Шифр 51. К= М В коробке смешаны электролампы одинакового размера и формы

  • ID: 14435 
  • 16 страниц

Фрагмент работы:

Шифр 51. К= М В коробке смешаны электролампы одинакового размера и…

Вариант 51

К=5

М=1

ЗАДАНИЕ 1

В коробке смешаны электролампы одинакового размера и формы:

по 150 Вт – 5 + (К + М)(mod6) штук и по 100 Вт – 10 + (К + М)(mod6). Вынуты из коробки наугад три лампы. Найти вероятность того, что среди них:

а) только одна лампа по 150 Вт;

b) две лампы по 150 Вт;

с) не менее двух ламп по 150 Вт;

d) хотя бы одна лампа по 150 Вт;

е) все лампы одинаковой мощности.

РЕШЕНИЕ:

В коробке смешаны электролампы одинакового размера и формы:

по 150 Вт – 5 + (5 + 1)(mod6)= 5 штук

и

по 100 Вт – 10 + (1 + 5)(mod6)=10 штук.

Всего: 5+10=15 штук.

Пусть события:

А – среди трех наугад вынутых ламп будет только одна по 150 Вт

В – будет две лампы по 150 Вт

С – будет не менее двух ламп по 150 Вт, эти события независимы

D- хотя бы одна лампа по 150 Вт, E- все лампы по 150 Вт, F- все лампы по 100 Вт, S – лампы одинаковой мощности.

Тогда:

а) только одна лампа по 150 Вт:

…или 49,45%;

b) две лампы по 150 Вт:

…или 21,98%;

c) не менее двух ламп по 150:

Р(не менее двух ламп по 150 Вт)=( две лампы по 150 Вт или три лампы по 150 Вт)

…или 24,18%;

d) хотя бы одна лампа по 150:

Р( хотя бы одна лампа по 150 Вт)=1-(ни одной по 150 Вт)

…или 73,63%;

e) все лампы одинаковой мощности:

Р(лампы одинаковой мощности) =Р( все лампы по 150 Вт или все лампы по 100 Вт)

Тогда

…или 28,57%

ОТВЕТ:

Вероятность того, что среди трёх наугад вынутых ламп:

а) только одна лампа по 150 Вт: Р(А)…49,45%

b) две лампы по 150 Вт: Р(В)…21,98%

с) не менее двух ламп по 150: Р(С) Вт…24,18%

d) хотя бы одна лампа по 150: Р(D) Вт…73,63%

е) все лампы одинаковой мощности: Р(S)…28,57%

ЗАДАНИЕ 2.

По самолету производится три независимых выстрела. Вероятность попадания при первом выстреле равна 0,5, при втором – 0,6, при третьем – 0,7. Для вывода самолета из строя достаточно трех попаданий. При двух попаданиях он выходит из строя с вероятностью 0,6, при одном попадании – с вероятностью 0,3.

1. Найти вероятность того, что в результате трех выстрелов самолет будет

выведен из строя.

2. В результате трех выстрелов самолет не был выведен из строя. Сколько

попаданий вероятнее всего произошло в самолет?

РЕШЕНИЕ:

а) Пусть события Н1, Н2, Н3, Н4 обозначают, что в самолёт попадут: ни разу, 1 раз, 2 раза и три раза соответственно, а событие А – самолет выведен из строя. Тогда:

P(H1)= 0,5*0,4*0,3=0,06 P(A/H1)= 0

P(H2)= 0,5*0,4*0,3+0,5*0,6*0,3+0,5*0,4*0,7=0,29 P(A/H2)= 0,3

P(H3)= 0,5*0,6*0,3+0,5*0,4*0,7+0,5*0,6*0,7=0,44 P(A/H3)= 0,6

P(H4)= 0,5*0,6*0,7=0,21 P(A/H4)= 1

События Н1, Н2, Н3 и Н4 образуют полную группу, поэтому вероятность того, что самолет выведен из строя в результате трех выстрелов, определим по формуле полной вероятности:

…=0,06*0+0,29*0,3+0,44*0,6+0,21*1=0,561

или 56,1%

б) Пусть А - самолет не был выведен из строя при тех же гипотезах. Тогда:

P(A/H1)= 1- 0 = 1

P(A/H2)= 1- 0,3 = 0,7

P(A/H3)= 1- 0,6 = 0,4

P(A/H4)= 1- 1 = 0

Т.к. самолет не был выведен из строя, т.е. событие A произошло, то вероятности гипотез определим по формуле Байеса

Таким образом, вероятнее всего в самолет произошло 1 попадание.

ЗАДАНИЕ 3

Согласно статистическим данным в городе N в среднем 15% открывающихся новых предприятий прекращают свою деятельность в течение года.

1. Какова вероятность того, что из 7 наугад выбранных новых предприятий города N к концу года деятельности останется:

а) ровно 5;

b) более 5;

с) менее 5;

d) хотя бы одно предприятие?

2. Вычислить вероятность того, что из ста вновь открытых предприятий в

городе N к концу года прекратят свою деятельность:

а) 12;

b) не менее 12;

с) не более 18;

d) не менее 10, но не более 20 предприятий.

РЕШЕНИЕ:

1. Какова вероятность того, что из 7 наугад выбранных новых предприятий города N к концу года деятельности останется:

n=7 p=0,85 q=0,15

Значение n<10, поэтому для расчетов воспользуемся формулой Бернулли:

a) ровно 5:

…или 20,96%

b) более 5:

P(более 5)=P7(6;7) = P7(6)+P7(7)

Тогда:

P(более 5)= 0,3960+0,3206=0,7166 или 71,66%

c) менее 5:

P(менее 5)=1-P(более 5)=1-P7(6;7)=1-0,7166=0,2834 или 28,34%

d) хотя бы одно предприятие:

P(хотя бы 1)=1-P(ни одного)=1-P7(0)

Тогда

P(хотя бы 1)=…

2.

