Шифр 01. В коробке смешаны электролампы одинакового размера и формы: по 150 Вт 8 штук и по 100 Вт 13

  • ID: 14668 
  • 16 страниц

Содержание:


Шифр 01. В коробке смешаны электролампы одинакового размера и форм…

Задание 1

В коробке смешаны электролампы одинакового размера и формы: по 150 Вт - 8 штук и по 100 Вт - 13. Вынуты из коробки наугад три лампы. Найти вероятность того, что среди них:

а) только одна лампа по 150 Вт;

b) две лампы по 150 Вт;

с) не менее двух ламп по 150 Вт;

d) хотя бы одна лампа по 150 Вт;

е) все лампы одинаковой мощности.

РЕШЕНИЕ

Обозначим через... - i-тая вынутая лампа по 150 Вт... - i-тая вынутая лампа по 100 Вт

1) Обозначим через событие А - только одна лампа по 150 Вт

Следовательно... и вероятность события А найдем по теореме сложения несовместных событий и теореме умножения зависимых событий:

2) Обозначим через событие В - две лампы по 150 Вт. Тогда:

и вероятность равна:

3) обозначим через событие С - не менее двух ламп по 150 Вт, т.е две или все три. Следовательно

4) обозначим через событие D - хотя бы один лампа по 150 Вт, т.е. одна и более. Тогда

5) обозначим через событие E - все три лампы одинаковой мощности. Тогда

и вероятность равна:...

Задание 2

По самолету производится три независимых выстрела. Вероятность попадания при первом выстреле равна 0,4, при втором - 0,5, при третьем - 0,6. Для вывода самолета из строя достаточно трех попаданий. При двух попаданиях он выходит из строя с вероятностью 0,7, при одном попадании - с вероятностью 0,4.

1. Найти вероятность того, что в результате трех выстрелов самолет будет выведен из строя.

2. В результате трех выстрелов самолет не был выведен из строя. Сколько попаданий вероятнее всего произошло в самолет?

РЕШЕНИЕ

Обозначим через... - вероятность попадания при первом выстреле... - при втором, при третьем -.... Соответственно...... и... вероятности промахов.

Введем события:

Событие А -самолет будет выведен из строя

Событие Н1 - в самолет было три попадания

Событие Н2 - в самолет было два попадания

Событие Н3 - в самолет было одно попадание

Событие Н4 - в самолет не было попаданий

Тогда

вероятность того, что в самолет было три попадания:

вероятность того, что в самолет было два попадания:

вероятность того, что в самолет было одно попадание:

вероятность того, что в самолет не было попаданий:

1) Вероятность события... найдем по формуле полной вероятности:

где

- вероятность того, что самолет будет сбит при трех попаданиях

- вероятность того, что самолет будет сбит при двух попаданиях

- вероятность того, что самолет будет сбит при одном попадании

- вероятность того, что самолет будет сбит при ни одном попадании

Следовательно

2) Найдем вероятность противоположного события... - самолет не выведен из строя

- вероятность того, что самолет не будет сбит при трех попаданиях

- вероятность того, что самолет не будет сбит при двух попаданиях

- вероятность того, что самолет не будет сбит при одном попадании

- вероятность того, что самолет не будет сбит при ни одном попадании

Используя формулу Байеса, найдем следующие вероятности:

вероятность того, что в самолет было три попадания:

вероятность того, что в самолет было два попадания:

вероятность того, что в самолет было одно попадание:

вероятность того, что в самолет не было попаданий:

Вероятнее всего в самолет было одно, т.к. эта вероятность больше других.

Задание 3

Согласно статистическим данным в городе N в среднем 18% открывающихся новых предприятий прекращают свою деятельность в течение года.

1. Какова вероятность того, что из 6 наугад выбранных новых предприятий города N к концу года деятельности останется:

а) ровно 4;

b) более 4;

с) менее 4;

d) хотя бы одно предприятие?

2. Вычислить вероятность того, что из ста вновь открытых предприятий в городе N к концу года прекратят свою деятельность:

а) 15;

b) не менее 15;

с) не более 21;

d) не менее 13, но не более 23.

РЕШЕНИЕ

1. Дано n=6

Вероятность, что предприятие не прекратит свою деятельность...

Прекратит свою деятельность...

a) Воспользуемся формулой Бернулли:

В нашем примере имеем:

b) более 4, т.е. 5 или 6 предприятий останется.

Тогда...

c) менее 4, значит 3, 2, 1 или 0 предприятий.

Противоположное событие - не менее 4 - 4,5 или 6 предприятий

d) хотя бы одно предприятие, т.е. одно и более. Противоположное событие - ни одного предприятия:

2. По условию.........

Воспользуемся локальной теоремой Муавра - Лапласа

Получаем

б) Воспользуемся интегральной теоремой Муавра -Лапласа

Тогда получаем:

где значение... и...и нашли по таблице значений функции Лапласа.

с)...

d)...

Задание 4

Два бухгалтера независимо друг от друга заполняют одинаковые ведомости. Первый бухгалтер допускает ошибки в среднем в 8%, второй - в 12% всех документов. Количество заполненных ведомостей первым бухгалтером равно 1, вторым - 2. Рассматривается случайная величина (с.в.)... - число ведомостей, заполненных двумя бухгалтерами без ошибок.

1. Составить ряд распределения с.в.... и представить его графически.

2. Найти функцию распределения с.в.... и построить её график.

3. Вычислить математическое ожидание (среднее значение) М..., дисперсию D... и среднее квадратическое (стандартное) отклонение...(...).

4. Определить вероятности: а) Р...; b) Р...; c) Р...

РЕШЕНИЕ

с.в....может принимать следующие значения - 0, 1, 2, 3.

Вероятность того, что первый бухгалтер заполнит ведомость без ошибок, равна..., а с ошибками -.... Вероятность того, что второй бухгалтер заполнит ведомость без ошибок, равна..., а с ошибками -.... Найдем следующие вероятности:

- все ведомости не имеют ошибок

- две ведомости не имеют ошибок

-одна ведомость не имеет ошибки

- все ведомости имеют ошибку

Проверка:...

Составим закон распределения:

0 1 2 3

0,001 0,031 0,256 0,712

2) Построим функцию распределения

Если......то...

Если......то...

Если......то...

Если......то...

Если......то...

Таким образом

Построим график функции распределения:

3) Математическое ожидание вычислим по формуле:

Дисперсию вычислим по формуле:

Среднее квадратическое отклонение равно:

4) Определим вероятности:

a)...

b)...

c)

Задание 5

Между двумя населенными пунктами, отстоящими друг от друга на расстоянии L =9 км, курсирует автобус с остановками по требованию в любом месте. Расстояние... (в км), которое проезжает некий пассажир, севший в автобус в начале маршрута, является случайным с плотностью распределения

1. Установить неизвестную постоянную С и построить график функции p(x).

2. Найти функцию распределения с.в.... и построить её график.

3. Вычислить математическое ожидание (среднее значение) М..., дисперсию D... и среднее квадратическое (стандартное) отклонение...(...).

4. Во сколько раз число высадок от начала маршрута до среднего места поездки пассажира превосходит число высадок от этого места до конца маршрута автобуса?

РЕШЕНИЕ

1. Для определения коэффициента С воспользуемся свойством:...

В нашем случае

Тогда..., откуда...

Итак...

2. Найдем функцию распределения...

Если..., то...

Если..., то

Если..., то

т.е....

Построим график функции плотности распределения... и функции распределения:

3. Математическое ожидание... равно:

дисперсия...

Тогда...

и среднее квадратическое отклонение...

4....

Получаем, что число высадок от начала маршрута до среднего места посадки одинаково числу высадок от этого места до конца маршрута.

Задание 6

При переносе грузов вертолетами используются тросы, которые изготовлены из синтетических материалов на основе новых химических технологий. В результате 25 испытаний троса на разрыв получены следующие данные (в тоннах):

3,213 4,224 6,023 5,910 4,806 4,702 5,614 2,672 5,696 4,474

3,575 6,248 3,541 3,715 7,852 5,640 6,782 5,751 6,380 4,818

7,112 2,318 5,738 5,065 6,094

Необходимо:

1. Определить исследуемый признак и его тип (дискретный или непрерывный).

2. В зависимости от типа признака построить полигон или гистограмму относительных частот.

3. На основе визуального анализа полигона (гистограммы) сформулировать гипотезу о законе распределения признака.

4. Вычислить выборочные характеристики изучаемого признака: среднее, дисперсию, среднее квадратическое (стандартное) отклонение.

5. Использую критерий согласия "хи-квадрат" Пирсона, проверить соответствие выборочных данных выдвинутому в п.3. закону распределения при уровне значимости 0.01.

6. Для генеральной средней и дисперсии построить доверительные интервалы, соответствующие доверительной вероятности 0,99.

7. С надежностью 0,99 проверить гипотезу о равенстве:

а) генеральной средней значению 5,45

б) генеральной дисперсии значению 1,188

РЕШЕНИЕ

1. В данной задаче исследуемым признаком является разрыв тросов (в тоннах.).

Исследуемый признак является непрерывным, так как он принимает значения, заполняющие конечный промежуток (2,318; 7,852) числовой оси Ох.

2. Разобьем вариационный ряд на n равных интервалов длиной h:

Вычислим относительные частоты по формуле и все вычисления запишем в таблицу, т.е. построим вариационный ряд относительных частот:...

Получим следующий интервальный ряд:

Номер

интервала... Граница интервала Частота... Относительная частота

1 2,318 3,240 3 3/25

2 3,240 4,163 3 3/25

3 4,163 5,085 6 6/25

4 5,085 6,007 6 6/25

5 6,007 6,930 5 5/25

6 6,930 7,852 2 2/25

Построим гистограмму относительных частот:

4. Вычислим средние характеристики. Для этого найдем середины интервалов и примем их в качестве вариант:

2,779 3,702 4,624 5,546 6,469 7,391

3 3 6 6 5 2

Средняя выборочная:

Средняя выборочная квадратов:

Выборочная дисперсия:...

Квадратическое отклонение:...

5. Используя критерий согласия "хи-квадрат" Пирсона, проверим соответствие выборочных данных выдвинутому в п.3. закону о нормальном распределении при уровне значимости 0.01.

Проведем объединение интервалов

Номер

интервала... Граница интервала Частота...

1 2,318 3,240 3

2 3,240 4,163 3

3 4,163 5,085 6

4 5,085 6,007 6

5 6,007 7,852 7

в) найдем интервалы.... Для этого составим расчетную таблицу

Границы интервала Границы интервала

1 2,318 3,240 -2,785 -1,863... -1,397

2 3,240 4,163 -1,863 -0,941 -1,397 -0,706

3 4,163 5,085 -0,941 -0,018 -0,706 -0,014

4 5,085 6,007 -0,018 0,904 -0,014 0,678

5 6,007 7,852 0,904 2,749 0,678...

г) найдем теоретические вероятности Pi и теоретические частоты ni/=nPi=25*Pi. Для этого составим расчетную таблицу:

Границы интервала Границы интервала

=...

1... -1,397 -0,500 -0,421 0,079 1,983

2 -1,397 -0,706 -0,421 -0,261 0,160 3,990

3 -0,706 -0,014 -0,261 -0,008 0,253 6,328

4 -0,014 0,678 -0,008 0,252 0,260 6,493

5 0,678... 0,252 0,500 0,248 6,208

д) сравним эмпирические и теоретические частоты, используя критерий Пирсона.

Вычислим наблюдаемое значение Пирсона. Для этого составим вспомогательную таблицу:

i ni ni/ ni- ni/ (ni- ni/)2 (ni- ni/)2/ ni/ ni2 ni2/ ni/

1 3 1,983 1,018 1,035 0,522 9 4,540

2 3 3,990 -0,990 0,980 0,246 9 2,256

3 6 6,328 -0,328 0,107 0,017 36 5,689

4 6 6,493 -0,493 0,243 0,037 36 5,545

5 7 6,208 0,793 0,628 0,101 49 7,894

25,923

По таблице критических точек распределения..., по уровню значимости... и числу степеней свободы...(s- число интервалов) находим критическую точку правосторонней критической области....

Так как...-принимаем гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности.

6. Найдем исправленное среднее квадратическое отклонение

Доверительный интервал для оценки средней найдем по формуле:

Где значение... определили по таблице Стьюдента

Тогда

Доверительный интервал для оценки дисперсии найдем по формуле:

По данным... и n=25 по таблице "хи-квадрат" определяем:

и....

Подставляя все в формулу найдем доверительный интервал:

7. С надежностью 0,99 проверить гипотезу о равенстве:

а) генеральной средней значению 5,45.

Так как доверительный интервал..., найденный в п.6 накрывает значение 5.45, то гипотезу о равенстве генеральной средней значению 5.45 принимаем.

б) генеральной дисперсии значению 1.188.

Так как значение...= 1,188 накрывается интервалом..., то гипотезу о равенстве генеральной дисперсии значению 1,188 принимаем.

Список литературы