По Баскакову задачи: 1.19, 2.19, 4.15, 6.34, 7.24, 11.9 (по Баскакову)

  • ID: 13685 
  • 5 страниц

Фрагмент работы:

ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ПОЛЯ И ВОЛНЫ

1.19. Векторное поле А обладает единственной составляющей Аx, которая постоянна в пределах плоского слоя толщиной 2d:

[image]

Найти выражение ротора поля.

rotA = A0 [d(y – d) – d(y + d)] ez, где d(y) – функция Дирака.

РЕШЕНИЕ

В декартовой системе координат проекции ротора векторного поля имеют вид [1, стр.5]:

[image] (1)

С учетом того, что имеется единственная компонента векторного поля Ax(y) получаем:

[image] (2)

С помощью функции Вейерштрасса единичной ступеньки:

[image] (3)

Записываем выражение ненулевой компоненты векторного поля:

[image] (4)

Используя связь функции Вейерштрасса с функцией Дирака:

[image] (5)

Получаем производную:

[image] (6)

С помощью которой из (2) выражаем ротор поля A:

[image] (7)

2.19. В однородной проводящей среде с параметрами e и s в момент времени t = 0 создано начальное распределение плотности зарядов r0(x,y,z).

Показать, что за счет токов проводимости в среде происходит экспоненциальное уменьшение плотности объемного заряда:

[image]

Оценить t – характерное время релаксации этого процесса для типичного металла, у которого s1 = 107 См/м, а также для полупроводника, имеющего s2 = 10-3 См/м.

воспользоваться уравнением непрерывности.

t1 » 10-18 с, t2 » 10-8 с.

РЕШЕНИЕ

Записываем уравнение непрерывности тока для рассматриваемой среды [1, стр.11]:

[image] (1)

Где объемная плотность тока проводимости равна:

[image] (2)

Используем уравнение Максвелла:

[image] (3)

Из уравнений (1) и (2) получаем:

[image] (4)

После деления на r получаем дифференциальное уравнение:

[image] (5)

Интегрируем это уравнение:

[image] (6)

Где С(x,y,z) – постоянная интегрирования (относительно переменной t).

Из (6) получаем соотношение, показывающее, что за счет токов проводимости в среде происходит экспоненциальное уменьшение плотности объемного заряда:

[image] (7)

Где обозначено начальное распределение плотности зарядов:

[image] (8)

Из (7) видим, что характерное время релаксации плотности заряда (уменьшения плотности заряда в e раз) равно: