Вариант 4. В вакууме распространяется плоская электромагнитная волна

  • ID: 36299 
  • 13 страниц

Фрагмент работы:

Вариант 4.8.

Задача 1.8.

В вакууме распространяется плоская электромагнитная волна

Некоторые параметры волны заданы в таблице 1.1. Определить величины и направление характеристик волны, указанных в последнем столбце таблицы. Сделать рисунок с указанием направления векторов относительно декартовой системы координат. Принятые обозначения: T — период, n — частота, l — длина волны, I — интенсивность волны, w0 и — плотность энергии и вектор плотности потока энергии в точке в момент времени t = 0, — однонаправленность векторов, — противоположное направление векторов.

Решение:

Модуль амплитуды напряженности электрического поля

Амплитуды напряженности электрического и магнитного полей в электромагнитной волне связаны соотношением

Где - электрическая постоянная, - магнитная постоянная.

В электромагнитной волне вектора В и Е лежат в плоскости перпендикулярной направлению распространения волны (вектора ), причем вектор магнитного поля перпендикулярен вектору электрического. Причем, при вращении от вектора Е к вектору В угловая скорость должна быть направлена вдоль вектора. Так как волновой вектор направлен противоположно оси z, а электрического поля вдоль оси х, вектор магнитного поля

Так как электромагнитные волны распространяются со скоростью света

Где - скорость света. Из определения волнового вектора

Интенсивность электромагнитной волны определяется выражением

Ответ:

Задача 2.8

По условию предыдущей задачи найти разность фаз электромагнитной волны в точках и модуль вектора напряженности во второй точке в момент времени t = 30 нс.

Таблица 1.1. К задачам 1.1.-1.25 и 2.1-2.25.

Номер задачи

Заданные параметры

электромагнитной волны

Найти:

8

n, I

Решение:

Разность фаз в двух точках

Модуль волнового вектора

Циклическая частота из определения волнового вектора

Модуль вектора напряженности электрического поля

Ответ:

Задача 3.14

Два источника излучают линейно-поляризованные электромагнитные волны. Вдали от источников в некоторой рассматриваемой ограниченной области поле излучения можно записать в виде плоских волн, распространяющихся в положительном направлении оси Ox:

где циклическая частота w = 3,14.106 рад/с, а амплитуды и начальные фазы j1 и j2 заданы в таблице вариантов 2.2. Изобразить графически в плоскости Oyz положение электрического вектора результирующей электромагнитной волны в точке с координатой x0 в последовательные моменты времени tn (см. пример 3). Для нечетных номеров задач, n = 0, 1, 2,…, 11, для четных —, n = 0, 1, 2,…, 7, где T — период волны. Определить тип поляризации результирующей волны.

Таблица 2.2 (к задачам 3.1-3.25).

Номер задачи

Е10, В/м

Е20, В/м

j1, рад

j1, рад

x0, м

3.14.

1

1

0

-3p/4

225

Решение:

Циклическая частота и волновой вектор связаны соотношением:

- скорость света.

Так первая волна имеет только y компоненту, а вторая – z, сложение их будет происходить как показано схематически на рисунке: результирующий вектор электрического поля равен векторной сумме электрических полей первой и второй волны.

здесь учтено, что период колебаний. Аналогично

Соответствующие компоненты полей для всех моментов времени приведены в таблице:

1

2

3

4

5

6

7

E1

0,7

1

0,71

-0,7

-1

E2

-0,703

-1

-0,712

0,702

1

0,713

На рисунке ниже приведены полученные результирующие вектора электрического поля для всех n

Из рисунка легко видеть, что результирующая волна имеет эллиптическую поляризацию

Задача 4.17

Во сколько раз уменьшится интенсивность поляризованного по кругу луча света, проходящего через два поляризатора и размещенную между ними кварцевую пластину? Угол между плоскостями поляризаторов равен 90о. Кварцевая пластина поворачивает плоскость поляризации света на угол b = 30о.

Решение:

Свет с круговой поляризацией можно представить как сумму двух волн со взаимноперпендикулярными линейными поляризациями равной интенсивности. так как амплитуды колебаний электромагнитного поля равны в этих волнах, прошедшая через поляризатор одна из волн будет иметь такую же амплитуду, следовательно

Так как в кварцевой пластине не происходит потери интенсивности

По закону Малюса, интенсивность света, прошедшего анализатор после анализатора

Так как между ними ещё находится кварцевая пластина

Ответ: интенсивность уменьшится в раза

Задача 5.20

В опыте с зеркалами Френеля (рис. 3.5) расстояние между мнимыми изображениями источника света d = 0,5 мм, расстояние от них до экрана L = 5 м. В зеленом свете на экране получились интерференционные полосы, расположенные на расстоянии 5 мм друг от друга. Найти длину волны зеленого света.

S

j

r

S1

b

S2

Рис. 3.5. Зеркала Френеля. Светящаяся щель S образует в двух соприкасающихся краями зеркалах мнимые изображения (источники) S1 и S2, которые дают интерференционную картину на экране. Подбирая угол между зеркалами j, можно регулировать расстояние d = 2r·sinj между S1 и S2.

Решение:

Направление, под которым наблюдается интерференционный максимум

Так как расстояние между когерентными источниками много меньше расстояния до экрана

Где - расстояние от центра экрана до максимума с номером m. Считая расстоянием между полосами расстояние между двумя соседними максимумами

Откуда

Ответ:

Задача 7.1

На диафрагму с круглым отверстием радиусом r = 1 мм падает нормально параллельный пучок света с длиной волны l = 500 нм. На пути лучей, прошедших через отверстие, помещают экран. Определить максимальное расстояние от центра отверстия до экрана, при котором в центре дифракционной картины еще будет наблюдаться темное пятно.

Решение:

Темное пятно наблюдается на экране, когда в отверстии укладывается четное число открытых зон Френеля. При падении плоской волны на диафрагму радиус зон определяется выражением

Откуда

Максимальное расстояние достигается при минимальном четном m

Ответ:

Задача 8.4

На дифракционную решетку нормально к ее поверхности падает параллельный пучок света с длиной волны l = 500 нм. Дифракционная картина наблюдается на экране, удаленном от решетки на расстояние L = 1 м. Расстояние между двумя максимумами интенсивности первого порядка равно 20 см. Определить постоянную дифракционной решетки.

Решение:

Условие главных максимумов дифракционной решетки

Максимумы первого порядка соответствуют

Где воспользовались тем, что

Откуда

Ответ:

Задача 6.23

Четыре одинаковые линейные антенны расположены параллельно друг другу так, что их оси находятся в вершинах квадрата со стороной d.

7

6 8

3 2

5 1

4 1

4 2

3

Рис. 3.8. Направления лучей (распространения волн от линейных антенн) к удаленным точкам наблюдения. Плоскость рисунка перпендикулярна антеннам.

Антенны излучают радиоволны на частоте n = 3.107 Гц с начальными фазами jоi, указанными в таблице вариантов 3.1. Определить интенсивность излучения на больших расстояниях от антенн в точке, направление на которую задано лучом, указанным на рис. 3.8 и в таблице вариантов 3.1. Принять, что интенсивности излучений, регистрируемые в точке наблюдения от каждой отдельно работающей антенны, равны соответственно I1, I2, I3 и I4. Для нечетных номеров задач, для четных —.

Таблица 3.1. К задачам 6.1 – 6.25.

Номер

задачи

I1

I2

I3

I4

j01

рад

j02

рад

j03

рад

j04

рад

Номер

луча

23

1

1

1

1

- p

p / 2

p

0

7

Решение:

Уравнения колебаний каждой из антенн

Где - циклическая частота, - волновой вектор. Интенсивность результирующей волны при сложении двух волн

Следовательно, при наличии четырех антенн суммарная интенсивность равна попарной сумме интенсивности от всех возможных пар антенн:

Учтем, что для пар антенн, расположенных перпендикулярно направлению распространению излучения (пары 1-4, 2-3) разница фаз, обусловленная положением волн равна нулю

Для пар 1-3, 2-4, расстояние между которыми равно

Для пар, расположенных вдоль направления распространения излучения 1-2, 3-4

С учетом полученных разниц фаз

Подставив и данные начальные разницы фаз

В последнем равенстве воспользовались формулами приведения. Упростим

Ответ:

Задача 9.7

Некоторый излучатель формирует плоскую электромагнитную волну в вакууме Е(t,x), уравнение которой при x = 0 можно представить в виде суперпозиции двух гармонических функций, приведенных в таблице вариантов 5.1. Методом графического сложения определить форму результирующего сигнала Е(t,0) и пространственную форму волны Е(0,x) на отрезке от x1 = 0 до x2 = 2l1 в начальный момент времени. Здесь l1 — длина волны гармонической компоненты с частотой w1, значение константы E0 считать известным. Допускается выполнение этой и следующей задачи на компьютере с использованием математических программных систем, таких как Mathcad.

Решение:

Каждый источник будет излучать бегущую волну, уравнение которых

Где - скорость света, - волновой вектор. Аналогично

Уравнение результирующей волны в момент времени

Так как период колебаний первой волны, её длина

Таким образом

Так как вектора напряженности электрических полей сонаправлены, векторная сумма совпадает с алгебраической:

Программа для сложения волн написана в среде MATLAB

>> x=0:0.001:40;

>> e=4.*sin(0.314.*x)+ cos(3.*0.314.*x); %% принимаем Е0 равным единице для простоты

>> plot(x,e)

>> grid on

>> xlabel('x, м')

>> ylabel('E, E0')

Задача 10.7

Излучатель, описанный в предыдущей задаче, помещен в ионизованную газовую среду (типа ионосферы), в которой показатель преломления изменяется в зависимости от частоты по закону, где w0 = 3,14.107 рад/с — так называемая плазменная частота этой среды. Найти фазовые скорости и длины волн заданных гармонических компонент.

Методом графического сложения определить форму сигнала E(t,L), регистрируемого приемником, расположенным на расстоянии L = N lСР в направлении распространения волны. Для удобства выполнить построение для отрезка времени от 0 до 2Т. Т и lСР — период и длина волны в данной среде гармонической компоненты с частотой w1. Эффектами поглощения пренебречь. Рекомендуется выполнить задание на компьютере с использованием математических программных средств.

Таблица 5.1. К задачам 9.1-9.25 и 10.1-10.25.

Номер задачи

Уравнение волны

Е(t,x) при x = 0

Значение угловой частоты

рад/с

7

4E0sin(w1t) + Е0cos(3w1t)

3p

9

Решение:

Из предыдущей задачи

Используя уравнения бегущих волн

найдем также

Программа для сложения волн написана в среде MATLAB

>> t=0:10^(-10):2*10^(-7);

>> e=4.*sin(3.14.*10^7.*t-2.*3.14*9)+cos(3.14.*10^7.*t-6.*3.14*9); %% принимаем Е0 равным единице для простоты

>> plot(t,e)

>> grid on

>> xlabel('x, м')

>> xlabel('t, c')

>> ylabel('E, E0')