Вариант 6. Из сотрудников отдела коммерческого банка, среди которых трое мужчин, а остальные женщины

  • ID: 01394 
  • 13 страниц

Фрагмент работы:

Задача 1.

Из 6 сотрудников отдела коммерческого банка, среди которых трое мужчин, а остальные женщины, случайным образом формируется комиссия из трех человек. Найти вероятность того, что в комиссии:

1) только одна женщина; 2) две женщины; 3) не менее двух женщин; 4) хотя бы одна женщина; 5) будут лица одного пола.

Решение:

Обозначим через:

событие Р1- первая женщина; событие Р2 - вторая женщина; событие Р3- третья женщина;

Противоположные события:

событие...- первый мужчина; событие...- второй мужчина; событие...- третий мужчина

1) Обозначим через событие А - будет только одна женщина

Следовательно... и вероятность события А найдем по теореме сложения и теореме умножения зависимых событий:

2) Обозначим через событие В - две женщины. Тогда:...

и вероятность равна:

3) обозначим через событие С - не менее двух женщин, т.е две или три. Следовательно

4) обозначим через событие D - хотя бы одна женщина, т.е. одна и более. Тогда

5) обозначим через событие E - все женщины или все трое мужчин. Тогда

и вероятность равна:...

Задача 2.

В партии из 100 металлических конструкций 40 изготовлены на первом заводе, 30 - на втором, а остальные на третьем. Известно, что первый завод производит в среднем 90% стандартной продукции, второй - 80%, третий - 85%. Для контроля качества из всех имеющихся металлических конструкций наугад берут.

1. определить вероятность того, что, по крайней мере, одна из проверяемых конструкций будет иметь брак.

2. обе проверяемые конструкции оказались стандартными. На каких заводах вероятнее всего они изготовлены?

Решение: введем события: событие А - по крайней мере одна из конструкций имеет брак, т.е. одна конструкция имеет брак или обе имеют брак. Противоположное событие... - обе конструкции не имеют брака.

Событие Н1 - конструкция изготовлена на первом заводе

Событие Н2 - конструкция изготовлена на втором заводе

Событие Н3 - конструкция изготовлена на третьем заводе

Тогда

- вероятность, что конструкция изготовлена на 1 заводе

- вероятность, что конструкция изготовлена на 2 заводе

- вероятность, что конструкция изготовлена на 3 заводе

- вероятность, что конструкция, изготовленная на 1 заводе, не имеет брак

- вероятность, что конструкция, изготовленная на 2 заводе, не имеет брак

- вероятность, что конструкция, изготовленная на 3 заводе не имеет брак

Вероятность того, что одна конструкция не имеет брак (событие А1) найдем по формуле полной вероятности:

Тогда, вероятность события... равна:...

Тогда, вероятность события А равна:...

2) Используя формулу Байеса, найдем следующие вероятности:

вероятность того, что стандартная конструкция изготовлена на 1 заводе:

Две стандартные конструкции изготовлены 1 заводом:...

вероятность того, что стандартная конструкция изготовлена на 2 заводе:

Две стандартные конструкции изготовлены 2 заводом:...

вероятность того, что стандартная конструкция изготовлена на 3 заводе:

Две стандартные конструкции изготовлены 3 заводом:...

Вероятнее всего конструкции изготовлены на первом заводе, т.к. эта вероятность больше других.

Задача 3.

По статистическим данным в городе N в среднем 85% новорожденных доживают до 50 лет.

1. Какова вероятность того, что из 5 новорожденных в одном из роддомов города N до 50 лет не доживет:

a) равно 3 ; b) не более 3; c) менее 3; d) хотя бы один ребенок

2.Вычислить вероятность того, что из ста новорожденных города N до 50 лет доживет:

a) 82 ; b) не менее 82; c) не более 88; d) не менее 80, но не более 90 детей.

Решение:

1. Дано n=5, не доживут до 50 лет..., доживут до 50 лет...

a) Воспользуемся формулой Бернулли:

В нашем примере имеем:

b) не более 3, т.е. 3 или 2 или 1 или 0 новорожденных. Противоположное событие более 3 новорожденных, т.е. 4 или 5 детей не доживут до 50 лет.

Тогда...

c) менее 3, значит не доживут до 50 лет 2, 1 или 0 ребенок. Найдем вероятность противоположного события:

Тогда...

d) хотя бы один ребенок, т.е. один и более. Противоположное событие - все дети доживут до 50 лет:

2. По условию.........

Воспользуемся локальной теоремой Муавра - Лапласа

Получаем

б) Воспользуемся интегральной теоремой Муавра -Лапласа

Тогда получаем:

с)...

d)...

Задача 4. Студент знает 20 вопроса из 30 вопросов программы некоторой учебной дисциплины. На экзамене ему предлагается три наугад выбранных вопроса из программы. Рассматривается случайная величина... - количество известных студенту вопросов среди заданных.

1. Составить ряд распределения с.в....и представить его графически.

2. Найти функцию распределения с.в.... и построить ее график.

3. Вычислить математическое ожидание..., дисперсию...и среднее квадратическое отклонение....

4. Определить вероятности:

a)...; b)...; c)...

Решение: с.в....может принимать следующие значения -0, 1, 2, 3 вопроса.

Найдем следующие вероятности:

Проверка:...

Составим закон распределения:

0 1 2 3

0.03 0.222 0.468 0.28

2) Построим функцию распределения

Если......то...

Если......то...

Если......то...

Если......то...

Если... то...

Таким образом

Построим график функции распределения:

3) Математическое ожидание вычислим по формуле:

Дисперсию вычислим по формуле:

Среднее квадратическое отклонение равно:

4) Определим вероятности:

a)...

b)...

c)

Задача 5. Время... до выхода из строя авиационного двигателя, выработавшего гарантийный ресурс в 2 тыс. часов, является случайным с плотностью распределения

1. Установить неизвестную постоянную С и построить график функции...

2. Найти функцию распределения с.в....и построить ее график.

3. Вычислить математическое ожидание..., дисперсию...и среднее квадратическое отклонение....

4. Во сколько раз число выходов из строя авиационных двигателей со временем работы после гарантийного срока меньше среднего превышает число выходов из строя авиационных двигателей со временем работы после гарантийного срока больше среднего?

Решение:

1. Для определения коэффициента С воспользуемся свойством:

В нашем случае

Тогда..., откуда...

Итак...

Построим график функции плотности распределения...:

2. Найдем функцию распределения...

Если..., то...

Если..., то...

т.е....

Построим график функции распределения:

3. Математическое ожидание... равно:

дисперсия... вычисляется по формуле:

Тогда...

и среднее квадратическое отклонение...

4....

Задача 6. При помощи дальномера произведено 25 измерений расстояния до некоторого объекта. Получены следующие результаты (в км)

11,047 11,267 11,183 11,390 11,256 11,346 11,424 11,402 11,346

11,626 10,874 11,424 11,174 11,301 11,346 11,659 11,738

11,346 11,234 11,357 11,413 11,446 11,693 11,558 11,077

Необходимо:

1. Определить исследуемый признак и его тип (дискретный или непрерывный).

2. В зависимости от типа признака построить полигон или гистограмму относительных частот.

3. На основе визуального анализа полигона (гистограммы) сформулировать гипотезу о законе распределения признака.

4. Вычислить выборочные характеристики изучаемого признака: среднее, дисперсию, среднее квадратическое (стандартное) отклонение.

5. Использую критерий согласия "хи-квадрат" Пирсона, проверить соответствие выборочных данных выдвинутому в п.3. закону распределения при уровне значимости 0.01.

6. Для генеральной средней и дисперсии построить доверительные интервалы, соответствующие доверительной вероятности 0,01.

7. С надежностью 0,99 проверить гипотезу о равенстве:

а) генеральной средней значению 8,96

б) генеральной дисперсии значению 1,568

Решение:

1. В данной задаче исследуемым признаком является расстояние до некоторого объекта (в км).

Исследуемый признак является непрерывным, так как он принимает значения, заполняющие конечный промежуток (10,874; 11,738) числовой оси Ох.

2. Для иллюстрации распределения непрерывной случайной величины пользуются гистограммами. Построим вариационный ряд:

xi 10,874 11,047 11,077 11,174 11,183 11,234 11,256 11,267 11,301

ni 1 1 1 1 1 1 1 1 1

xi 11,346 11,357 11,39 11,402 11,413 11,424 11,446 11,558 11,626

ni 4 1 1 1 1 2 1 1 1

xi 11,659 11,693 11,738

ni 1 1 1

Разобьем вариационный ряд на n равных интервалов длиной h:

Вычислим относительные частоты по формуле и все вычисления запишем в таблицу, т.е. построим вариационный ряд относительных частот:...

Получим следующий интервальный ряд:

Номер

интервала... Граница интервала Частота... Относительная частота

1 10,874 11,018 1 1/25

2 11,018 11,162 2 2/25

3 11,162 11,306 6 6/25

4 11,306 11,450 11 11/25

5 11,450 11,594 1 1/25

6 11,594 11,738 4 4/25

Построим гистограмму относительных частот:

4. Вычислим средние характеристики. Для этого найдем середины интервалов и примем их в качестве вариант:

10,946 11,090 11,234 11,378 11,522 11,666

1 2 6 11 1 4

Средняя выборочная:...

Средняя выборочная квадратов:...

Выборочная дисперсия:...

Квадратическое отклонение:...

5. Используя критерий согласия "хи-квадрат" Пирсона, проверим соответствие выборочных данных выдвинутому в п.3. закону о нормальном распределении при уровне значимости 0.01

проведем объединение интервалов

Номер

Интервала... Граница интервала Частота...

1 10,874 11,162 3

2 11,162 11,306 6

3 11,306 11,450 11

4 11,450 11,738 5

найдем интервалы.... Для этого составим расчетную таблицу

Границы интервала Границы интервала

1 10,874 11,162 -0,481 -0,193 -2,662 -1,068

2 11,162 11,306 -0,193 -0,049 -1,068 -0,271

3 11,306 11,450 -0,049 0,095 -0,271 0,526

4 11,450 11,738 0,095 0,383 0,526 2,120

найдем теоретические вероятности Pi и теоретические частоты ni/=nPi=25*Pi. Для этого составим расчетную таблицу:

Границы интервала Границы интервала

=...

1... -1,068 -0,500 -0,358 0,142 3,558

2 -1,068 -0,271 -0,358 -0,106 0,251 6,283

3 -0,271 0,526 -0,106 0,202 0,308 7,708

4 0,526... 0,202 0,500 0,298 7,453

д) сравним эмпирические и теоретические частоты, используя критерий Пирсона.

Вычислим наблюдаемое значение Пирсона. Для этого составим вспомогательную таблицу:

i ni ni/ ni- ni/ (ni- ni/)2 (ni- ni/)2/ ni/ ni2 ni2/ ni/

1 3 3,558 -0,558 0,311 0,087 9 2,530

2 6 6,283 -0,283 0,080 0,013 36 5,730

3 11 7,708 3,293 10,841 1,406 121 15,699

4 5 7,453 -2,453 6,015 0,807 25 3,355

27,314

По таблице критических точек распределения..., по уровню значимости... и числу степеней свободы...(s- число интервалов) находим критическую точку правосторонней критической области....

Так как...-принимаем гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности.

6. Найдем исправленное среднее квадратическое отклонение

Доверительный интервал для оценки средней найдем по формуле:

Где значение... определили по таблице Стьюдента

Тогда

Доверительный интервал для оценки дисперсии найдем по формуле:

По данным... и n=25 по таблице "хи-квадрат" определяем:

и....

Подставляя все в формулу найдем доверительный интервал:

7. С надежностью 0,99 проверить гипотезу о равенстве:

а) Так как доверительный интервал..., найденный в п.6 не накрывает значение 8,96, то гипотезу о равенстве генеральной средней значению 8,96 не принимаем.

б) Так как значение...= 1,568 не накрывается интервалом..., то гипотезу о равенстве генеральной дисперсии значению 1,568 не принимаем.