Вычислить вероятность того, что из ста вновь открытых предприятий в городе N к концу года прекратят свою деятельность:

n=100 p=0,15 q=0,85

Значение n=100 достаточно велико, поэтому для расчетов воспользуемся локальной и интегральной формулами Лапласа:

a) 12:

…, где…, а (x) – локальная функция Лапласа

По таблице находим

что (-0,84)= (0,84)=0,2803, …или 7,85%

b) не менее 12, т.е. от 12 до 100

Pn(k1;k2)Ф(x2)-Ф(x1), где…и…, а Ф(x) - интегральная функция Лапласа

…,…

По таблице значений функции Ф(x) находим, что Ф(-0,84)=-0,2995, а Ф(23,8)=0,5, 

P100(12;100)0,5+0,2995=0,7995 или 79,95%

c) не более 18, т.е. от 0 до 18

…,…

По таблице значений функции Ф(x) находим, что Ф(-4,2)=-0,4999, а Ф(0,89)=0,2995, 

P100(0;18)0,2995+0,4999=0,7995 или 79,95%

d) не менее 10, но не более 20:

…,…

По таблице значений функции Ф(x) находим, что Ф(-1,4)=-0,4192, а Ф(1,4)=0,4192, 

P100(10;20)0,4192+0,4192=0,8384 или 83,84%

ЗАДАНИЕ 4

Два бухгалтера независимо друг от друга заполняют одинаковые ведомости. Первый бухгалтер допускает ошибки в среднем в 5%, второй – в 15% всех документов. Количество заполненных ведомостей первым бухгалтером равно 1, вторым – 2. Рассматривается случайная величина (с.в.)…– число ведомостей, заполненных двумя бухгалтерами без ошибок.

1. Составить ряд распределения с.в.…и представить его графически.

2. Найти функцию распределения с.в.…и построить её график.

3. Вычислить математическое ожидание (среднее значение) М…, дисперсию

D…и среднее квадратическое (стандартное) отклонение…(…).

4. Определить вероятности: а) Р…; b) Р…; c) Р…

РЕШЕНИЕ:

1) Определим возможные значения случайной величины Х и их вероятности:

Х=0:…0,050,152=0,001125

Х=1:…0,950,152+0,05(0,150,85+0,850,15)=0,034125

Х=2:…0,050,852+0,95(0,150,85+0,850,15)=0,278375

Х=3:…0,950,852=0,686375

Проверка:

0,686375+0,278375+0,034125+0,001125=1

Запишем ряд распределения

x 0 1 2 3

p 0,00113 0,03413 0,27838 0,68638

Изобразим ряд распределения графически в виде полигона:

2) Составим функцию распределения:

Построим график функции распределения

3) Математическое ожидание и дисперсия находятся по формуле:

D(X)=7,325-2,652=0,302

4) Найдем требуемые вероятности:

Р(X<MX)=Р(X<2,65)=F(2,65)=0,31363

Р(XMX+1)=1–Р(X<3,65)=1–F(3,65)=1–1 =0

…=P(2,1<X<3,2)=1-0,31363=0,68637

ЗАДАНИЕ 5

Между двумя населенными пунктами, отстоящими друг от друга на расстоянии L = К + М км, курсирует автобус с остановками по требованию в любом месте. Расстояние…(в км), которое проезжает некий пассажир, севший в автобус в начале маршрута, является случайным с плотностью распределения

1. Установить неизвестную постоянную С и построить график функции p(x).

2. Найти функцию распределения с.в.…и построить её график.

3. Вычислить математическое ожидание (среднее значение) М…, дисперсию

D…и среднее квадратическое (стандартное) отклонение…(…).

4. Во сколько раз число высадок от начала маршрута до среднего места

поездки пассажира превосходит число высадок от этого места до конца

маршрута автобуса?

РЕШЕНИЕ:

ЗАДАНИЕ 6

При переносе грузов вертолетами используются тросы, которые изготовлены из синтетических материалов на основе новых химических технологий. В результате 25 испытаний троса на разрыв получены следующие данные (в тоннах):

2.948, 3.875, 5.526, 5.422, 4.409, 4.314, 5.150, 2.451, 5.226, 4.105, 3.280, 5.732, 3.249, 3.408, 7.204, 5.174, 6.222, 5.276, 5.853, 4.420, 6.525, 2.127, 5.264, 4.647, 5.591

Необходимо:

1. Определить исследуемый признак и его тип (дискретный или непрерывный).

2. В зависимости от типа признака построить полигон или гистограмму относительных частот.

3. На основе визуального анализа полигона (гистограммы) сформулировать гипотезу о законе распределения исследуемого признака.

4. Вычислить выборочные характеристики признака: среднее, дисперсию и среднее квадратическое (стандартное) отклонение.

5. Используя критерий согласия «хи-квадрат» Пирсона, проверить соответствие выборочных данных выдвинутому в п.3 закону распределения при уровне значимости 0,01.

6. Для генеральной средней и дисперсии построить доверительные интервалы, соответствующие доверительной вероятности 0,99.

7. С надежностью 0,99 проверить гипотезу о равенстве:

а) генеральной средней значению 5С;

б) генеральной дисперсии значению С 2, где С = 1 + (К + М)/100.

РЕШЕНИЕ:

Список использованной литературы: