Вариант 1.7. На рис. показаны точки. Определить напряженность и потенциал электрического поля в точке 12

  • ID: 33786 
  • 14 страниц

Фрагмент работы:

Вариант 1.7.

Задача 1.7

На рис. 1 показаны точки, расположенные в узлах решетки с ячейкой в форме квадрата со стороной а = 0,1 м. В некоторых узлах решетки расположены точечные заряды, величины которых указаны в таблице 1 с размерностью нКл (1 нКл = 10–9 Кл). В остальных узлах заря-ды отсутствуют. Определить напряженность и потенциал электрического поля в точке 12. Сделать схематический рисунок линий напряженности электрического поля заданной системы зарядов.

y

17 16 15 14 13

18 5 4 3 12

19 6 1 2 11 x

20 7 8 9 10

21 22 23 24 25

Рис. 1.

Таблица 1. К задачам 1.1-1.25.

№ задачи Величины зарядов, нКл номер точки

Q1 Q2 Q3 Q4 Q5 Q6 Q7 Q8 Q9

1.7 +1 –2 +1 12

Решение:

Поле точечного заряда

Где. С учетом знака зарядов, поля в точке 12 от каждого из зарядов будуь направлены как показано на рисунке.

Результирующее электрическое поле равно векторной сумме полей от каждого из зарядов. Так как поля от всех зарядов направлены по одной прямой, векторная сумма совпадает с ал-гебраической:

Потенциал точечного заряда определяется выражением

Потенциал системы зарядов равен сумме потенциалов от каждого из зарядов

Ответ:

Пунктиром на рисунке обозначена линия симметрии электрического поля

Задача 2.7

Одна половина тонкого прямого стержня имеет положительный заряд с линейной плот-ностью τ = 10 нКл/м, а другая — отрицательный заряд с такой же линейной плотностью. Длина всего стержня b = 20 см. На перпендикуляре к оси стержня, восстановленном из его середины, находится точечный положительный заряд Q = 1 нКл. Определить силу, действу-ющую на этот заряд.

Решение:

Для решения данной задачи решим вспомогательную задачу: найдем электрическое поле половины стержня конечной длины на расстоянии Х от его центра.

Рассматривая на стержне дифференциально малый участок длиной dl, находящийся на нем заряд можно рассматривать как точечный и тогда напряженность поля создаваемая этим участком:

Из чертежа на Рис. 1 следует, что

Подставляя в выражение для E получим:

Так как напряженность поля – векторная величина, разложим её на 2 составляющие:

В данном случае нас интересует лишь компонента вдоль стержня, так как в силу симмтерии задачи перпендикулярные компоненты поля компенсируют друг друга (см. рис. 2). Интегри-рую полученные выражения от 0 до +β получим:

Рисунок 2

Так как вклады обоих половин в результирующее поле равны

Из рисунка видно, что

Примечание: так как не задано расстояние от заряда до стержня, задача решена в общем виде.

R3

Q4 Q3 Q2 Q1 R2

R1

R4

Рис. 2.

Задача 3.7

На рис. 2 приведена система заряженных концентрических сфер. Радиусы сфер R1 = 10 см, R2 = 20 см, R3 = 30 см, R4 = 40 см. Величины зарядов сфер Qi указаны в таблице 2. Построить график зависимости напряженности электрического поля от расстояния до центра сферы E = E(r). Определить разность потенциалов между внутренней и внешней сферами Dj1-4.

Таблица 2. К задачам 3.1-3.25.

№ задачи Заряды на сферах Qi, нКл

Q1 Q2 Q3 Q4

3.7 10 –10 0 10

Решение:

Для нахождения напряженности полей воспользуемся теоремой Остраградского-Гаусса:

Где - электрическая постоянная, - объемная плотность заряда в объеме V. В силу симметрии задаче поле будет иметь лишь радиальную компоненту. В каж-дой из областей будем выбирать сферу радиуса r в качестве контура интегрирования

1)

Так как внутри этой области не имеется зарядов

2)

3) так как незаряженная сфера не вносит вклада в электрическое поле, объединим в 3-ю область пространства до 4-й сферы.

4)

Потенциал по определению

Тогда искомая разность потенциалов

Ответ:

Задача 4.7

Большая плоская пластина толщиной d = 4 см имеет положительный заряд, равномерно распределенный по объему с объемной плотностью ρ = 10 нКл/м3. Определить разность по-тенциалов между поверхностью и точкой, находящейся внутри пластины на расстоянии b = 1 см от поверхности. Построить график зависимости напряженности от расстояния до центра пластины.

Решение:

Так как пластина бесконечна по y и z направлениям, электрическое будет иметь лишь составляющую вдоль оси х.

Для нахождения напряженности электрического поля воспользуемся теоремой Остро-градского-Гаусса. Так как распределение заряда в пластине равномерное, в качестве поверх-ности интегрирования удобно выбрать параллелепипед, центр которого совпадает с началом координат. В таком случае поля с противоположных сторон равны по величине, и противо-положны по направлению. Для удобства длины его сторон по оси y и z выберем равной еди-нице. Тогда теорема Остроградского-Гаусса примет вид

Так как полученная функция антисимметрична, для отрицательных значений х

Так как за пределами пластины зарядов нет, снаружи поле равно полю на границе и по-стоянно

Разность потенциалов по определению

Ответ:

5.7. Нейтральную молекулу можно смоделировать как систему точечных зарядов, расположенных в некоторых узлах квадратной решетки со стороной ячейки а = 10–10 м (рис. 1). В таблице указаны величины зарядов в соответствующих узлах решетки, кратные элементарному заряду e = 1,6.10–19 Кл.

Определить:

1. Дипольный электрический момент моделирующей молекулу системы зарядов.

2. Напряженность и потенциал электрического поля системы зарядов в точке с коорди-натами x = 0, y = 10 нм, z = 0.

3. Механический момент сил, действующих на систему со стороны однородного элек-трического поля, направленного по оси x. Напряженность поля.

4. Работу сил электрического поля при повороте модели молекулы на 180º вокруг оси z. Работу выразить в электронвольтах.

Таблица 3. К задачам 5.1-5.25.

№ задачи Величины зарядов в единицах e

Q1 Q2 Q3 Q4 Q5 Q6 Q7 Q8 Q9

5.7 +1 –2 +1

Решение:

1) дипольный момент системы зарядов – векторная величина и определяется выражени-ем

Где радиус-вектор i-го заряда. Из рисунка легко видеть, что

Примечание: так как дипольный момент получился равным нулю, все осталь-ные ответы в задаче также равны нулю. Задача решена в общем виде.

2)

Потенциал диполя на удалении определяется выражением

Где - скалярное произведение радиус-вектора до точки, где определяется потенциал и дипольного момента. При данных условиях. Норма радиус-вектора

- диэлектрическая постоянная.

Напряженность электрического поля

3)

Внешнее электрическое поле

Момент сил

Где - угол между направлением диполя и внешнего и электрического поля. Его можно найти при помощи основного тригонометрического тождества

4)

Потенциальная энергия диполя во внешнем поле

После поворота

Тогда работа по повороту диполя

Задача 6.20

Определить электроемкость единицы длины системы металлических коаксиальных ци-линдров. В таблице 4 указаны значения внутренних радиусов Ri и толщин di цилиндров для соответствующего варианта. Диэлектрическая проницаемость среды в зазорах между цилин-драми e = 1. Считать, что с электрической цепью соединены внутренний и внешний цилин-дры.

Таблица 4. К задачам 6.1-6.25.

№ задачи Радиусы Ri и толщины di цилиндров, см

R1 d1 R2 d2 R3 d3 R4 d4

6.20 9 1 - - 11 ~0 12 ~0

Решение:

Емкость цилиндрического конденсатора

Где - длина цилиндров, - радиусы внешнего и внутреннего цилиндров соответ-ственно. Так как электрической цепью связаны внешний и внутренний цилиндры, можно представить данный конденсатор в виде 2-х последовательно соединенных. Емкость исход-ного конденсатора тогда определяется соотношением

Так как необходимо найти емкость единицы длины

Ответ:

Задача 7.7

По условию задачи 1.7 определить энергию взаимодействия заданной системы электри-ческих зарядов.

Решение:

Энергию системы зарядов можно найти по формуле:

Где φi – потенциал в точке нахождения i-го заряда, создаваемого всеми остальными заряда-ми.

С учетом того, что, получим

Ответ:

Задача 8.7

По условию задачи 3.7 определить энергию электрического поля, заключенного между второй и четвертой сферами.

Решение:

Объемная плотность энергии электростатического поля

Энергия поля

Здесь учтено, что сферический элемент объема, а из задачи 3.10 электрическое поле между 2-й и 4-й сферами равно нулю

Ответ: W = 0

Задача 9.7

При бомбардировке неподвижного ядра натрия α-частицей сила отталкивания между ними достигла значения F = 140 Н. На какое наименьшее расстояние приблизилась α-частица к ядру атома натрия? Какую начальную скорость имела α-частица?

Решение:

Альфа-частица образована двумя протонами и двумя нейтрона, её заряд, масса. Заряд ядра натрия, где - элементарный заряд. Рассматривая каждую из частиц как точечные заряды, сила их максимального взаимного от-талкивания определяется выражением

Откуда

Потенциальная энергия сблизившихся протонов

Где - заряд протона.

Так как на бесконечном удалении друг от друга потенциальная энергия равна нулю, по закону сохранения энергии

Откуда

Ответ:

Задача 10.7

Допустимая сила тока в алюминиевой проволоке с площадью сечения S = 1 мм2 равна 8 А. При этом электроны проводимости имеют среднюю скорость дрейфа = 0,28 мм/с. Определить количество электронов проводимости, приходящееся на один атом алюминия.

Решение:

Из определения тока

Где - объем электронов, проходящих через сечение проволоки, - концентрация элек-тронов, - заряд электрона.

Масса одного атома алюминия

Где - молярная масса алюминия, - число Авогадро. Так как плотность алюминия, плотность атомов

Количество электронов на каждый атом

Ответ: