На рис. 1 показаны точки, расположенные в узлах решетки с ячейкой в форме квадрата со стороной = 0,1 м

  • ID: 33375 
  • 14 страниц

Фрагмент работы:

Задача 1.3

На рис. 1 показаны точки, расположенные в узлах решетки с ячейкой в форме квадрата со стороной а = 0,1 м. В некоторых узлах решетки расположены точечные заряды, величины которых указаны в таблице 1 с размерностью нКл (1 нКл = 10–9 Кл). В остальных узлах заря-ды отсутствуют. Определить напряженность и потенциал электрического поля в точке 5. Сделать схематический рисунок линий напряженности электрического поля заданной системы зарядов.

y

17 16 15 14 13

18 5 4 3 12

19 6 1 2 11 x

20 7 8 9 10

21 22 23 24 25

Рис. 1.

Таблица 1.

№ задачи Величины зарядов, нКл номер точки

Q1 Q2 Q3 Q4 Q5 Q6 Q7 Q8 Q9

1.3 +2 –1 –1 5

Решение:

С учетом знаков зарядов, поля в точке 5 от каждого из зарядов будут направлены как показа-но на рисунке

Поле точечного заряда

Где. Расстояние от первого заряда до точки 5

Поля от 4 и 6 зарядов равны, так как, но различны по направлениям

Исходное поле

Потенциал точечного заряда

Результирующий потенциал равен алгебраической сумме потенциалов от каждого из зарядов

Ответ:

С учетом того, что линии напряженности электрического поля начинаются на положитель-ных зарядах и кончаются на положительных, исходное поле:

В силу симметричности расположения зарядов, поле будет симметрично относительно ли-нии, обозначенной пунктиром на рисунке

Задача 2.3

Тонкое полукольцо радиуса R = 20 см заряжено равномерно зарядом Q = 0,7 нКл. Найти модуль вектора напряженности электрического поля в центре кривизны этого полукольца.

Решение:

Разобьем всё полукольцо на элементарные участки длиной, тогда каждый из этих участков имеет заряд

Электрическое поле от каждого из таких зарядов

Результирующее поле равно геометрической сумме полей от каждого элементарных за-рядов. Компоненты поля вдоль оси Y от разных половин полукольца компенсируют дуг дру-га, поэтому результирующее поле иметь лишь компоненту Х

Ответ:

R3

Q4 Q3 Q2 Q1 R2

R1

R4

Рис. 2.

3.3. На рис. 2 приведена система заряженных концентрических сфер. Радиусы сфер R1 = 10 см, R2 = 20 см, R3 = 30 см, R4 = 40 см. Величины зарядов сфер Qi указаны в таблице 2. Построить график зависимости напряженности электрического поля от расстояния до центра сферы E = E(r). Определить разность потенциалов между внутренней и внешней сферами Dj1-4.

Таблица 2.

№ задачи Заряды на сферах Qi, нКл

Q1 Q2 Q3 Q4

3.3 20 0 –10 –10

Решение:

Для нахождения напряженности полей воспользуемся теоремой Остраградского-Гаусса:

Где - электрическая постоянная, - объемная плотность заряда в объеме V. В силу симметрии задаче поле будет иметь лишь радиальную компоненту. В каж-дой из областей будем выбирать сферу радиуса r в качестве контура интегрирования

1)

Так как внутри этой области не имеется зарядов

2) так незаряженная сфера не вносит вклада в электрическое поле, промежутки между первой и второй, и второй и третьей объединим в одну область II

3)

Так как

4)

Потенциал по определению

Тогда искомая разность потенциалов

Ответ:

4.3. Некоторая система имеет сферически симметричный заряд с объемной плотностью ρ = ρ0.exp(–αr3), где ρ0 = 1 нКл/м3, α = 10 м–3, r — расстояние от центра данной системы. Определить напряженность электрического поля в точке, находящейся на расстоянии R = 1 м от центра. Построить график зависимости напряженности от расстояния до центра системы.

Решение:

Воспользовавшись теоремой Остроградского-Гаусса, найдем для области

Ответ:

1.8. На рис. 1 показаны точки, расположенные в узлах решетки с ячейкой в форме квад-рата со стороной а = 0,1 м. В некоторых узлах решетки расположены точечные заряды, вели-чины которых указаны в таблице 1 с размерностью нКл (1 нКл = 10–9 Кл). В остальных узлах заряды отсутствуют. Определить напряженность и потенциал электрического поля в точке 3. Сделать схематический рисунок линий напряженности электрического поля заданной системы зарядов.

y

17 16 15 14 13

18 5 4 3 12

19 6 1 2 11 x

20 7 8 9 10

21 22 23 24 25

Рис. 1.

Таблица 1

№ задачи Величины зарядов, нКл номер точки

Q1 Q2 Q3 Q4 Q5 Q6 Q7 Q8 Q9

1.8 +3 –1 –1 –1 3

Решение:

С учетом знаков зарядов поля от каждого из них в точке 3 будут направлены как показано на рисунке.

Поле точечного заряда

Расстояния до зарядов

Поля, создаваемые ими

Знак минус говорит о том, что направление поля противоположно выбранному направлению (показано стрелкой на рисунке).

Потенциал точечного заряда

Результирующий потенциал равен алгебраической сумме потенциалов от каждого из зарядов

Ответ:

С учетом того, что линии напряженности электрического поля начинаются на положитель-ных зарядах и кончаются на положительных, исходное поле:

2.8. Тонкая бесконечная нить согнута под углом 90º. Нить несет заряд, равномерно рас-пределенный с линейной плотностью τ = 1 мкКл/м. Определить силу, действующую на то-чечный заряд Q = 0,1 мкКл, расположенный на продолжении одной из сторон и удаленный от вершины угла на 50 см.

Решение:

Найдем в точке расположения заряда напряженность электрического поля от заряжен-ной нити

Рассматривая на стержне дифференциально малый участок длиной dl, находящийся на нем заряд dQ= dl можно рассматривать как точечный и тогда напряженность поля создаваемая этим участком:

Из чертежа на рисунке следует, что

Подставляя в выражение для E получим:

В силу симметрии задачи очевидно, что поле будет иметь лишь компоненту вдоль оси х. из рисунка видно

Вклад в напряженность от каждой из половин нити одинаков, следовательно

сила, действующая на заряд

Ответ:

R3

Q4 Q3 Q2 Q1 R2

R1

R4

Рис. 2.

3.8. На рис. 2 приведена система заряженных концентрических сфер. Радиусы сфер R1 = 10 см, R2 = 20 см, R3 = 30 см, R4 = 40 см. Величины зарядов сфер Qi указаны в таблице 2. Построить график зависимости напряженности электрического поля от расстояния до центра сферы E = E(r). Определить разность потенциалов между внутренней и внешней сферами Dj1-4.

Таблица 2

№ задачи Заряды на сферах Qi, нКл

Q1 Q2 Q3 Q4

3.8 –10 0 10 10

Решение:

Для нахождения напряженности полей воспользуемся теоремой Остраградского-Гаусса:

Где - электрическая постоянная, - объемная плотность заряда в объеме V. В силу симметрии задаче поле будет иметь лишь радиальную компоненту. В каж-дой из областей будем выбирать сферу радиуса r в качестве контура интегрирования

1)

Так как внутри этой области не имеется зарядов

2) так незаряженная сфера не вносит вклада в электрическое поле, промежутки между первой и второй, и второй и третьей объединим в одну область II

3)

Так как

4)

Потенциал по определению

Тогда искомая разность потенциалов

Ответ:

4.8. Длинная нить имеет положительный заряд с линейной плотностью t = 10 нКл/м. Радиус нити R = 1 мм. Среда, окружающая нить, имеет объемную плотность положительного заряда, меняющуюся в зависимости от расстояния от оси нити r по закону, где b = 10 мкКл/м2. Определить разность потенциалов между поверхностью нити и точкой, отстоящей от ее оси на расстоянии r = 11R. Построить график зависимости напряженности от расстояния до оси нити.

Решение:

Электрическое поле будет складываться из двух компонент: поле заряженной нити и объем-ного заряда вокруг нити.

1)

2)

В силу симметрии задаче поле будет иметь лишь радиальную компоненту, поэтому удобно записывать теорему Остраградского-Гаусса лишь в проекции на плоскость, перпендикуляр-ную оси цилиндров. Будем записывать теорему для участка, единичной длины. В каждой из областей будем выбирать окружность радиуса r, площадь такого контура тогда

Общее электрическое поле

По определению потенциал

Подставляя теперь

ответ: