По Баскакову: задачи 1.6; 2.32; 5.10; 7.35; 10.10; 13.25

  • ID: 13144 
  • 5 страниц

Фрагмент работы:

ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ПОЛЯ И ВОЛНЫ

1.6. Пусть поле A предыдущей задачи характеризует векторы скоростей потока жидкости. В любую точку пространства может быть помещена миниатюрная «турбина» с прямыми лопатками (рис.1.3); ориентация ее оси произвольна.

Почему не будет вращаться «турбина», помещенная в поток жидкости со скоростями, одинаковыми в каждой точке? Почему угловая скорость вращения равна нулю при y = 0 и изменяет направление при переходе из области y < 0 в область y > 0? Установить связь этих результатов с математическим понятием ротора векторного поля как циркуляции по бесконечно малому контуру.

РЕШЕНИЕ

z

y

0

Схема потока жидкости и турбины:

Вращение «турбины» при помещении ее в поток жидкости определяется трением с обтекающими турбину движущимися частицами жидкости и математически угловая скорость вращения турбины может быть определена через угловую скорость вращения потока жидкости, которая равна ротору поля скоростей. В случае одинаковых скоростей потока жидкости в каждой точке A = const, ротор такого поля будет равен нулю:

[image] (1)

Следовательно, угловая скорость механической «турбины» (совпадающая с угловой скоростью вращения потока жидкости) будет всюду равна нулю.

Для потока скоростей с единственной компонентой скорости Az = 3y2 из предыдущей задачи, в результате решения этой же задачи было найдено векторное поле:

[image] (2)

Из этого выражения видим, что угловая скорость вращения потока жидкости равна нулю при y = 0 и изменяет направление при переходе из области y < 0 в область y > 0, соответственно, также будет себя вести и механическая «турбина», помещаемая в соответствующие точки жидкости.

Связь этих результатов с математическим понятием ротора векторного поля как циркуляции по бесконечно малому контуру следует из определения ротора векторного поля А как предела циркуляции при стягивании контура циркуляции в точку ([image]):

[image] (3)

2.32. Комплексные амплитуды векторов электромагнитного поля в некоторой точке пространства задаются выражениями:

[image]

Определить комплексный вектор Пойнтинга и его среднее значение.

[image].

РЕШЕНИЕ

Комплексный вектор Пойнтинга определяется через векторное произведение комплексной амплитуды вектора электрического поля и комплексно сопряженной амплитуды вектора магнитного поля [1, стр.15]:

[image] (1)

Соответственно находим среднее значение вектора Пойнтинга:

[image] (2)