Шифр 06. Для сигнализации на складе установлены три независимо работающих устройства

  • ID: 13918 
  • 11 страниц

Фрагмент работы:

Задача 10

Для сигнализации на складе установлены три независимо работающих устройства. Вероятность того, что при необходимости сработает, составляет р1 = 70%, для второго и третьего устройства эти вероятности равны соответственно р2 = 90% и р3 = 98%. Найти вероятность того, что в случае необходимости сработают:

а) все устройства;

б) только одно устройство;

в) хотя бы одно устройство.

Решение:

Обозначим: событие А – I сигнализация сработает, Р() = 0,7,

Р([image]) = 1 – 0,7 = 0,3;

событие В – II сигнализация сработает, Р() = 0,9,

Р([image]) = 1 – 0,9 = 0,1;

событие А – III сигнализация сработает, Р() = 0,98,

Р([image]) = 1 – 0,98= 0,02.

а) Р(все сработают) = Р( и и ) = Р() * Р() * Р() = 0,7 * 0,9 * 0,98 = 0,617.

б) Р(только одно сработает) = Р( и [image] и [image] или [image] и и [image] или [image] и [image] и ) = Р() * Р([image]) * Р([image]) + Р([image]) * Р() * Р([image]) + Р([image]) * Р([image]) * Р() = 0,7*0,1*0,02 + 0,3*0,9*0,02 + 0,3*0,1*0,98 = 0,0014 + 0,0054 + 0,0294 = 0,036.

в) Р(хотя бы одно сработает) = 1 – Р(все не сработают) = 1 - Р([image] и [image] и [image]) = 1 - Р([image]) * Р([image]) * Р([image]) = 1 - 0,3 * 0,1 * 0,02 = 1 - 0,00075 = 0,9994.

Ответ: а) 61,7%; б) 3,6%; в) 99,9%.

Задача 20

В партии, состоящей из n = 70 одинаково упакованных изделий, смешаны изделия двух сортов, причем k = 45 из этих изделий – первого сорта, а остальные изделия – второго сорта. Найти вероятности того, что взятые наугад два изделия окажутся:

а) одного сорта;

б) разных сортов.

Решение:

Обозначим: событие А1 – первое взятое изделие I сорта,

событие А2 – второе взятое изделие I сорта,

событие В1 – первое взятое изделие II сорта,

событие В2 – второе взятое изделие II сорта.

Эти события зависимые. Используем теорему сложения вероятностей для несовместимых событий и теорему умножения вероятностей для зависимых событий.

а) Р(изделия одного сорта) = Р(А1 и А2 или В1 и В2) = Р(А1 и А2) * Р(В1 и В2) = Р(А1)* РА1(А2) + Р(В1)* РВ1(В2) = 45/70*44/69 + 25/70*24/69 = 0,643*0,638 + 0,357*0,348 = 0,41 + 0,124 = 0,534.

б) Р(изделия разных сортов) = Р (А1 и В2 или В1 и А2) = Р(А1 и В2) * Р(В1 и А2) = Р(А1)* РА1(В2) + Р(В1)* РВ1(А2) = 45/70*25/69 + 25/70*45/69 = 0,643*0,362 + 0,357*0,652 = 0,233 + 0,233 = 0,466.