Шифр 44. Для сигнализации на складе установлены три независимо работающих устройства

  • ID: 37613 
  • 10 страниц

Фрагмент работы:

Шифр 44. Для сигнализации на складе установлены три независимо раб…

ЗАДАЧА 3.

Для сигнализации на складе установлены три независимо работающих устройства. Вероятность того, что при необходимости первое устройство сработает, составляет р1=95%, для второго и третьего устройства эти вероятности равны соответственно р2=90% и р3=75%. Найти вероятность того, что в случае необходимости сработают:

1) все устройства;

2) только одно устройство;

3) хотя бы одно устройство.

РЕШЕНИЕ:

Рассмотрим события:

A - сработает первое устройство;

B - сработает второе устройство;

C - сработает третье устройство;.

Тогда

=...

=...

а) событие F - сработают все устройства

F = А?В?С

=...

б) событие F - сработает только одно устройство

=...

=...

=...

в) событие F - сработает хотя бы одно устройство

=...

ЗАДАЧА 19

В партии, состоящей из n=60 одинаково упакованных изделий, смешаны изделия двух сортов, причем k=40 из этих изделий - первого сорта, а остальные изделия - второго сорта. Найти вероятность того, что взятые наугад два изделия окажутся:

1) одного сорта; 2) разных сортов.

РЕШЕНИЕ:

а) Количество способов выбора 2 изделий из 60 равно.... Количество благоприятных исходов равно..., т.к. нужно взять или 2 изделия первого сорта, или 2 изделия второго сорта. Тогда по формуле классической вероятности получим:

б) P(разных сортов)=1 - P(одного сорта)=1 - 0,548=0,452

ЗАДАЧА 24.

В цехе трудятся три мастера и шесть их учеников. Мастер допускает брак при изготовлении изделия с вероятностью 0,05; а ученик - с вероятностью 0,15.

а) Какова вероятность того, что взятое наугад изделие будет бракованным?

б) Поступившее из цеха изделие оказалось бракованным. Какова вероятность, что его изготовил мастер?

РЕШЕНИЕ:

а) Рассмотрим события:

H1 - поступившее из цеха изделие изготовлено мастером

H2 - поступившее из цеха изделие изготовлено учеником

F - поступившее из цеха изделие оказалось бракованным

Тогда

=...

=...

События H1 и H2 образуют полную группу, поэтому по формуле полной вероятности получим:

=...

б) т.к. поступившее из цеха изделие оказалось бракованным, т.е. событие F произошло, то вероятность того, что изделие изготовил мастер, найдем по формуле Байеса

ЗАДАЧА 31.

Вероятность того, что в результате проверки изделию будет присвоен знак "изделие высшего качества" равна p=0,4.

1. На контроль поступило n=8 изделий. Какова вероятность того, что знак высшего качества будет присвоен:

а) ровно m=5 изделиям;

б) более чем k=6 изделиям;

в) хотя бы одному изделию;

г) указать наивероятнейшее количество изделий, получивших знак высшего качества, и найти соответствующую ему вероятность.

При тех же условиях найти вероятность того, что в партии из N=20 изделий знак высшего качества получает:

а) ровно половина изделий;

б) не менее чем k1=5, но не более, чем k2=10 изделий.

РЕШЕНИЕ:

Значение n10, поэтому для расчетов воспользуемся локальной и интегральной формулами Лапласа:

а) половина изделий получат знак качества (ровно 10)

где..., а ?(x) - локальная функция Лапласа

По таблице находим, что ?(0,91)=0,2637, ==>...

б) от 5 до 10 изделий получат знак качества

Pn(k1;k2)?Ф(x2)-Ф(x1), где... и..., а Ф(x) - интегральная функция Лапласа

По таблице значений функции Ф(x) находим, что Ф(-1,37)=-Ф(1,37)=-0,4147, а Ф(0,91)=0,3186, ==> P20(5;10)?0,3186+0,4147=0,7333

ЗАДАЧА 43.

В лотерее на каждые 100 билетов приходиться m1=3 билета с выигрышем a1=15 тыс. рублей, m2=10 билетов с выигрышем a2=12 тыс. рублей, m3=15 билетов с выигрышем a3=8 тыс. рублей и т.д. Остальные билеты из сотни не выигрывают.

Составить закон распределения величины выигрыша для владельца одного билета и найти его основные характеристики: математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение. Пояснить смысл указанных характеристик.

РЕШЕНИЕ:

Обозначим X тыс. руб. - величина выигрыша на 1 билет. Составим закон распределения этой случайной величины, перечислив все ее возможные значения и найдя соответствующие им вероятности. Число невыигрышных билетов равно: 100-3-10-15-20=52.

xi 0 4 8 12 15

pi 0,52 0,2 0,15 0,1 0,03

1. Математическое ожидание вычисляется по формуле

2. Определим дисперсию по формуле D(X)=M(X2)-M2(X).

=...

Определим дисперсию по второй формуле:

3. Среднее квадратическое отклонение...

ЗАДАЧА 55.

Вес изготовленного серебряного изделия должен составлять а=90 граммов.

При изготовлении возможны случайные погрешности, в результате которых вес изделия случаен, но подчинен нормальному закону распределения со средним квадратическим отклонением ?=4 грамма.

Требуется найти вероятность того, что:

1) Вес изделия составит от ?=78 до ?=95 граммов;

2) Величина погрешности в весе не превзойдет ?=9 граммов по абсолютной величине.

РЕШЕНИЕ:

а) вероятность того, что нормально распределенная случайная величина попадет в интервал (?;?), определяется по формуле

где a и ? - математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение случайной величины, а Ф(Х) - интегральная функция Лапласа.

Тогда вероятность того, что вес изделия составит от 78 до 95 граммов, равна:

По таблице значений функции Ф(Х) находим, что Ф(1,25)=0,3944, а Ф(3)=0,49865, ==>

б) вероятность того, что абсолютная величина отклонения "x-a" окажется меньше ?, равна

Тогда вероятность того, что величина погрешности в весе не превзойдет 9 граммов, равна:

ЗАДАЧА 70

По итогам выборочных обследований для некоторой категории сотрудников величина их дневного заработка X руб. и соответствующее количество сотрудников ni представлены в виде интервального статистического распределения.

1) Построить гистограмму относительных частот распределения.

2) Найти основные характеристики распределения выборочных данных: среднее выборочное значение, выборочную дисперсию и выборочное среднее квадратическое отклонение.

3) Оценить генеральные характеристики по найденным выборочным характеристикам.

1) Считая, что значение X в генеральной совокупности подчинены нормальному закону распределения, найти доверительный интервал для оценки математического ожидания (генерального среднего значения) с надежностью ?=0.88, считая, что генеральная дисперсия равна исправленной выборочной дисперсии.

xi 80 - 82 82 - 84 84 - 86 86 - 88 88 - 90

ni 3 7 20 15 5

РЕШЕНИЕ:

Объем выборки:...

1) вычислим относительные частоты для каждого частичного интервала:

Контроль...

В итоге получено следующее интервальное распределение относительных частот признака Х:

xi 80 - 82 82 - 84 84 - 86 86 - 88 88 - 90

wi 0.06 0.14 0.4 0.3 0.1

Длина каждого частичного интервала равна 4. Следовательно, шаг разбиения....

Построим гистограмму относительных частот.

2) для нахождения характеристик выборки интервального распределения признака Х перейдем к дискретному, выбирая в качестве значений признака xi середины частичных интервалов:

xi 81 83 85 87 89

ni 3 7 20 15 5

средняя выборочная:

Средняя выборочная квадратов:

Выборочная дисперсия:

квадратическое отклонение

2) доверительный интервал для оценки средней найдем по формуле:

Где значение t определим по таблице

Тогда

(85.03; 85.93)

ОТВЕТ:...;...;...;...

ЗАДАЧА 76.

С целью анализа взаимного влияния прибыли предприятия и его издержек выборочно были проведены наблюдения за этими показателями в течении ряда месяцев: X - величина месячной прибыли в тыс. руб., Y - месячные издержки в процентах к объему продаж.

Результаты выборки сгруппированы и представлены в виде корреляционной таблицы, где указаны значения признаков X и Y и количество месяцев, за которые наблюдались соответствующие пары значений названных месяцев.

1) По данным корреляционной таблицы найти условные средние... и....

2) Оценить тесноту линейной связи между X и Y.

3) Составить уравнение линейной регрессии Y по X и X по Y.

4) Сделать чертеж, нанеся на него условные средние и найденные прямые регрессии.

5) Оценить силу связи между признаками с помощью корреляционного отношения.

110 120 130 140 150

2 2

7 4 6

12 2 3 1

17 5 4 1

22 2 3 4

27 3

РЕШЕНИЕ:

Рассчитываем условные средние

а)...

x=110:...

x=120:...

x=130...

x=140:...

x=150:...

б)...

y=2:...

y=7:...

y=12:...

y=17:...

y=22:...

y=27:...

Для проведения расчетов заполним две вспомогательные таблицы

x nx x?nx x2?nx......

25 6 660 72600 5,33 3520

35 8 960 115200 8,25 7920

45 10 1300 169000 16,50 21450

55 8 1120 156800 18,25 20440

65 8 1200 180000 23,25 27900

? 40 5240 693600 81230

y ny y?ny y2?ny......

12 2 4 8 110,00 440

17 10 70 490 116,00 8120

22 6 72 864 128,33 9240

27 10 170 2890 136,00 23120

32 9 198 4356 142,22 28160

37 3 81 2187 150,00 12150

? 40 595 10795 81230

Найдем параметры, необходимые для расчета коэффициента корреляции.

Тогда коэффициент корреляции будет равен

Т.к. r>0, то связь прямая, т.е. с ростом x растет y.

Т.к. 0,7