Билет 1. Комплексное представление случайных процессов. Преобразование Гильберта. Аналитический сигнал

  • ID: 32356 
  • 4 страницы

Фрагмент работы:

Факультет ________ Курс ______ Семестр __________

Дисциплина_______________________________________

1. Комплексное представление случайных процессов. Преобразование Гильберта. Аналитический сигнал.

Ответ:

Часто удобно поставить в соответствие вещественному сигналу [image] некоторый комплексный сигнал [image]. Например, символическая запись синусоидального напряжения (или тока) в теории электрических цепей, когда вещественная запись напряжения [image] заменяется комплексной формой записи [image], при этом [image]. В общем случае произвольного сигнала [image] запись в форме [image] (1) не является однозначной, поскольку не определена мнимая часть [image] соответствующего комплексного сигнала [image]. Значение спектра [image] вещественного сигнала в области [image] однозначно определяются значениями [image] при [image]. Поэтому вещественный сигнал может быть однозначно выражен с помощью комплексного сигнала [image], спектра которого тождественно отличен от нуля лишь при [image] и совпадает в этой области со спектром сигнала [image]. Имеем:

[image]

Функция [image], комплексное сопряженная с [image]:

[image],

Таким образом, [image], так что вещественному сигналу [image] при этом ставится в соответствие вполне определенный комплексный сигнал [image] вида: [image].

С целью определения мнимой части комплексного сигнала [image] вводится в рассмотрение функция [image]:

[image] (1), при этом справедливо соотношение [image] (2).

Соотношение (1), (2) определяют прямое и обратное преобразования Гильберта, а функции [image] и [image] называются сопряженными по Гильберту. Интегралы (1) и (2) понимаются в смысле главного значения Коши.

Величина спектра [image] функции [image] равна: [image]. Отсюда, следует, что физический смысл преобразования Гильберта заключается в повороте начальных фаз всех спектральных составляющих исходного сигнала [image] на один и тот же угол, равный [image], поскольку множитель –j эквивалентен множителю [image]. Данная операция может быть выполнена с помощью широкополосного фазовращателя на [image]. Если функция [image] является преобразованием по Гильберту сигнала [image], то есть [image] (3), то спектр комплексного сигнала [image] совпадает со спектром функции [image], так что [image]. Преобразование Фурье комплексного сигнала [image] в таком случае имеет вид: