Варианту 9. Решить уравнение

  • ID: 14348 
  • 17 страниц

Фрагмент работы:

Варианту 9. Решить уравнение

К.Р. №10.

№1.

№2.

Это уравнение - однородное. Пусть..., тогда.... Далее получим:

№3.

Проверим, является ли это уравнение уравнением в полных дифференциалах:

Обозначим

;...

тогда

Т.к...., то это уравнение является уравнением в полных дифференциалах.

Из соотношения... находим:

где... - неизвестная пока функция от y.

Продифференцируем это равенство по y:

Т.к...., то имеем уравнение для определения неизвестной функции...:

Тогда решение данного уравнения будет иметь вид:

№4.

Пусть..., тогда.... Подставим эти выражения в исходное уравнение

Пусть..., тогда...

Тогда:

Найдем решение, удовлетворяющее начальному условию...:

Имеем уравнение для определения постоянной C:

- частное решение

№5.

Это уравнение Бернулли. Сделаем замену..., тогда...

Подставим эти выражения в исходное уравнение

Пусть..., тогда.... Далее получим:

Пусть..., тогда...

Тогда

№6.

а)...

Пусть..., тогда.... Подставим эти выражения в исходное уравнение:

Тогда

б)...

Пусть..., тогда.... Подставим эти выражения в исходное уравнение:

Тогда

№7.

Составим характеристическое уравнение:

2k2-k=0

k(2k-1)=0

k1=0 k2=...

Тогда общее решение однородного уравнения запишется в виде:

Найдем решение, удовлетворяющее начальным условиям......:

Подставим в полученные равенства начальные условия. Получим следующую систему:

- решение, удовлетворяющее начальным условиям.

№8.

Найдем сначала решение однородного уравнения....

Составим характеристическое уравнение:

k2-2k+1=0

(k-1)2=0

k1,2=1

Тогда общее решение однородного уравнения запишется в виде:

Найдем какое-нибудь частное решение исходного уравнения. Будем искать частное решение в виде:

Тогда

Подставим эти выражения в уравнение:

Имеем систему уравнений для определения коэффициентов A, B и C:

Т.е. частное решение равно:...

Общее решение равно сумме этих двух решений, т.е.:

Найдем решение, удовлетворяющее начальным условиям......:

Подставим в полученные равенства начальные условия. Получим следующую систему:

- решение, удовлетворяющее начальным условиям.

К.Р. №11.

№1.

a)...

Проверим необходимый признак сходимости ряда:

==> ряд расходится

b)...

Проверим необходимый признак сходимости ряда:

Пусть....

Т.к....

=... и ряд с общим членом cn расходится (гармонический ряд), то по второму признаку сравнения также расходится и исходный ряд.

c)...

Проверим необходимый признак сходимости ряда:

==> ряд расходится

d)...

Проверим необходимый признак сходимости ряда:

Рассмотрим сходящийся ряд....

Т.к.... и ряд с общим членом cn сходится, то по второму признаку сравнения также сходится и исходный ряд.

№2.

a)...

Воспользуемся признаком Даламбера:

поэтому по признаку Даламбера ряд сходится.

b)...

Воспользуемся радикальным признаком Коши:

поэтому по признаку Коши ряд сходится.

c)...

Воспользуемся признаком Даламбера:

поэтому по признаку Даламбера ряд сходится.

d)...

Воспользуемся интегральным признаком Коши. Рассмотрим положительно определенную функцию... при x?1 и найдем несобственный интеграл...:

Т.к. несобственный интеграл от функции f(x) расходится, то также расходится ряд с общим членом un.

№3.

a)...

Исследуем ряд на абсолютную сходимость. Воспользуемся радикальным признаком Коши:

поэтому по признаку Коши ряд сходится.

Таким образом, исходный ряд сходится абсолютно.

b)...

Исследуем ряд на абсолютную сходимость. Рассмотрим ряд с общим членом.... Т.к.

и гармонический ряд cn расходится, то также расходится и ряд....

Т.к. ряд знакопеременный и..., то ряд сходится по признаку Лейбница. Таким образом, данный ряд сходится условно.

№4.

a)...

Определим радиус сходимости этого ряда:

==> ряд сходится при x?(-...;...).

Исследуем сходимость ряда на границах интервала

При x=-... получим ряд

При x=... получим ряд

Оба эти ряда расходятся, т.к. для них не выполняется необходимый признак сходимости ряда.

Окончательно получим, что ряд сходится при x?(-...;...).

b)...

Коэффициенты ряда равны

=...

Поэтому пределы... и... не существуют. Установим границы абсолютной сходимости ряда, используя признак Даламбера:

Общий член ряда......, тогда

Чтобы ряд сходился, должно выполняться условие:

(x-2)2 -2