бросаний игрального кубика до того как в сумме выпадет не менее 5 очков.

Решение:

Закон распределения дискретной случайной величины определяется парами значений – значе-нием случайной величины и вероятностью, с которой это значение может быть принято. Опре-делим возможные значения случайной величины и их вероятности:

Х=1:, т.к. в этом случае должно выпасть сразу 5 или 6 очков.

Х=2: В этом случае могут быть следующие варианты:

первой выпадает 4, затем любая цифра;

первой выпадает 3, затем любая цифра от 2 до 6;

первой выпадает 2, затем любая цифра от 3 до 6;

первой выпадает 1, затем любая цифра от 4 до 6.

Тогда вероятность будет равна:

Аналогично находим остальные вероятности:

Х=3:

Х=4:

Х=5:, т.к. в этом случае при всех бросаниях должна выпасть единица.

Проверка: 1/3+1/2+4/27+23/1296+1/1296=1

Запишем ряд распределения

x 1 2 3 4 5

p

Найдем математическое ожидание и дисперсию по формулам:

где

DX=3,97-1,8520,5377

Задача №4.

В серии п испытаний вероятность успеха каждого отдельного испытания равна р. X число ''успехов'' в ходе этих испытаний.

1. для случая а) (малого п) построить закон распределения, функцию распределения X. найти М(Х), D(X) и Р(Х  2)

2. для случая б) (большого п и малого р) найти с помощью теоремы Пуассона приближенное значение для Р(Х  2)

3. для случая в) (большого п) найти вероятность Р(k1  X  k2) приближенно с помощью теоре-мы Муавра-Лапласа.

а) n = 4,р = 0.3 б) п = 70, р = 0.003 в) п = 200. р = 0.3, k1 = 70, k2 = 75

Решение:

1. n=4 p=0,3

q=1-p=1-0,3=0,7

Определим вероятности по формуле Бернулли:

X=0:

X=1:

X=2:

X=3:

X=4:

Запишем ряд распределения:

X 0 1 2 3 4

p 0,2401 0,4116 0,2646 0,0756 0,0081

Составим функцию распределения:

Для биномиального закона математическое ожидание и дисперсия вычисляются по формулам:

MX=np=40,3=1,2

DX=npq=40,30,7=0,84

P{X2}=P(X