Задачи 2,13,29,34,59,63,73. В партии, состоящей из n=30 одинаково упакованных изделий, смешаны изделия двух сортов, причем k=20 из этих изделий

  • ID: 02611 
  • 11 страниц

Фрагмент работы:

Задачи 2,13,29,34,59,63,73. В партии, состоящей из n=30 одинаково …

ЗАДАЧА 2.

Для сигнализации на складе установлены три независимо работающих устройства. Вероятность того, что при необходимости первое устройство сработает, составляет р1=75%, для второго и третьего устройства эти вероятности равны соответственно р2=90% и р3=80%. Найти вероятность того, что в случае необходимости сработают:

1) все устройства;

2) только одно устройство;

3) хотя бы одно устройство.

РЕШЕНИЕ:

1) обозначим через событие А – все устройства сработали. Тогда

2) обозначим через событие В – сработает только одно устройство.

3) обозначим через событие С – хотя бы одно устройство сработало, т.е. сработало одно или два или три устройства.

Противоположное событие…– ни одно устройство не сработало.

Следовательно

ОТВЕТ: 1) 0.54 ; 2) 0.08 ; 3) 0.995

ЗАДАЧА 13.

В партии, состоящей из n=30 одинаково упакованных изделий, смешаны изделия двух сортов, причем k=20 из этих изделий – первого сорта, а остальные изделия – второго сорта. Найти вероятность того, что взятые наугад два изделия окажутся:

1) одного сорта;

2) разных сортов.

РЕШЕНИЕ:

1) событие А – изделия одного сорта

2) событие В – изделия разных сортов

ОТВЕТ: 1)…; 2)…

ЗАДАЧА 29.

Вся продукция цеха проверяется двумя контролерами, причем первый контролер проверяет 55% изделий, а второй – остальные. Вероятность того, что первый контролер пропустит нестандартное изделие, равна 0.01, а для второго эта вероятность 0.02.

1) Какова вероятность, что взятое наугад изделие, маркированное как стандартное, оказалось нестандартным?

2) Взятое наугад изделие, маркированное как стандартное, оказалось нестандартным. Найти вероятность того, что это изделие проверялось вторым контролером.

РЕШЕНИЕ:

Обозначим через:

событие…– взятое наугад изделие, маркированное как стандартное, оказалось нестандартным

событие…– изделие проверяется первым контролером

событие…– изделие проверяется вторым контролером

По условию задачи имеем

…– вероятность того, что изделие проверенное первым контролером оказалось нестандартным

…– вероятность того, что изделие проверенное первым контролером оказалось нестандартным

1) Найдем вероятность того, что взятое наугад изделие, маркированное как стандартное, оказалось нестандартным, используя формулу полной вероятности:

2) Взятое наугад изделие, маркированное как стандартное, оказалось нестандартным. Найти вероятность того, что это изделие проверялось вторым контролером. Воспользуемся формулой Байеса:

ОТВЕТ: 1) 0.0145 ; 2) 0.6207

ЗАДАЧА 34.

Вероятность того, что в результате проверки изделию будет присвоен знак «изделие высшего качества» равна p=0,3.

1. На контроль поступило n=5 изделий. Какова вероятность того, что знак высшего качества будет присвоен:

а) ровно m=2 изделиям;

б) более чем k=3 изделиям;

в) хотя бы одному изделию;

г) указать наивероятнейшее количество изделий, получивших знак высшего качества, и найти соответствующую ему вероятность.

2. При тех же условиях найти вероятность того, что в партии из N=30 изделий знак высшего качества получает:

а) ровно половина изделий;

б) не менее чем k1=8, но не более, чем k2=20 изделий.

РЕШЕНИЕ:

1. а) Искомую вероятность найдем по формуле Бернулли:

…, где…

б) обозначим через событие А – более чем k=3 изделиям присвоен знак высшего качества, т.е. трем или четырем или пяти изделиям:

в) событие С – хотя бы одному изделию – одному и более.

Противоположное событие…– ни одному изделию

г) найдем наивероятнейшее…количество изделий, получивших знак высшего качества по формуле:

…или…, т.е. вероятнее всего одно или два изделия получат знак высшего качества

Соответствующие им вероятности равны:

2. а) воспользуемся локальной теоремой Лапласа:

…, где…

Получаем:

б) будем использовать интегральную теорему Лапласа:

ЗАДАЧА 49.

В лотерее на каждые 100 билетов приходиться m1=4 билетов с выигрышем a1=8 тыс. рублей, m2=6 билетов с выигрышем a2=5 тыс. рублей, m3=12 билетов с выигрышем a3=4 тыс. рублей и m4=20 билетов с выигрышем a4=2. Остальные билеты из сотни не выигрывают.

Составить закон распределения величины выигрыша для владельца одного билета и найти его основные характеристики: математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение. Пояснить смысл указанных характеристик.

РЕШЕНИЕ:

Случайная величина Х – дискретная величина. Составим закон распределения этой случайной величины, перечислив все е возможные значения и найдя соответствующие им вероятности. Число выигрышных билетов из 100 составляет: 4+6+12+20=42, значит, число невыигрышных билетов: 100 – 42 =58.

Располагая величины возможного выигрыша…в порядке возрастания, получим следующую таблицу:

0 2 4 5 8

0.58 0.2 0.12 0.06 0.04

…,…,…

…,…

Отметим, что…

а) Математическое ожидание случайной величины Х:

Ожидаемый средний выигрыш на один билет составляет 1,5 тыс.руб.

Дисперсию вычислим по формуле:

…Среднее квадратическое отклонение равно:

…тыс.руб. – характеристика разброса фактических значений выигрыша от найденного среднего значения…, то есть основные значения случайной величины выигрыша находятся в диапазоне (1,5…2,05).

ОТВЕТ:…;…;…

ЗАДАЧА 59.

Вес изготовленного серебряного изделия должен составлять а=140 граммов.

При изготовлении возможны случайные погрешности, в результате которых вес изделия случаен, но подчинен нормальному закону распределения со средним квадратическим отклонением σ=6 граммов.

Требуется найти вероятность того, что:

1) Вес изделия составит от α=130 до β=155 граммов;

2) Величина погрешности в весе не превзойдет δ=14 граммов по абсолютной величине.

РЕШЕНИЕ:

1) Воспользуемся формулой:

Тогда получаем

По таблице приложения 2:…,…

Искомая вероятность попадания нормально распределенной случайной величины в интервал (130; 155) равна:

2) вероятность того, что абсолютная величина отклонения “X-a” окажется меньше δ=6, равна:

ОТВЕТ: а) 0.9463; б) 0.9796

ЗАДАЧА 63.

По итогам выборочных обследований для некоторой категории сотрудников величина их дневного заработка X руб. и соответствующее количество сотрудников ni представлены в виде интервального статистического распределения.

1. Построить гистограмму относительных частот распределения.

2.Найти основные характеристики распределения выборочных данных: среднее выборочное значение, выборочную дисперсию и выборочное среднее квадратическое отклонение.

3. Оценить генеральные характеристики по найденным выборочным характеристикам.

4. Считая, что значение X в генеральной совокупности подчинены нормальному закону распределения, найти доверительный интервал для оценки математического ожидания (генерального среднего значения) с надежностью γ=0.92, считая, что генеральная дисперсия равна исправленной выборочной дисперсии.

xi 40-46 46-52 52-58 58-64 64-70

ni 5 10 20 15 10

Решение: Объем выборки:…

1) вычислим относительные частоты для каждого частичного интервала:

…,…,…

…,…

Контроль…

В итоге получено следующее интервальное распределение относительных частот признака Х:

xi 40-46 46-52 52-58 58-64 64-70

wi 0,083 0,167 0,333 0,25 0,167

Длина каждого частичного интервала равна 6. Следовательно, шаг разбиения….

Построим гистограмму относительных частот.

2) для нахождения характеристик выборки интервального распределения признака Х перейдем к дискретному, выбирая в качестве значений признака xi середины частичных интервалов:

xi 43 49 55 61 67

ni 5 10 20 15 10

средняя выборочная:

Средняя выборочная квадратов:

Выборочная дисперсия:

квадратическое отклонение

1) доверительный интервал для оценки средней найдем по формуле:

Где значение t определим по таблице

Тогда

…(54.92; 58.08)

ОТВЕТ:…;…;…;…

ЗАДАЧА 73.

С целью анализа взаимного влияния прибыли предприятия и его издержек выборочно были проведены наблюдения за этими показателями в течении ряда месяцев: X – величина месячной прибыли в тыс. руб., Y – месячные издержки в процентах к объему продаж.

Результаты выборки сгруппированы и представлены в виде корреляционной таблицы, где указаны значения признаков X и Y и количество месяцев, за которые наблюдались соответствующие пары значений названных месяцев.

1) По данным корреляционной таблицы найти условные средние…и….

2) Оценить тесноту линейной связи между X и Y.

3) Составить уравнение линейной регрессии Y по X и X по Y.

4) Сделать чертеж, нанеся на него условные средние и найденные прямые регрессии.

5) Оценить силу связи между признаками с помощью корреляционного отношения.

30 40 50 60 70

5 1 1

10 5 5 10

15 3 2 4 9

20 4 1 4 9

25 2 7 6 15

30 3 3

6 8 8 12 13 n=47

РЕШЕНИЕ:

Найдем условные средние…и…по формулам:

…и…

…;…

…;…

…;…

…;…

…;…

Для того, чтобы найти коэффициент корреляции составим вспомогательные таблицы:

30 6 180 5400 9,2 1656

40 8 320 12800 11,9 3808

50 8 400 20000 20 8000

60 12 720 43200 21,25 15300

70 13 910 63700 24,6 22386

47 2530 145100 51150

5 1 5 25 30 150

10 10 100 1000 35 3500

15 9 135 2025 51,1 6898,5

20 9 180 3600 60 10800

25 15 375 9375 62,67 23501,5

30 3 90 2700 70 6300

47 885 18725 51150

Найдем выборочные средние:

Найдем средние квадратические отклонения:

Найдем коэффициент корреляции:

Следовательно, связь между признаками X и Y является высокой и прямой.

Составим уравнение линии регрессии…по…:

Составим уравнение линии регрессии…по…:

Построим графики линий регрессии и нанесем точки…,…,…:

Вычислим корреляционные отношения:

…и…

Где межгрупповые дисперсии вычисляются по формулам:

Составим расчетную таблицу:

567,8689 567,8689 92,7369 556,4214

354,5689 3545,689 48,0249 384,1992

7,4529 67,0761 1,3689 10,9512

38,0689 342,6201 5,8564 70,2768

78,1456 1172,184 33,2929 432,8077

261,4689 784,4067 1454,656

6479,845

Тогда

…вычисляем:

Тогда корреляционные отношения равны:

…и…