Шифр 16. Для сигнализации на складе установлены три независимо работающих устройства

  • ID: 37396 
  • 10 страниц

Фрагмент работы:

x

Часть текста скрыта! После покупки Вы получаете полную версию

Шифр 16. Для сигнализации на складе установлены три независимо раб…

ЗАДАЧА 10.

Для сигнализации на складе установлены три независимо работающих устройства. Вероятность того, что при необходимости первое устройство сработает, составляет р1=70%, для второго и третьего устройства эти вероятности равны соответственно р2=90% и р3=98%. Найти вероятность того, что в случае необходимости сработают:

1) все устройства;

2) только одно устройство;

3) хотя бы одно устройство.

РЕШЕНИЕ:

Рассмотрим события:

A - сработает первое устройство;

B - сработает второе устройство;

C - сработает третье устройство;.

Тогда

=...

=...

а) событие F - сработают все устройства

F = А?В?С

=...

б) событие F - сработает только одно устройство

=...

=...

=...

в) событие F - сработает хотя бы одно устройство

=...

ЗАДАЧА 11.

В партии, состоящей из n=20 одинаково упакованных изделий, смешаны изделия двух сортов, причем k=15 из этих изделий - первого сорта, а остальные изделия - второго сорта. Найти вероятность того, что взятые наугад два изделия окажутся:

1) одного сорта; 2) разных сортов.

РЕШЕНИЕ:

а) Найдем вероятность по формуле классической вероятности. Общее число равновозможных исходов равно количеству способов выбора 2 изделий из 20, т.е..... Количество благоприятных исходов равно..., т.к. нужно взять или 2 изделия первого сорта, или 2 изделия второго сорта. Тогда по формуле классической вероятности получим

б) P(разных сортов)=1 - P(одного сорта)=1 -... =...

ЗАДАЧА 23.

На строительство объекта поступают железобетонные плиты от четырех цементных заводов в количестве 50, 10, 40 и 30 штук соответственно. Каждый из заводов допускает при изготовлении плит брак, составляющий соответственно 1%, 5%, 2% и 3%.

1) Какова вероятность, что наугад взятая плита будет удовлетворять требованиям ГОСТа?

2) Наугад взятая плита удовлетворяет требованиям ГОСТа. Какова вероятность, что она произведена на четвертом заводе?

РЕШЕНИЕ:

Обозначим через:

событие... - наугад взятая плита удовлетворяет требованиям ГОСТа

событие... - плита изготовлена первым заводом

событие... - плита изготовлена вторым заводом

событие... - плита изготовлена третьим заводом

событие... - плита изготовлена четвертым заводом

По условию задачи имеем

- вероятность того, что плита, изготовленная первым заводом, удовлетворяет ГОСТу

- вероятность того, что плита, изготовленная вторым заводом, удовлетворяет ГОСТу

- вероятность того, что плита, изготовленная третьим заводом, удовлетворяет ГОСТу

- вероятность того, что плита, изготовленная четвертым заводом, удовлетворяет ГОСТу

1) Найдем вероятность того, что наугад взятая плита, удовлетворяет ГОСТу, используя формулу полной вероятности:

2) Наугад взятая плита удовлетворяет требованиям ГОСТа. Найдем вероятность, что она произведена на четвертом заводе. Воспользуемся формулой Байеса:

ОТВЕТ: 1) 0.9792 ; 2) 0.2286

ЗАДАЧА 38.

Вероятность того, что в результате проверки изделию будет присвоен знак "изделие высшего качества" равна p=0,4.

1. На контроль поступило n=6 изделий. Какова вероятность того, что знак высшего качества будет присвоен:

а) ровно m=1 изделию;

б) более чем k=3 изделиям;

в) хотя бы одному изделию;

г) указать наивероятнейшее количество изделий, получивших знак высшего качества, и найти соответствующую ему вероятность.

При тех же условиях найти вероятность того, что в партии из N=38 изделий знак высшего качества получает:

а) ровно половина изделий;

б) не менее чем k1=12, но не более, чем k2=30 изделий.

РЕШЕНИЕ:

Значение n10, поэтому для расчетов воспользуемся локальной и интегральной формулами Лапласа:

а) половина изделий получат знак качества (ровно 19)

где..., а ?(x) - локальная функция Лапласа

По таблице находим, что ?(1,26)=0,1804, ==>...

б) от 12 до 30 изделий получат знак качества

Pn(k1;k2)?Ф(x2)-Ф(x1), где... и..., а Ф(x) - интегральная функция Лапласа

По таблице значений функции Ф(x) находим, что Ф(-1,06)=-0,3554, а Ф(4,9)=0,5, ==>

=...

ЗАДАЧА 44.

В лотерее на каждые 100 билетов приходиться m1=2 билета с выигрышем a1=16 тыс. рублей, m2=5 билетов с выигрышем a2=10 тыс. рублей, m3=8 билетов с выигрышем a3=6 тыс. рублей и т.д. Остальные билеты из сотни не выигрывают.

Составить закон распределения величины выигрыша для владельца одного билета и найти его основные характеристики: математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение. Пояснить смысл указанных характеристик.

РЕШЕНИЕ:

Обозначим X тыс. руб. - величина выигрыша на 1 билет. Составим закон распределения этой случайной величины, перечислив все ее возможные значения и найдя соответствующие им вероятности. Число невыигрышных билетов равно: 100-2-5-8-10-15-20=40.

xi 0 1 2 3 6 10 16

pi 0,4 0,2 0,15 0,1 0,08 0,05 0,02

1. Математическое ожидание вычисляется по формуле

2. Определим дисперсию по формуле D(X)=M(X2)-M2(X).

=...

Определим дисперсию по второй формуле:

3. Среднее квадратическое отклонение...

ЗАДАЧА 55.

Вес изготовленного серебряного изделия должен составлять а=90 граммов.

При изготовлении возможны случайные погрешности, в результате которых вес изделия случаен, но подчинен нормальному закону распределения со средним квадратическим отклонением ?=4 грамма.

Требуется найти вероятность того, что:

1) Вес изделия составит от ?=78 до ?=95 граммов;

2) Величина погрешности в весе не превзойдет ?=9 граммов по абсолютной величине.

РЕШЕНИЕ:

а) вероятность того, что нормально распределенная случайная величина попадет в интервал (?;?), определяется по формуле

где a и ? - математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение случайной величины, а Ф(Х) - интегральная функция Лапласа.

Тогда вероятность того, что вес изделия составит от 78 до 95 граммов, равна:

По таблице значений функции Ф(Х) находим, что Ф(1,25)=0,3944, а Ф(3)=0,49865, ==>

б) вероятность того, что абсолютная величина отклонения "x-a" окажется меньше ?, равна

Тогда вероятность того, что величина погрешности в весе не превзойдет 9 граммов, равна:

ЗАДАЧА 70.

По итогам выборочных обследований для некоторой категории сотрудников величина их дневного заработка X руб. и соответствующее количество сотрудников ni представлены в виде интервального статистического распределения.

1) Построить гистограмму относительных частот распределения.

2) Найти основные характеристики распределения выборочных данных: среднее выборочное значение, выборочную дисперсию и выборочное среднее квадратическое отклонение.

3) Оценить генеральные характеристики по найденным выборочным характеристикам.

1) Считая, что значение X в генеральной совокупности подчинены нормальному закону распределения, найти доверительный интервал для оценки математического ожидания (генерального среднего значения) с надежностью ?=0.88, считая, что генеральная дисперсия равна исправленной выборочной дисперсии.

xi 80 - 82 82 - 84 84 - 86 86 - 88 88 - 90

ni 3 7 20 15 5

РЕШЕНИЕ:

Объем выборки:...

1) вычислим относительные частоты для каждого частичного интервала:

Контроль...

В итоге получено следующее интервальное распределение относительных частот признака Х:

xi 80 - 82 82 - 84 84 - 86 86 - 88 88 - 90

wi 0.06 0.14 0.4 0.3 0.1

Длина каждого частичного интервала равна 4. Следовательно, шаг разбиения....

Построим гистограмму относительных частот.

2) для нахождения характеристик выборки интервального распределения признака Х перейдем к дискретному, выбирая в качестве значений признака xi середины частичных интервалов:

xi 81 83 85 87 89

ni 3 7 20 15 5

средняя выборочная:

Средняя выборочная квадратов:

Выборочная дисперсия:

квадратическое отклонение

2) доверительный интервал для оценки средней найдем по формуле:

Где значение t определим по таблице

Тогда

(85.03; 85.93)

ОТВЕТ:...;...;...;...

ЗАДАЧА 80.

С целью анализа взаимного влияния прибыли предприятия и его издержек выборочно были проведены наблюдения за этими показателями в течении ряда месяцев: X - величина месячной прибыли в тыс. руб., Y - месячные издержки в процентах к объему продаж.

Результаты выборки сгруппированы и представлены в виде корреляционной таблицы, где указаны значения признаков X и Y и количество месяцев, за которые наблюдались соответствующие пары значений названных месяцев.

1) По данным корреляционной таблицы найти условные средние... и....

2) Оценить тесноту линейной связи между X и Y.

3) Составить уравнение линейной регрессии Y по X и X по Y.

4) Сделать чертеж, нанеся на него условные средние и найденные прямые регрессии.

5) Оценить силу связи между признаками с помощью корреляционного отношения.

30 40 50 60 70

4 3

9 3 2

14 4 1

19 2 4 4

24 8 2 7

29 3

РЕШЕНИЕ:

Рассчитываем условные средние

а)...

x=30:...

x=40:...

x=50...

x=60:...

x=70:...

б)...

y=4:...

y=9:...

y=14:...

y=19:...

y=24:...

y=29:...

Для проведения расчетов заполним две вспомогательные таблицы

x nx x?nx x2?nx......

30 6 180 5400 6,50 1170

40 6 240 9600 12,33 2960

50 11 550 27500 22,18 12200

60 6 360 21600 20,67 7440

70 14 980 68600 23,64 23170

? 43 2310 132700 46940

y ny y?ny y2?ny......

4 3 12 48 30,00 360

9 5 45 405 34,00 1530

14 5 70 980 42,00 2940

19 10 190 3610 62,00 11780

24 17 408 9792 59,41 24240

29 3 87 2523 70,00 6090

? 43 812 17358 46940

Найдем параметры, необходимые для расчета коэффициента корреляции.

Тогда коэффициент корреляции будет равен

Т.к. r>0, то связь прямая, т.е. с ростом x растет y.

Т.к. 0,7