При феноменологическом описании частотных свойств полярных диэлектриков используют математическую модель

  • ID: 20211 
  • 4 страницы

Фрагмент работы:

Задача 1

При феноменологическом описании частотных свойств полярных диэлектриков используют математическую модель, которая уподобляет молекулярные диполи воображаемым твердым частицам, испытывающем при своем движении вязкое сопротивление окружающей среды. При этом связь между вектором поляризованности Р и вектором напряженности электрического поля Е устанавливается дифференциальным уравнением где а – константа; Т – время релаксации среды. Вывести зависимость комплексной абсолютной диэлектрической проницаемости от частоты.

Решение:

Любую гармонически изменяющуюся величину можно представить как реальную часть некого комплекса. В частности электрическое поле, изменяющееся гармонически, можно представить как, где - комплексная амплитуда (см. [1]). Тогда дифференциальное уравнение будет иметь вид:

Решим сначала однородное уравнение:

Записываем характеристический многочлен:

Общее решение тогда:

Где А – любая константа. Из вида правой части, найдем частное решение как временная экспонента, помноженная на некоторую константу:

Подставив это решение в изначальное уравнение получим:

Откуда:

(для решение диф. Ур-я см. любую литературу по решению неоднородных линейных уравнений)

Тогда конечным решением уравнения будет:

Первый член в этом решении и будет отвечать за вязкое затухание в модели диэлектрика. Второй член обуславливает внешнее воздействие со стороны электрического поля. Очевидно, что по прошествии достаточно большого времени, первый член обратится в нуль, и поляризованность Р будет только обусловлена внешним полем. То есть:

Вектор диэлектрической индукции D связан с вектором напряженности электрического поля Е:

(см. [2])

Где - абсолютная диэлектрическая проницаемость среды.

С другой стороны

(см. [2])

Где - диэлектрическая постоянная(или диэлектрическая проницаемость вакуума).

Тогда используя полученное решение для поляризованности Р:

Ответ:

[1] - учебное пособие Е.А. Воробьева «Законы электродинамики – теоретическая основа получения информации»

[2] - И.Е. Иродов, «Основные законы электромагнетизма»

Задача 2

Решение:

В решении используются формулы из задачника Баскакова по радиофизике, глава пятая – Плоские электромагнитные волны.

Когда поля изменяются по гармоническому закону, как в случае волн, их комплексные амплитуды удовлетворяют уравнениям Гельмгольца:

Где - комплексный коэффициент распространения, индекс «а» означает абсолютные значения диэлектрической и магнитной проницаемостей; β - коэффициент фазы или волновое число, α - коэффициент ослабления. Они связаны между собой через тангенс диэлектрических потерь:

В свою очередь тангенс может быть выражен через фазовую скорость, используя выражение:

- скорость света, здесь ε уже относительная диэлектрическая проницаемость, так как для вакуума то

Подставляя числовые значения:

Фазовая скорость связана с волновым числом

- круговая или циклическая частота. Из выражения выше получим:

Теперь можно найти коэффициент ослабления:

Решением уравнения Гельмгольца будет функция:

Мнимая часть выражения, стоящая в экспоненте, будет отвечать за колебательное движение, реальная – за затухание амплитуды. Так как по условию амплитуда зависит только от координаты z, решение для напряженности электрического поля можно представить в виде:

Где - некоторая функция отвечающая за колебательное движение, модуль которой равен единицы. Знак минус выбран из условия нулевой напряженности на бесконечности. Тогда, используя условие в нуле, получим, что константа С = 1. и амплитуда волны тогда:

Подставляя теперь z, в котором необходимо найти напряженность:

Ответ: