Задачи 5.14, 6.25, 4.8, 3.30

  • ID: 13428 
  • 5 страниц

Фрагмент работы:

ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ПОЛЯ И ВОЛНЫ

3.30. По двум бесконечным прямолинейным проводникам, ориентированным вдоль ось z, протекают равные и противоположно направленные токи I. Определить векторный электрический потенциал во всем пространстве.

Ответ:

где r1 и r2 – кратчайшие расстояния от точки наблюдения до соответствующего проводника.

РЕШЕНИЕ

Рассмотрим провод с током и точку на расстоянии r от него, в которой определяется векторный электрический потенциал:

Элемент тока Idz создает в направлении тока соответствующий элемент векторного электрического потенциала [1, стр.27]:

(1)

Где расстояние от элементарного тока до рассматриваемой точки:

(2)

Далее, если интегрировать выражение (1) по бесконечно длинному проводу, то получим расходящийся интеграл, поэтому будем временно считать длину провода ограниченной и равной 2L. Тогда можем найти векторный потенциал от такого провода с током интегрированием выражения (1):

(3)

Теперь находим векторный потенциал от двух проводов длины 2L с током I, направленным в противоположные стороны, на расстоянии r1 и r2 от этих проводов (где r1 и r2 – кратчайшие расстояния от точки наблюдения до соответствующего проводника):

(4)

Далее переходим к бесконечным проводам с током, для этого в найденном выражении переходим к переделу, в котором L стремится к бесконечности:

(5)

4.8. Для защиты от внешних электромагнитных полей катушка колебательного контура помещена в замкнутый экран из хорошо проводящего материала. В какую сторону изменится собственная частота контура из-за наличия экрана?

Ответ: собственная частота контура повысится.

РЕШЕНИЕ

По закону индукции Ленца изменяющееся магнитное поле на поверхности проводящего экрана создает вихревые токи в экране, стремящиеся уменьшить магнитное поле, их вызвавшее. Поэтому экран будет уменьшать магнитное поле катушки, помещенной в экранированное пространство, то есть, энергия магнитного поля катушки будет уменьшаться:

(1)

Из этой формулы видим, что уменьшение энергии магнитного поля катушки приводит к уменьшению индуктивности катушки (при неизменном токе катушки), следовательно, собственная частота контура, определяемая соотношением:

(2)

– повысится.

5.14. Плоская электромагнитная волна распространяется в немагнитной среде без потерь с неизвестным значением диэлектрической проницаемости. Измерения показали, что на пути, равном 10 см, колебание с частотой 1 ГГц приобретает дополнительный по сравнению с вакуумом сдвиг по фазе в 40. Определить относительную диэлектрическую проницаемость и коэффициент преломления среды.

Ответ:  = 16/9 = 1,78, n = 4/3 = 1,33.

РЕШЕНИЕ

Коэффициент фазы в немагнитной среде без потерь с относительной диэлектрической проницаемостью  равен [1, стр.47]:

(1)

Где с = 3108 м/с – скорость света в вакууме.

Соответственно, в вакууме коэффициент фазы будет равен:

(2)

А дополнительный сдвиг фазы в радианах будет равен:

(3)

Откуда находим относительную диэлектрическую проницаемость среды:

(4)

И определяем коэффициент преломления среды [1, стр.48]:

(5)

6.25. Плоская электромагнитная волна падает на границу раздела сред с различными значениями относительной магнитной проницаемости. Будет ли существовать угол, при котором отсутствует отраженная волна? Если да, то как величина этого угла связана с параметрами сред?

Ответ: отраженная волна будет отсутствовать при падении под углом Брюстера Б, причем:

– для вектора Е, лежащего в плоскости падения

– для вектора Н, лежащего в плоскости падения.

РЕШЕНИЕ

Коэффициент отражения R для заданного значения угла падения  в случае, когда вектор Е лежит в плоскости падения, равен [1, стр.63]:

(1)

Где характеристические сопротивления сред [1, стр.48]:

(2)

А угол преломления п может быть найден из соотношения [1, стр.62]:

(3)

Из (1) получаем условие отсутствия отраженной волны:

(4)

Из (2), (3) и (4) выражаем тригонометрические функции угла преломления п:

(5)

Откуда получаем:

(6)

И после деления на cos2 получаем:

(7)

Следовательно, для случая, когда вектор Е лежит в плоскости падения, отраженная волна будет отсутствовать при ее падении под углом Брюстера Б, тангенс которого равен:

(8)

Коэффициент отражения R для заданного значения угла падения  в случае, когда вектор Н лежит в плоскости падения, равен [1, стр.63]:

(9)

Откуда получаем условие отсутствия отраженной волны:

(10)

Из (2), (3) и (10) выражаем тригонометрические функции угла преломления п:

(11)

Откуда получаем:

(12)

И после деления на cos2 получаем:

(13)

Следовательно, для случая, когда вектор Н лежит в плоскости падения, отраженная волна будет отсутствовать при ее падении под углом Брюстера Б, тангенс которого равен:

(14)

ЛИТЕРАТУРА

1. Баскаков С.И., Карташев В.Г., Лобов Г.Д. и др. Сборник задач по курсу «Электродинамика и распространение радиоволн». – М.: Высш. школа, 1981. – 208 с.