Вариант 39: задания 1, 20, 30, 31, 42, 52, 63, 79. Для сигнализации на складе установлены три независимо работающих устройства

  • ID: 16504 
  • 14 страниц

Фрагмент работы:

Вариант 39: задания 1, 20, 30, 31, 42, 52, 63, 79. Для сигнализаци…

ЗАДАЧА 1.

Для сигнализации на складе установлены три независимо работающих устройства. Вероятность того, что при необходимости первое устройство сработает, составляет р1=70%, для второго и третьего устройства эти вероятности равны соответственно р2=85% и р3=90%. Найти вероятность того, что в случае необходимости сработают:

1) все устройства;

2) только одно устройство;

3) хотя бы одно устройство.

РЕШЕНИЕ:

1) обозначим через событие А - все устройства сработали. Тогда

2) обозначим через событие В - сработает только одно устройство.

3) обозначим через событие С - хотя бы одно устройство сработало, т.е. сработало одно или два или три устройства.

Противоположное событие...- ни одно устройство не сработало.

Следовательно

ОТВЕТ: 1) 0.612 ; 2) 0.0765 ; 3) 0.9954

ЗАДАЧА 20.

В партии, состоящей из n=70 одинаково упакованных изделий, смешаны изделия двух сортов, причем k=45 из этих изделий - первого сорта, а остальные изделия - второго сорта. Найти вероятность того, что взятые наугад два изделия окажутся:

1) одного сорта;

2) разных сортов.

РЕШЕНИЕ:

Обозначим через: событие... - изделие первого сорта

событие... - изделие второго сорта

1) событие А - изделия одного сорта

2) событие В - изделия разных сортов

ОТВЕТ: 1)0.5342; 2) 0.4658

ЗАДАЧА 30

Вероятность изготовления изделия с браком на данном предприятие равна 0.4. Перед выпуском изделие подвергается упрощенной проверке, которая в случае бездефектного изделия пропускает его с вероятностью 0.98, а в случае изделия с дефектом - с вероятностью 0.05.

а) определить, какая часть изготовленных изделий выходит с предприятия, после упрощенной проверки.

б) какова вероятность того, что изделие, выдержавшее упрощенную проверку, оказалось дефектным?

РЕШЕНИЕ:

Обозначим через:

событие... - взятое наугад изделие выдержало проверку

событие... - изделие без брака

событие... - изделие имеет брак

По условию задачи имеем

- вероятность того, что бездефектное изделие выдержало проверку

- вероятность того, что дефектное изделие выдержало проверку

1) Найдем вероятность того, что взятое наугад изделие, выдержало проверку, используя формулу полной вероятности:

Из 1000 изделий 608 изделий выдерживают проверку.

2) найдем вероятность того, что взятое наугад изделие, выдержавшее проверку, оказалось дефектным. Воспользуемся формулой Байеса:

ОТВЕТ: 1) 0.608 ; 2) 0.0329

ЗАДАЧА 31.

Вероятность того, что в результате проверки изделию будет присвоен знак "изделие высшего качества" равна p=0,4.

1. На контроль поступило n=8 изделий. Какова вероятность того, что знак высшего качества будет присвоен:

а) ровно m=5 изделиям;

б) более чем k=6 изделиям;

в) хотя бы одному изделию;

г) указать наивероятнейшее количество изделий, получивших знак высшего качества, и найти соответствующую ему вероятность.

2. При тех же условиях найти вероятность того, что в партии из N=20 изделий знак высшего качества получает:

а) ровно половина изделий;

б) не менее чем k1=5, но не более, чем k2=10 изделий.

РЕШЕНИЕ:

1. а) Искомую вероятность найдем по формуле Бернулли:

где...

б) обозначим через событие А - более чем k=6 изделиям присвоен знак высшего качества.

в) событие С - хотя бы одному изделию - одному и более.

Противоположное событие...- ни одному изделию

г) найдем наивероятнейшее... количество изделий, получивших знак высшего качества по формуле:

т.е. вероятнее всего три изделия получат знак высшего качества

Соответствующая ему вероятность равна:

2. а) воспользуемся локальной теоремой Лапласа:

где...

Получаем:

б) будем использовать интегральную теорему Лапласа:

ЗАДАЧА 42.

В лотерее на каждые 100 билетов приходиться m1=2 билетов с выигрышем a1=18 тыс. рублей, m2=3 билетов с выигрышем a2=15 тыс. рублей, m3=5 билетов с выигрышем a3=10 тыс. рублей и т.д. Остальные билеты из сотни не выигрывают.

Составить закон распределения величины выигрыша для владельца одного билета и найти его основные характеристики: математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение. Пояснить смысл указанных характеристик.

РЕШЕНИЕ:

Случайная величина Х - дискретная величина. Составим закон распределения этой случайной величины, перечислив все е возможные значения и найдя соответствующие им вероятности. Число выигрышных билетов из 100 составляет:2+3+5+20=30, значит, число невыигрышных билетов: 100 - 30 =70.

Располагая величины возможного выигрыша...в порядке возрастания, получим следующую таблицу:

0 10 15 18 35

0,7 0,05 0,03 0,02 0,2

Где

Отметим, что...

а) Математическое ожидание случайной величины Х:

Ожидаемый средний выигрыш на один билет составляет 8,31 тыс.руб.

Дисперсию вычислим по формуле:

Среднее квадратическое отклонение равно:

тыс.руб. - характеристика разброса фактических значений выигрыша от найденного среднего значения..., то есть основные значения случайной величины выигрыша находятся в диапазоне (6,31...13,9346), что соответствует таблице данных.

ОТВЕТ:...;...;...

ЗАДАЧА 52.

Вес изготовленного серебряного изделия должен составлять а=60 граммов.

При изготовлении возможны случайные погрешности, в результате которых вес изделия случаен, но подчинен нормальному закону распределения со средним квадратическим отклонением ?=2 граммов.

Требуется найти вероятность того, что:

1) Вес изделия составит от ?=56 до ?=62 граммов;

2) Величина погрешности в весе не превзойдет ?=6 граммов по абсолютной величине.

РЕШЕНИЕ:

1) воспользуемся формулой:

Тогда получаем

По таблице приложения 2:......

Искомая вероятность попадания нормально распределенной случайной величины в интервал (56; 62) равна:

3) вероятность того, что абсолютная величина отклонения "X-a" окажется меньше ?=6, равна:

ОТВЕТ: а) 0.8185; б) 0.9873

ЗАДАЧА 63.

По итогам выборочных обследований для некоторой категории сотрудников величина их дневного заработка X руб. и соответствующее количество сотрудников ni представлены в виде интервального статистического распределения.

1. Построить гистограмму относительных частот распределения.

2.Найти основные характеристики распределения выборочных данных: среднее выборочное значение, выборочную дисперсию и выборочное среднее квадратическое отклонение.

3. Оценить генеральные характеристики по найденным выборочным характеристикам.

4. Считая, что значение X в генеральной совокупности подчинены нормальному закону распределения, найти доверительный интервал для оценки математического ожидания (генерального среднего значения) с надежностью ?=0.92, считая, что генеральная дисперсия равна исправленной выборочной дисперсии.

xi 40-46 46-52 52-58 58-64 64-70

ni 5 10 20 15 10

РЕШЕНИЕ:

Объем выборки:...

1) вычислим относительные частоты для каждого частичного интервала:

Контроль...

В итоге получено следующее интервальное распределение относительных частот признака Х:

xi 40-46 46-52 52-58 58-64 64-70

wi 0,083 0,167 0,333 0,25 0,167

Длина каждого частичного интервала равна 6. Следовательно, шаг разбиения....

Построим гистограмму относительных частот.

2) для нахождения характеристик выборки интервального распределения признака Х перейдем к дискретному, выбирая в качестве значений признака xi середины частичных интервалов:

xi 43 49 55 61 67

ni 5 10 20 15 10

средняя выборочная:

Средняя выборочная квадратов:

Выборочная дисперсия:

квадратическое отклонение

1) доверительный интервал для оценки средней найдем по формуле:

Где значение t определим по таблице

Тогда

(54.92; 58.08)

ОТВЕТ:...;...;...;...

ЗАДАЧА 79.

С целью анализа взаимного влияния прибыли предприятия и его издержек выборочно были проведены наблюдения за этими показателями в течении ряда месяцев: X - величина месячной прибыли в тыс. руб., Y - месячные издержки в процентах к объему продаж.

Результаты выборки сгруппированы и представлены в виде корреляционной таблицы, где указаны значения признаков X и Y и количество месяцев, за которые наблюдались соответствующие пары значений названных месяцев.

1) По данным корреляционной таблицы найти условные средние... и....

2) Оценить тесноту линейной связи между X и Y.

3) Составить уравнение линейной регрессии Y по X и X по Y.

4) Сделать чертеж, нанеся на него условные средние и найденные прямые регрессии.

5) Оценить силу связи между признаками с помощью корреляционного отношения.

35 45 55 65 75

5 4 4

10 2 5 7

15 3 3 6

20 5 1 1 7

25 2 4 2 8

23 3 3

=...

РЕШЕНИЕ:

Найдем условные средние... и...по формулам:

и...

;...

;...

;...

;...

;...

Для того, чтобы найти коэффициент корреляции составим вспомогательные таблицы:

35 6 210 7350 6,67 1400

45 8 360 16200 11,875 4275

55 10 550 30250 19,5 10725

65 5 325 21125 24 7800

75 6 450 33750 23,17 10425

35 1895 108675 34625

5 4 20 100 35 700

10 7 70 700 42,14 2950

15 6 90 1350 50 4500

20 7 140 2800 59,3 8300

25 8 200 5000 65 13000

30 3 69 1587 75 5175

35 589 11537 34625

Найдем выборочные средние:

Найдем средние квадратические отклонения:

Найдем коэффициент корреляции:

Следовательно, связь между признаками X и Y является высокой и прямой.

Составим уравнение линии регрессии... по...:

Составим уравнение линии регрессии... по...:

Построим графики линий регрессий и нанесем точки......:

Вычислим корреляционные отношения:

и...

Где межгрупповые дисперсии вычисляются по формулам:

Используя расчетную таблицу, находим:

вычисляем:

Тогда корреляционные отношения равны:

и...