Вариант 3: задачи 1.3, 2.3, 3.3, 4.3

  • ID: 14002 
  • 4 страницы

Фрагмент работы:

Вариант 3: задачи 1.3, 2.3, 3.3, 4.3

№1.3.

Десять томов сочинения Пушкина расставлены в случайном порядке на двух полках по 5 томов на полке. Нас интересуют том 1 и том 2. найти вероятность того, что эти тома окажутся на разных полках.

РЕШЕНИЕ:

Найдем вероятность по формуле классической вероятности. Общее количество равновозможных исходов равно количеству перестановок из 10 элементов, т.е.…, т.к. любой том может стоять на любом из 10 мест. Найдем количество благоприятных исходов. Первый том может стоять на любом из 10 свободных мест, а второй – только на 5 местах на другой полке. Остальные тома можно расставить на полке 8! способами, поэтому количество благоприятных исходов будет равно…. Тогда вероятность будет равна:

№2.3.

В автопарке имеются машины трех марок, всех поровну. Машина первой марки исправна с вероятностью 0,8, второй марки – с вероятностью 0,7, третьей – с вероятностью 0,85. Случайно выбранная машина оказалась неисправна. Какова вероятность, что это машина первой марки?

РЕШЕНИЕ:

Рассмотрим гипотезы:

H1 – машина оказалась первой марки

H2 – машина оказалась второй марки

H3 – машина оказалась третьей марки

и событие

A – выбранная машина оказалась неисправна

Тогда

P(H1)=…

P(H2)=…

P(H3)=…

P(A/H1)=1-0,8=0,2 P(A/H2)=1-0,7=0,3 P(A/H3)=1-0,85=0,15

Гипотезы H1, H2 и H3 образуют полную группу, поэтому по формуле Байеса имеем:

№3.3.

Вероятность наступления в каждом из одинаковых и независимых испытаний равна 0,02. Найти вероятность того, что в 150 испытаниях событие наступит: а) 5 раз; б) менее 2 раз; в) ни разу.

РЕШЕНИЕ:

Т.к. p=0,02≤0,1 и npq=1500,020,98=2,94≤9, то вероятность определим по формуле Пуассона:

…, где =np=1500,02=3

а) событие наступит ровно в 5 испытаниях:

P(3)=P150(3)=…

б) событие наступит менее 2 раз, т.е. 0 или 1:

P(менее 2)=P150(0)+P150(1)=…

в) событие не наступит ни разу:

P(ни одного)=P150(0)=…

№4.3.

Случайная величина X задана функцией распределения (интегральной функцией) F(x). Требуется: а) найти дифференциальную функцию f(x) (плотность распределения вероятностей); б) найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины; в) построить графики интегральной и дифференциальной функций.

РЕШЕНИЕ:

а) найдем дифференциальную функцию распределения

б) математическое ожидание вычисляется по формуле

D(X)=M(X2)-M2(X)=7/162-(5/27)2=13/1458

Построим графики функций

№5.3.

Известны математическое ожидание a и среднее квадратическое отклонение  нормально распределенной случайной величины X. Найти вероятность попадания этой величины в заданный интервал (;).

a=8 =1 =4 =9

РЕШЕНИЕ:

Вероятность того, что нормально распределенная случайная величина попадет в интервал (;), определяется по формуле:

где a и  - математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение случайной величины, а Ф(Х) – интегральная функция Лапласа, значения которой определяются по таблице.

По таблице значений функции Ф(Х) находим, что Ф(1)=0,3413, а Ф(4)=0,49997, 