Оценка тесноты связи между явлениями. Корреляционно–регрессионный метод анализа связи.

  • ID: 03041 
  • 7 страниц

Фрагмент работы:

36. Оценка тесноты связи между явлениями. Корреляционно–регрессионный метод анализа связи.

Регрессионный и корреляционный анализ позволяет установить и оценить зависимость изучаемой случайной величины Y от одной или нескольких других величин X, и делать прогнозы значений Y. Параметр Y, значение которого нужно предсказывать, является зависимой переменной. Параметр X, значения которого нам известны заранее и который влияет на значения Y, называется независимой переменной. Например, X – количество внесенных удобрений, Y – снимаемый урожай; X – величина затрат компании на рекламу своего товара, Y – объем продаж этого товара и т.д.

Корреляционная зависимость Y от X – это функциональная зависимость

где [image] – среднее арифметическое (условное среднее) всех возможных значений параметра Y, которые соответствуют значению [image]. Уравнение (1) называется уравнением регрессии Y на X, функция [image] – регрессией Y на X, а ее график – линией регрессии Y на X.

Основная задача регрессионного анализа – установление формы корреляционной связи, т.е. вида функции регрессии (линейная, квадратичная, показательная и т.д.).

Метод наименьших квадратов позволяет определить коэффициенты уравнения регрессии таким образом, чтобы точки, построенные по исходным данным [image], лежали как можно ближе к точкам линии регрессии (1). Формально это записывается как минимизация суммы квадратов отклонений (ошибок) функции регрессии и исходных точек

[image],

где [image] – значение, вычисленное по уравнению регрессии; [image] – отклонение [image] (ошибка, остаток) (рис.1); n – количество пар исходных данных.

[image]

Рис.1. Понятие отклонения [image] для случая линейной регрессии

В регрессионном анализе предполагается, что математическое ожидание случайной величины [image] равно нулю и ее дисперсия одинакова для всех наблюдаемых значений Y. Отсюда следует, что рассеяние данных возле линии регрессии должно быть одинаково при всех значениях параметра X. В случае, показанном на рис.2 данные распределяются вдоль линии регрессии неравномерно, поэтому метод наименьших квадратов в этом случае неприменим.

[image]

Рис.2. Неравномерное распределение исходных точек вдоль линии регрессии

Основная задача корреляционного анализа – оценка тесноты (силы) корреляционной связи. Теснота корреляционной зависимости Y от X оценивается по величине рассеяния значений параметра Y вокруг условного среднего [image]. Большое рассеяние говорит о слабой зависимости Y от X, либо об ее отсутствии и, наоборот, малое рассеяние указывает на наличие достаточно сильной зависимости.