Вариант 1. На рис. приведена система заряженных коаксиальных длинных цилиндров. Радиусы цилиндров равны. см,. см

  • ID: 32634 
  • 7 страниц

Фрагмент работы:

Вариант 1.25.

3.25. На рис. 2 приведена система заряженных коаксиальных длинных цилиндров. Радиусы цилиндров равны R1 = 10 см, R2 = 20 см, R3 = 30 см, R4 = 40 см. Величины зарядов ti, приходящиеся на единицу длины цилиндров, приведены в таблице 2. Построить график зависимости напряженности электрического поля от расстояния до оси цилиндров. Определить разность потенциалов между внутренним и внешним цилиндрами.

Таблица 2. К задачам 3.1-3.25.

№ задачи Линейные плотности зарядов на цилиндрах ti, нКл/м

t1 t2 t3 t4

3.25 20 0 –20 10

Решение:

Для нахождения напряженности полей воспользуемся теоремой Остраградского-Гаусса:

Где - электрическая постоянная, - объемная плотность заряда в объеме V. В силу симметрии задаче поле будет иметь лишь радиальную компоненту, поэтому удобно записывать теорему Остраградского-Гаусса лишь в проекции на плоскость, перпендикулярную оси цилиндров. Будем записывать теорему для участка, единичной длины. В каждой из областей будем выбирать окружность радиуса r в качестве контура интегрирования

1)

Так как внутри этой области не имеется зарядов

2) так незаряженный цилиндр не вносит вклада в электрическое поле, промежутки между первым и вторым, и вторым и третьим объединим в одну область II

3)

Так как

4)

По определению, потенциал

Тогда искомая разность потенциалов

С учетом того, что от до напряженность поля равна нулю

ответ:

4.25. Пластина толщиной d = 2 см имеет электрический заряд распределенный так, что его объемная плотность зависит только от координаты x (рис. 3) по закону

ρ = ρ0

где ρ0 = 10 нКл/м3. Определить разность потенциалов между центром и краем пластины, считая ее бесконечной. Построить график зависимости напряженности поля от координаты x до центра пластины.

y

x

z

d

Рис. 3.

Решение:

Так как пластина бесконечна по y и z направлениям, электрическое будет иметь лишь составляющую вдоль оси х.

Для нахождения напряженности электрического поля воспользуемся теоремой Остроградского-Гаусса. Так как функция распределения заряда в пластине четная (симметрична относительно начала координат) в качестве поверхности интегрирования удобно выбрать параллелепипед, центр которого совпадает с началом координат. В таком случае поля с противоположных сторон равны по величине, и противоположны по направлению. Для удобства длины его сторон по оси y и z выберем равной единице. Тогда теорема Остроградского-Гаусса примет вид

Так как полученная функция антисимметрична, для отрицательных значений х

Так как за пределами пластины зарядов нет, снаружи поле равно полю на границе и постоянно

Разность потенциалов между центром пластины и её краем по определению

Ответ:

5.25. Нейтральную молекулу можно смоделировать как систему точечных зарядов, расположенных в некоторых узлах квадратной решетки со стороной ячейки а = 10–10 м (рис. 1). В таблице указаны величины зарядов в соответствующих узлах решетки, кратные элементарному заряду e = 1,6.10–19 Кл.

Определить:

1. Дипольный электрический момент моделирующей молекулу системы зарядов.

2. Напряженность и потенциал электрического поля системы зарядов в точке с координатами x = 0, y = 10 нм, z = 0.

3. Механический момент сил, действующих на систему со стороны однородного электрического поля, направленного по оси x. Напряженность поля.

4. Работу сил электрического поля при повороте модели молекулы на 180º вокруг оси z. Работу выразить в электронвольтах.

Таблица 3. К задачам 5.1-5.25.

№ задачи Величины зарядов в единицах e

Q1 Q2 Q3 Q4 Q5 Q6 Q7 Q8 Q9

5.25 +3 –1 –1 –1

Решение:

1) дипольный момент системы зарядов – векторная величина и определяется выражением

Где радиус-вектор i-го заряда. Из рисунка легко видеть, что

Примечание: ошибка в условии, так как из-за нулевое значения электрического диполя все остальные величины также будут равны нулю. Далее будет приведено решение в общем виде.

2)

Потенциал диполя на удалении определяется выражением

Где - скалярное произведение радиус-вектора до точки, где определяется потенциал и дипольного момента. При данных условиях. Норма радиус-вектора

- диэлектрическая постоянная.

Напряженность электрического поля

3)

Внешнее электрическое поле

Момент сил

Где - угол между направлением диполя и внешнего и электрического поля. Его можно найти при помощи основного тригонометрического тождества

4)

Потенциальная энергия диполя во внешнем поле

После поворота

Тогда работа по повороту диполя