Вариант 5. Имеется 10 билетов в театр, из которых 3 на места первого ряда. По жребию разыгрываются три билета среди всех билетов

  • ID: 38375 
  • 16 страниц

Содержание:


ЗАДАНИЕ 1

Имеется 10 билетов в театр, из которых 3 на места первого ряда. По жребию разыгрываются три билета среди всех билетов. Найти вероятность того, что среди выигравших билетов:

а) только один билет первого ряда; b) два билета первого ряда;

с) не менее двух билетов первого ряда; d) хотя бы один билет первого ряда;

е) все билеты либо первого, либо других рядов.

Решение: По условию задачи: 3 билета первого ряда, 7 билетов других рядов. Всего 10 билетов.

Обозначим через - i-тый билет первого ряда, - i-тый билет другого ряда

а) Обозначим через событие А – только один билет первого ряда

Тогда, и вероятность события А найдем по теореме сложения несовместных событий и теореме умножения зависимых событий:

б) Обозначим через событие В – два билета первого ряда.

Тогда:

и вероятность равна:

с) обозначим через событие С – не менее двух билетов первого ряда, т.е два или три билета первого. Следовательно

d) обозначим через событие D – хотя бы один билет первого ряда, т.е. один и более. Тогда

е) обозначим через событие E – все билеты первого или других рядов.

Тогда

и вероятность равна:

ЗАДАНИЕ 2

Строительная бригада получает железобетонные перекрытия от трех ДСК, причем ДСК-1 поставляет 30% всех перекрытий, ДСК-2 – 35%, а остальную продукцию поставляет ДСК-3. Известно, что брак в продукции ДСК-1 составляет в среднем 7%, ДСК-2 – 8%, а ДСК-3 – 9%. Для контроля качества из всех имеющихся перекрытий наудачу берут два.

Определить вероятность того, что по крайней мере одно из двух проверенных перекрытий будет иметь брак.

Оба проверенных перекрытия оказались без брака. От каких ДСК вероятнее всего они поступили?

Решение:

Введем события:

Событие Н1 – перекрытие поставлено ДСК-1

Событие Н2 – перекрытие поставлено ДСК-2

Событие Н3 – перекрытие поставлено ДСК-3

Тогда

1) Событие А – среди проверенных перекрытий по крайней мере одно имеет брак. Противоположное событие – среди проверенных перекрытий все небракованные

Вероятность события найдем по формуле полной вероятности:

- вероятность того, что среди двух проверенных перекрытий поставленных ДСК-1 нет бракованных

- вероятность того, что среди двух проверенных перекрытий поставленных ДСК-2 нет бракованных

- вероятность того, что среди двух проверенных перекрытий поставленных ДСК-3 нет бракованных

Следовательно

тогда вероятность события А:

2. При нахождении вероятностей будем пользоваться формулой Байеса:

- вероятность того, что перекрытия поставлены ДСП-1

вероятность того, что перекрытия поставлены ДСП-2

- вероятность того, что перекрытия поставлены ДСП-3

Вероятнее всего перекрытия поставлены ДСП-2.

ЗАДАНИЕ 3

Некоторая страховая компания выплачивает страховую сумму в среднем по 5% договоров.

Какова вероятность того, что среди 400 клиентов данной страховой компании доля получивших страховую сумму будет:

а) равна 3%; b) не менее 3%; с) не более 10%; d) не менее 2%, но не более 8%? Сколько нужно застраховать клиентов, чтобы с вероятность 0,94 можно было утверждать, что доля получивших страховую сумму среди них отклонится по абсолютной величине от вероятности получения каждым клиентом страховой суммы не более, чем на 0.01?

Решение:

По условию вероятность получить страховую сумму составляет

1. Дано n=400

a)

Воспользуемся локальной теоремой Муавра –Лапласа

В нашем примере имеем:

где значение нашли по таблице значений функции

b)

Воспользуемся интегральной теоремой Муавра –Лапласа

Тогда получаем:

где значение и нашли по таблице значений функции Лапласа.

c)

d)

2. По условию

Абсолютная величина отклонения доли получивших страховую сумму от вероятности получить страховую сумму не превысит числа, приближенно равна удвоенной функции Лапласа при :

В нашем случае имеем:

В силу условия

По таблице функции Лапласа найдем:

Следовательно

Таким образом, искомое число застрахованных n=75

ЗАДАНИЕ 4

Для сигнализации об аварии в офисе некоторой фирмы города N установлено три сигнализатора различных типов, которые работают независимо друг от друга. Во время аварии сигнализаторы первого типа не срабатывают в среднем в 2%, второго – 3%, третьего – 4% всех аварийных случаев. Рассматривается случайная величина (с.в.) – число сигнализаторов, сработавших во время аварии.

Составить ряд распределения с.в. и представить его графически.

Найти функцию распределения с.в. и построить её график.

Вычислить математическое ожидание (среднее значение) М, дисперсию D и среднее квадратическое (стандартное) отклонение ().

Определить вероятности: а) Р; b) Р; c) Р

Решение: с.в. может принимать следующие значения – 0, 1, 2, 3

Найдем следующие вероятности:

- ни один сигнализатор не сработал

- сработал только один сигнализатор

- сработало два сигнализатора

- все сигнализаторы сработали

Проверка:

Составим закон распределения:

0

1

2

3

0

0,003

0,085

0,912

2) Построим функцию распределения

Если то

Если то

Если то

Если то

Если то

Таким образом

Построим график функции распределения:

3) Математическое ожидание вычислим по формуле:

Дисперсию вычислим по формуле:

Среднее квадратическое отклонение равно:

4) Определим вероятности:

a)

b)

c)

ЗАДАНИЕ 5

Время (в днях), через которое поставщик начинает поставлять свою продукцию после подписания контракта, является случайным с плотностью распределения

Установить неизвестную постоянную С и построить график функции p(x).

Найти функцию распределения с.в. и построить её график.

Вычислить математическое ожидание (среднее значение) М, дисперсию D и среднее квадратическое (стандартное) отклонение ().

Во сколько раз число поставок с временем поставки меньше среднего превышает число поставок с временем поставки выше среднего?

Решение:

1. Для определения коэффициента С воспользуемся свойством:

В нашем случае получаем

Итак

Построим график функции плотности распределения :

2. Найдем функцию распределения

Если, то

Если, то

Если, то

т.е.

Построим график функции распределения:

3. Математическое ожидание равно:

дисперсия

и среднее квадратическое отклонение :

4.

Тогда получаем, что число поставок с временем поставки меньше среднего превышает число поставок с временем поставки выше среднего в раза.

ЗАДАНИЕ 6

При штамповке шариков для подшипников происходят случайные отклонения диаметров шариков от номинала. При обследовании 25 шариков эти отклонения составили (в мм):

-0,562

0,219

0,027

-0,252

-0,140

0,229

0,092

0,172

-0,490

-0,469

-0,467

-0,173

-0,557

-1,204

0,541

0,335

0,060

-0,426

-0,393

-0,372

0,118

-0,171

0,552

-0,584

0,161

Необходимо:

1. Определить исследуемый признак и его тип (дискретный или непрерывный).

2. В зависимости от типа признака построить полигон или гистограмму относительных частот.

3. На основе визуального анализа полигона (гистограммы) сформулировать гипотезу о законе распределения признака.

4. Вычислить выборочные характеристики изучаемого признака: среднее, дисперсию, среднее квадратическое (стандартное) отклонение.

5. Используя критерий согласия «хи-квадрат» Пирсона, проверить соответствие выборочных данных выдвинутому в п.3 закону распределения при уровне значимости 0,05.

6. Для генеральной средней и дисперсии построить доверительные интервалы, соответствующие доверительной вероятности 0,95.

7. С надежностью 0,95 проверить гипотезу о равенстве:

а) генеральной средней значению 0,742;

б) генеральной дисперсии значению 0,18.

Решение:

1. В данной задаче исследуемым признаком является диаметр шариков.

Исследуемый признак является непрерывным, так как он принимает значения, заполняющие конечный промежуток (–1,204; 0,552) числовой оси Ох.

2. Разобьем вариационный ряд на n равных интервалов длиной h:

Вычислим относительные частоты по формуле и все вычисления запишем в таблицу, т.е. построим вариационный ряд относительных частот:

Получим следующий интервальный ряд:

Номер

интервала

Граница интервала

Частота

Относительная частота

1

-1,204

-0,911

1

1/25

2

-0,911

-0,619

0

0

3

-0,619

-0,326

9

9/25

4

-0,326

-0,033

4

4/25

5

-0,033

0,259

8

8/25

6

0,259

0,552

3

3/25

Построим гистограмму относительных частот:

На основе визуального анализа гистограммы выдвинем гипотезу о нормальном распределении совокупности.

Вычислим средние характеристики. Для этого найдем середины интервалов и примем их в качестве вариант:

-1,058

1,000

-1,058

1,119

-0,765

0,000

0,000

0,000

-0,472

9,000

-4,251

2,008

-0,180

4,000

-0,719

0,129

0,113

8,000

0,904

0,102

0,406

3,000

1,217

0,494

Сумма

25,000

-3,906

3,852

Средняя выборочная:

Средняя выборочная квадратов:

Выборочная дисперсия:

Квадратическое отклонение:

5. Используя критерий согласия «хи-квадрат» Пирсона, проверим соответствие выборочных данных выдвинутому закону о нормальном распределении при уровне значимости 0.05.

а) выборочные характеристики равны: и

б) проведем объединение интервалов

Номер

интервала

Граница интервала

Частота

1

-1,204

-0,326

10

2

-0,326

-0,033

4

3

-0,033

0,259

8

4

0,259

0,552

3

в) найдем интервалы. Для этого составим расчетную таблицу

Границы интервала

Границы интервала

1

-1,204

-0,326

-1,048

-0,170

-2,910

-0,471

2

-0,326

-0,033

-0,170

0,123

-0,471

0,341

3

-0,033

0,259

0,123

0,416

0,341

1,154

4

0,259

0,552

0,416

0,708

1,154

1,967

г) найдем теоретические вероятности Pi и теоретические частоты ni/=nPi=25*Pi. Для этого составим расчетную таблицу:

Границы интервала

Границы интервала

ni/=25*Pi

1

-0,471

-0,500

-0,181

0,319

7,980

2

-0,471

0,341

-0,181

0,133

0,314

7,848

3

0,341

1,154

0,133

0,375

0,242

6,045

4

1,154

0,375

0,500

0,125

3,128

д) сравним эмпирические и теоретические частоты, используя критерий Пирсона. Вычислим наблюдаемое значение Пирсона. Для этого составим вспомогательную таблицу:

i

ni

ni/

ni- ni/

(ni- ni/)2

(ni- ni/)2/ ni/

ni2

ni2/ ni/

1

10

7,980

2,020

4,080

0,511

100

12,531

2

4

7,848

-3,848

14,803

1,886

16

2,039

3

8

6,045

1,955

3,822

0,632

64

10,587

4

3

3,128

-0,128

0,016

0,005

9

2,878

сумма

28,035

По таблице критических точек распределения, по уровню значимости и числу степеней свободы (s- число интервалов) находим критическую точку правосторонней критической области.

Так как - принимаем гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности.

6. Найдем исправленное среднее квадратическое отклонение

Доверительный интервал для оценки средней найдем по формуле:

Где значение определили по таблице Стьюдента

Тогда

Доверительный интервал для оценки дисперсии найдем по формуле:

По данным и n=25 по таблице «хи-квадрат» определяем:

и.

Подставляя все в формулу найдем доверительный интервал:

7. а) Так как доверительный интервал, найденный в п.6 не накрывает значение 0,742, то гипотезу о равенстве генеральной средней значению 0,742 не принимаем.

б) Так как значение = 0,18 накрывается интервалом, то гипотезу о равенстве генеральной дисперсии значению 0,18 принимаем.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебное пособие для вузов. – М.: Высшая школа, 2002.

Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике: Учебное пособие для студентов вузов. – М.: Высшая школа, 2002.

Семёнов А.Т. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебно–методический комплекс. – Новосибирск: НГАЭиУ, 2003.