12 задач. Твердое тело начинает вращаться вокруг неподвижной оси с ускорением, где положительная постоянная, а -угол поворота из начального положения

  • ID: 38820 
  • 10 страниц

Фрагмент работы:

Твердое тело начинает вращаться вокруг неподвижной оси с ускорением [image], где [image] положительная постоянная, а [image] - угол поворота из начального положения. Найдите зависимость угловой скорости тела в зависимости от угла поворота [image].

Решение:

По определению ускорение – производная от угловой скорости по времени

[image]

Домножим и поделим правую часть на дифференциал угла поворота

[image]

В последнем равенстве воспользовались определением угловой скорости: [image]

Подставив в определение ускорения, получим

[image]

Получено дифференциальное уравнение с разделившимися переменными. Так как начальный угол поворота и угловая скорость равны нулю, проинтегрируем левую часть от 0 до [image], а правую от 0 до [image].

[image]

[image]

[image]

Откуда

[image]

Ответ: [image]

Тело движется прямолинейно так, что его скорость меняется по закону, изображенному на рисунке. Изобразите зависимость ускорения и координаты от времени.

Решение:

Из вида графика скорости, можно видеть, что уравнение зависимости скорости имеет вид

[image]

Ускорение по определению – производная от скорости по времени:

[image]

[image]

Координата тела равна интегралу от скорости по времени

[image]

[image]

Определите натяжение каната «гигантских шагов» и угловую скорость вращения, если масса человека [image] кг, длина каната [image]м а канат образует со столбом угол [image].

[image]

Решение:

[image]

Натяжение каната будет равной геометрической сумме силы тяжести и центробежной силы. Откуда

[image]

Центробежная сила

[image]

Из рисунка легко видеть, что [image]

[image]

[image]

Натяжение каната

[image]

[image]

Ответ: [image], [image]

Деревянный стержень массой [image]кг и длиной [image]м может вращаться в вертикальной плоскости относительно горизонтальной оси, проходящей через точку О. В конец стержня попадает пуля массой [image]г, летевшая со скоростью [image], направленной перпендикулярно стержню и застревает в нем. Определить кинетическую энергию стержня после удара и максимальный угол [image] на который отклонится стержнеть после удара.