Вариант 48. На стройку от трех разных поставщиков должны поступить три партии материалов

  • ID: 02567 
  • 18 страниц

Фрагмент работы:

Задание 1

На стройку от трех разных поставщиков должны поступить три партии ма-териалов. Известно, что первый поставщик доставляет материалы своевременно в среднем в 90% всех случаев, второй – в 80%, третий – в 95 %. Найти вероятность того, что из трех партий на стройку будет доставлена своевременно:

а) только одна; b) две; с) не менее двух; d) хотя бы одна;

е) либо все партии, либо ни одна.

Решение:

Обозначим через:

событие Р1 – первый поставщик доставил товар своевременно

событие Р2 – второй поставщик доставил товар своевременно

событие Р3 – третий поставщик доставил товар своевременно

тогда по условию:

вероятность того, что первый поставщик доставил товар своевременно Р(Р1)=0.90; второй поставщик доставил товар своевременно Р(Р2)=0.8; третий по-ставщик доставил товар своевременно Р(Р3)=0.95;

Противоположные события:

событие – первый поставщик доставил товар не своевременно

событие – второй поставщик доставил товар не своевременно

событие – третий поставщик доставил товар не своевременно

и вероятности, соответствующие этим событиям равны:

1) Обозначим через событие А – только одна партия будет доставлена свое-временно

Тогда, и вероятность события А найдем по теореме сложения и теореме умножения независимых событий:

2) Обозначим через событие В – две партии будут доставлены своевременно. Тогда:

и вероятность равна:

3) обозначим через событие С – не менее двух партий будут доставлены своевременно, т.е будут доставлены две или все три партии. Следовательно

4) обозначим через событие D – хотя бы одна партия будет доставлена свое-временно, т.е. одна и более. Тогда

5) обозначим через событие E – все партии будут доставлены вовремя или ни одна не будет доставлена вовремя. Тогда

и вероятность равна:

Задание 2

Имеется коробка с 3 изделиями одного образца, причем среди них с одина-ковой вероятностью возможно любое количество бракованных изделий (от 0 до 3). Из коробки наудачу выбирается одновременно три изделия.

Определить вероятность того, что среди извлеченных изделий будет хотя бы одно бракованное.

Извлеченные из коробки три изделия оказались одного типа (бракованные или небракованные). Какой состав коробки с изделиями вероятнее всего?

Решение: Введем события:

Событие Н1 – в коробке нет бракованных изделий

Событие Н2 – в коробке имеется одно бракованное

Событие Н3 – в коробке имеется два бракованных

Событие Н4 – в коробке имеется три бракованных

Тогда

1) Событие А – среди извлеченных изделий будет хотя бы одно бракованное. Противоположное событие – среди извлеченных изделий будут все небрако-ванные

Вероятность события найдем по формуле полной вероятности:

- вероятность взять три небракованных изделия, при условии то-го, что произошло событие Н1.

- вероятность взять три небракованных изделия, при условии того, что произошло событие Н2.

- вероятность взять три небракованных изделия, при условии того, что произошло событие Н3.

- вероятность взять три небракованных изделия, при условии того, что произошло событие Н4.

Следовательно

2) вероятность того, что взятые изделия из коробки оказались одного типа будет равна

Используя формулу Байеса найдем следующие вероятности:

Вероятнее всего в коробке находятся все бракованные изделия или все не-бракованные

Задание 3

При социологических опросах граждан города N установлено, что в сред-нем 10% дают неискренний ответ.

Какова вероятность того, что при опросе 500 граждан города N доля неис-кренних ответов будет:

а) равна 8 %;

b) не менее 8 %;

с) не более 15 %;

d) не менее 7%, но не более 13%?

Сколько нужно опросить граждан города N, чтобы с вероятностью 0,94 можно было утверждать, что доля неискренних ответов среди них отклонится по абсолютной величине от вероятности получения неискреннего ответа от каждого опрашиваемого не более, чем на 0.01?

Решение:

По условию вероятность неискреннего ответа составляет

1. Дано n=500

a)

Воспользуемся локальной теоремой Муавра –Лапласа

В нашем примере имеем:

где значение нашли по таблице значений функции

b)

Воспользуемся интегральной теоремой Муавра –Лапласа

Тогда получаем:

где значение и нашли по таблице значений функции Лапласа.

c)

d)

2. По условию

Абсолютная величина отклонения доли неискренних ответов от вероятности получить неискренний ответ не превысит числа, приближенно равна удвоенной функции Лапласа при :

В нашем случае имеем:

В силу условия

По таблице функции Лапласа найдем:

Следовательно

Таким образом, искомое число опрошенных n=702

Задание 4

Из поступивших в ремонт 10 часов 6 нуждаются в общей чистке механизма. Часы не рассортированы по виду ремонта. Мастер, желая найти часы, нужда-ющиеся в чистке, рассматривает их поочередно и, найдя такие часы, прекращает дальнейший просмотр. Рассматривается случайная величина (с.в.) – число про-смотренных часов.

Составить ряд распределения с.в. и представить его графически.

Найти функцию распределения с.в. и построить её график.

Вычислить математическое ожидание (среднее значение) М, дисперсию D и среднее квадратическое (стандартное) отклонение ( ).

Определить вероятности:

а) Р ;

b) Р ;

c) Р

Решение: с.в. может принимать следующие значения – 1, 2, 3, 4,5

Найдем следующие вероятности:

Проверка:

Составим закон распределения:

1 2 3 4 5

2) Построим функцию распределения

Если то

Если то

Если то

Если то

Если то

Если то

Таким образом

Построим график функции распределения:

3) Математическое ожидание вычислим по формуле:

Дисперсию вычислим по формуле:

Среднее квадратическое отклонение равно:

4) Определим вероятности:

a)

b)

c)

Задание 5

При исследовании некоторого непрерывного признака ξ экспериментатор предположил, что этот признак подчиняется закону распределения с плотностью

1. При каком значении С экспериментатор будет прав?

2. Построить график плотности распределения.

3. Найти функцию распределения с.в. и построить её график.

4. Вычислить математическое ожидание (среднее значение) М, дисперсию D и среднее квадратическое (стандартное) отклонение ( ).

5. Во сколько раз число опытов, в которых экспериментатор будет получать результат больше среднего значения, превышает число опытов, в которых резуль-тат будет меньше среднего значения?

Решение:

1. Для определения коэффициента С воспользуемся свойством:

В нашем случае

Тогда

откуда

Итак

Построим график функции плотности распределения :

2. Найдем функцию распределения

Если, то

Если, то

Если, то

Если, то

т.е.

Построим график функции распределения:

3. Математическое ожидание равно:

дисперсия

и среднее квадратическое отклонение :

4.

Тогда получаем,что раз больше.

Задание 6

Служба контроля Энергосбыта провела проверку расхода электроэнергии в течение месяца 25 квартиросъемщиками однокомнатных квартир города N. По-лучены следующие результаты:

173,712 187,264 197,008 186,032 190,400 205,072 199,696 202,832 176,400 177,408

177,408 189,168 173,936 148,288 214,368 209,328 198,352 179,088 180,432 181,216

199,584 189,280 217,840 172,816 202,384

Необходимо:

1. Определить исследуемый признак и его тип (дискретный или непрерыв-ный).

2. В зависимости от типа признака построить полигон или гистограмму отно-сительных частот.

3. На основе визуального анализа полигона (гистограммы) сформулировать гипотезу о законе распределения признака.

4. Вычислить выборочные характеристики изучаемого признака: среднее, дисперсию, среднее квадратическое (стандартное) отклонение.

5. Используя критерий согласия «хи-квадрат» Пирсона, проверить соответ-ствие выборочных данных выдвинутому в п.3 закону распределения при уровне значимости 0,05.

6. Для генеральной средней и дисперсии построить доверительные интервалы, соответствующие доверительной вероятности 0,95.

7. С надежностью 0,95 проверить гипотезу о равенстве:

а) генеральной средней значению 168;

б) генеральной дисперсии значению 282,24.

Решение:

1. В данной задаче исследуемым признаком является расход электроэнергии.

Исследуемый признак является непрерывным, так как он принимает значения, заполняющие конечный промежуток (148,288; 217,84) числовой оси Ох.

2. Для иллюстрации распределения непрерывной случайной величины поль-зуются гистограммами.

Построим вариационный ряд:

148,288 172,816 173,712 173,936 176,4 177,408 179,088 180,432 181,216

1 1 1 1 1 2 1 1 1

186,032 187,264 189,168 189,28 190,4 197,008 198,352 199,584 199,696

1 1 1 1 1 1 1 1 1

202,384 202,832 205,072 209,328 214,368 217,84

1 1 1 1 1 1

Разобьем вариационный ряд на n равных интервалов длиной h:

Вычислим относительные частоты по формуле и все вычисления запишем в таблицу, т.е. построим вариационный ряд относительных частот:

Получим следующий интервальный ряд:

Номер

интервала

Граница интервала Частота

Относительная частота

1 148,288 159,880 1 1/25

2 159,880 171,472 0 0

3 171,472 183,064 9 9/25

4 183,064 194,656 5 5/25

5 194,656 206,248 7 7/25

6 206,248 217,840 3 3/25

Построим гистограмму относительных частот:

1. Вычислим средние характеристики. Для этого найдем середины интервалов и примем их в качестве вариант:

154,084 165,676 177,268 188,86 200,452 212,044

1 0 9 5 7 3

Средняя выборочная:

Средняя выборочная квадратов:

Выборочная дисперсия:

Квадратическое отклонение

5. Используя критерий согласия «хи-квадрат» Пирсона, проверим соответ-ствие выборочных данных выдвинутому в п.3. закону о нормальном распределе-нии при уровне значимости 0.05.

а) выборочные характеристики равны: и

б) проведем объединение интервалов

Номер

интервала

Граница интервала Частота

1 148,288 183,064 10

2 183,064 194,656 5

3 194,656 206,248 7

4 206,248 217,840 3

в) найдем интервалы. Для этого составим расчетную таблицу

Границы интервала Границы интервала

1 148,288 183,064 -41,036 -6,260 -2,911 -0,444

2 183,064 194,656 -6,260 5,332 -0,444 0,378

3 194,656 206,248 5,332 16,924 0,378 1,201

4 206,248 217,840 16,924 28,516 1,201 2,023

г) найдем теоретические вероятности Pi и теоретические частоты ni/=nPi=25*Pi. Для этого составим расчетную таблицу:

Границы интервала Границы интервала

ni/=25*Pi

1

-0,444 -0,500 -0,170 0,330 8,250

2 -0,444 0,378 -0,170 0,148 0,318 7,950

3 0,378 1,201 0,148 0,385 0,237 5,923

4 1,201

0,385 0,500 0,115 2,878

д) сравним эмпирические и теоретические частоты, используя критерий Пир-сона.

Вычислим наблюдаемое значение Пирсона. Для этого составим вспомога-тельную таблицу:

i ni ni/ ni- ni/ (ni- ni/)2 (ni- ni/)2/ ni/ ni2 ni2/ ni/

1 10 8,250 1,750 3,063 0,371 100 12,121

2 5 7,950 -2,950 8,703 1,095 25 3,145

3 7 5,923 1,078 1,161 0,196 49 8,274

4 3 2,878 0,123 0,015 0,005 9 3,128

сумма

26,667

По таблице критических точек распределения, по уровню значимости и числу степеней свободы (s- число интервалов) нахо-дим критическую точку правосторонней критической области.

Так как − принимаем гипотезу о нормальном распределении ге-неральной совокупности.

6. Найдем исправленное среднее квадратическое отклонение

Доверительный интервал для оценки средней найдем по формуле:

Где значение определили по таблице Стьюдента

Тогда

Доверительный интервал для оценки дисперсии найдем по формуле:

По данным и n=25 по таблице «хи-квадрат» определяем:

и.

Подставляя все в формулу найдем доверительный интервал:

7. С надежностью 0,95 проверить гипотезу о равенстве:

а) генеральной средней значению 168.

Так как доверительный интервал, найденный в п.6 не накрывает значение 168, то гипотезу о равенстве генеральной средней значению 168 не принимаем.

б) генеральной дисперсии значению.

Так как значение = 282,24 накрывается интервалом, то гипотезу о равенстве генеральной дисперсии значению 282,24 принимаем.