Вариант 1. На рис. показаны точки, расположенные в узлах решетки с ячейкой в форме квадрата со стороной a=0.1м

  • ID: 33893 
  • 14 страниц

Фрагмент работы:

Вариант 1.15

Задача 1.15

На рис. 1 показаны точки, расположенные в узлах решетки с ячейкой в форме квадрата со стороной а = 0,1 м. В некоторых узлах решетки расположены точечные заряды, величины которых указаны в таблице 1 с размерностью нКл (1 нКл = 10–9 Кл). В остальных узлах заряды отсутствуют. Определить напряженность и потенциал электрического поля в точке 9. Сделать схематический рисунок линий напряженности электрического поля заданной системы зарядов.

y

17 16 15 14 13

18 5 4 3 12

19 6 1 2 11 x

20 7 8 9 10

21 22 23 24 25

Рис. 1.     

Таблица 1. К задачам 1.1-1.25.

№ задачи

Величины зарядов, нКл

номер точки

Q1

Q2

Q3

Q4

Q5

Q6

Q7

Q8

Q9

1.15

+1

–2

+1

9

Решение:

С учетом знаков зарядов, поля в точке 9 от каждого из зарядов будут направлены как показано на рисунке

Поле точечного заряда

Где - константа. Расстояния от 5-го заряда до точки 9

Поля от 2 и 8 зарядов равны, так как, но различны по направлениям

Исходное поле

Потенциал точечного заряда

Результирующий потенциал равен алгебраической сумме потенциалов от каждого из зарядов

Ответ:

С учетом того, что линии напряженности электрического поля начинаются на положительных зарядах и кончаются на положительных, исходное поле:

В силу симметричности расположения зарядов, поле будет симметрично относительно линии, обозначенной пунктиром на рисунке

Задача 2.15

По тонкому кольцу радиуса R = 20 см равномерно распределен заряд с линейной плотностью ф ?= 10 нКл/м. Определить потенциал в точке, лежащей на оси кольца на расстоянии а = 5 см от центра.

Решение:

Разобьем кольцо на элементарные участки длиной бесконечно малой длины. Каждый из этих участков создает потенциал как точечный заряд

Где - константа.

Так как суммарный потенциал равен сумме потенциалов

Ответ:

R2 R1

R3

R4

Рис. 2.

Задача 3.15

На рис. 2 приведена система заряженных коаксиальных длинных цилиндров. Радиусы цилиндров равны R1 = 10 см, R2 = 20 см, R3 = 30 см, R4 = 40 см. Величины зарядов ti, приходящиеся на единицу длины цилиндров, приведены в таблице 2. Построить график зависимости напряженности электрического поля от расстояния до оси цилиндров. Определить разность потенциалов между внутренним и внешним цилиндрами.

Таблица 2. К задачам 3.1-3.25.

№ задачи

Линейные плотности зарядов на цилиндрах ti, нКл/м

t1

t2

t3

t4

3.15

20

10

–10

0

Для нахождения напряженности полей воспользуемся теоремой Остраградского-Гаусса:

Где - электрическая постоянная, - объемная плотность заряда в объеме V. В силу симметрии задаче поле будет иметь лишь радиальную компоненту, поэтому удобно записывать теорему Остраградского-Гаусса лишь в проекции на плоскость, перпендикулярную оси цилиндров. Будем записывать теорему для участка, единичной длины. В каждой из областей будем выбирать окружность радиуса r в качестве контура интегрирования

1)

Так как внутри этой области не имеется зарядов

2)

3)

4) так незаряженный цилиндр не вносит вклада в электрическое поле, всё оставшееся пространство объединим в одну область

По определению, потенциал

Тогда искомая разность потенциалов

С учетом того, что от до напряженность поля равна нулю

ответ:

4.15. Пространство между двумя параллельными бесконечными плоскостями заполнено зарядом (рис. 3). Расстояние между плоскостями d = 1 см. Если принять, что координатная плоскость Oyz находится посередине между плоскостями, то объемную плотность электрического заряда можно записать как функцию, где  = 1 мкКл/м3. Определить разность потенциалов между точкой, имеющей координату x = d, и ближайшей поверхностью пластины. Построить график зависимости напряженности от координаты x.

y

x

z

d

Рис. 3.

Решение:

Так как пластина бесконечна по y и z направлениям, электрическое будет иметь лишь составляющую вдоль оси х.

Для нахождения напряженности электрического поля воспользуемся теоремой Остроградского-Гаусса. Так как функция распределения заряда в пластине четная (симметрична относительно начала координат) в качестве поверхности интегрирования удобно выбрать параллелепипед, центр которого совпадает с началом координат. В таком случае поля с противоположных сторон равны по величине, и противоположны по направлению. Для удобства длины его сторон по оси y и z выберем равной единице. Тогда теорема Остроградского-Гаусса примет вид

Так как полученная функция антисимметрична, для отрицательных значений х

Так как за пределами пластины зарядов нет, снаружи поле равно полю на границе и постоянно

Разность потенциалов между краем пластины и и заданной точкой

Ответ:

5.15. Нейтральную молекулу можно смоделировать как систему точечных зарядов, расположенных в некоторых узлах квадратной решетки со стороной ячейки а = 10–10 м (рис. 1). В таблице указаны величины зарядов в соответствующих узлах решетки, кратные элементарному заряду e = 1,6.10–19 Кл.

Определить:

1. Дипольный электрический момент моделирующей молекулу системы зарядов.

2. Напряженность и потенциал электрического поля системы зарядов в точке с координатами x = 0, y = 10 нм, z = 0.

3. Механический момент сил, действующих на систему со стороны однородного электрического поля, направленного по оси x. Напряженность поля.

4. Работу сил электрического поля при повороте модели молекулы на 180є вокруг оси z. Работу выразить в электронвольтах.

Таблица 3. К задачам 5.1-5.25.

№ задачи

Величины зарядов в единицах e

Q1

Q2

Q3

Q4

Q5

Q6

Q7

Q8

Q9

5.15

+1

–2

+1

Решение:

дипольный момент системы зарядов – векторная величина и определяется выражением

Где радиус-вектор i-го заряда. Из рисунка легко видеть, что

2)

Потенциал диполя на удалении определяется выражением

Где - скалярное произведение радиус-вектора до точки, где определяется потенциал и дипольного момента. При данных условиях. Норма радиус-вектора

- диэлектрическая постоянная.

Напряженность электрического поля

3)

Внешнее электрическое поле

Момент сил

Где - угол между направлением диполя и внешнего и электрического поля. Его можно найти при помощи основного тригонометрического тождества

4)

Потенциальная энергия диполя во внешнем поле

После поворота

Тогда работа по повороту диполя

Ответ: 1) ; 2), ; 3) ; 4)

Задача 6.2

Определить электроемкость системы металлических концентрических сфер. В таблице 4 указаны значения внутренних радиусов Ri и толщин di сфер для соответствующего варианта. Диэлектрическая проницаемость среды в зазорах между сферами e = 1. Считать, что с электрической цепью соединены внутренняя и внешняя сферы.

Таблица 4. К задачам 6.1-6.25.

№ задачи

Радиусы Ri и толщины di сфер, см

R1

d1

R2

d2

R3

d3

R4

d4

6.2

9

~0

10

1

-

-

12

~0

Решение:

Решение:

Емкость цилиндрического конденсатора

Где - радиусы внешней и внутренней сфер соответственно. Так как электрической цепью связаны внешний и внутренний цилиндры, можно представить данный конденсатор в виде 2-х последовательно соединенных. Емкость исходного конденсатора тогда определяется соотношением

Ответ:

7.15. По условию задачи 1.15 определить энергию взаимодействия заданной системы электрических зарядов.

Решение:

Энергию системы зарядов можно найти по формуле:

Где цi – потенциал в точке нахождения i-го заряда, создаваемого всеми остальными зарядами.

С учетом того, что, получим

Ответ:

Задача 8.15

По условию задачи 3.15 определить энергию электрического поля, заключенного между вторым и четвертым цилиндрами в расчете на единицу длины цилиндров.

Решение:

Объемная плотность энергии электростатического поля

Энергия поля

Здесь учтено, что цилиндрический элемент объема единичной длины, а из задачи 3.15 взяты полученные значения напряженностей полей

Ответ:

Задача 9.15

Два электрона, находясь вначале на расстоянии r = 0,1 мм друг от друга, начинают двигаться под действием сил отталкивания. Какую максимальную скорость они приобретут?

Решение:

Потенциальная энергия сблизившихся протонов

Где - заряд электрона.

Так как на бесконечном удалении друг от друга потенциальная энергия равна нулю, по закону сохранения энергии

Откуда

Масса электрона.

Ответ:

Задача 10.15

По медному проводу длиной L = 100 м течет ток силой I = 5 А. Определить сумму электрических сил, действующих на все свободные электроны в данном проводе, если концентрация электронов проводимости в меди равна 1029 м–3, а удельное электросопротивление меди с ?= 17 нОм.м.

Решение:

Пусть сечение провода S, тогда

Где плотность тока пропорциональна приложенному к проводнику электрическому полю Е

На каждый из электронов со стороны этого поля действует сила

Так как полное количество электронов в проводе, суммарная сила

Ответ: