По Баскакову: задачи 1.6; 2.32; 5.10; 7.35; 10.10; 13.25. Пусть поле A предыдущей задачи характеризует векторы скоростей потока жидкости

  • ID: 13144 
  • 5 страниц
x

Часть текста скрыта. После покупки Вы получаете полную версию

Фрагмент работы:

По Баскакову: задачи 1.6; 2.32; 5.10; 7.35; 10.10; 13.25. Пусть по…

ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ПОЛЯ И ВОЛНЫ

1.6. Пусть поле A предыдущей задачи характеризует векторы скоростей потока жидкости. В любую точку пространства может быть помещена миниатюрная «турбина» с прямыми лопатками (рис.1.3); ориентация ее оси произвольна.

Почему не будет вращаться «турбина», помещенная в поток жидкости со скоростями, одинаковыми в каждой точке? Почему угловая скорость вращения равна нулю при y = 0 и изменяет направление при переходе из области y < 0 в область y > 0? Установить связь этих результатов с математическим понятием ротора векторного поля как циркуляции по бесконечно малому контуру.

РЕШЕНИЕ

Схема потока жидкости и турбины:

Вращение «турбины» при помещении ее в поток жидкости определяется трением с обтекающими турбину движущимися частицами жидкости и математически угловая скорость вращения турбины может быть определена через угловую скорость вращения потока жидкости, которая равна ротору поля скоростей. В случае одинаковых скоростей потока жидкости в каждой точке A = const, ротор такого поля будет равен нулю:

(1)

Следовательно, угловая скорость механической «турбины» (совпадающая с угловой скоростью вращения потока жидкости) будет всюду равна нулю.

Для потока скоростей с единственной компонентой скорости Az = 3y2 из предыдущей задачи, в результате решения этой же задачи было найдено векторное поле:

(2)

Из этого выражения видим, что угловая скорость вращения потока жидкости равна нулю при y = 0 и изменяет направление при переходе из области y < 0 в область y > 0, соответственно, также будет себя вести и механическая «турбина», помещаемая в соответствующие точки жидкости.

Связь этих результатов с математическим понятием ротора векторного поля как циркуляции по бесконечно малому контуру следует из определения ротора векторного поля А как предела циркуляции при стягивании контура циркуляции в точку (...):

(3)

2.32. Комплексные амплитуды векторов электромагнитного поля в некоторой точке пространства задаются выражениями:

Определить комплексный вектор Пойнтинга и его среднее значение.

ОТВЕТ:....

РЕШЕНИЕ

Комплексный вектор Пойнтинга определяется через векторное произведение комплексной амплитуды вектора электрического поля и комплексно сопряженной амплитуды вектора магнитного поля [1, стр.15]:

(1)

Соответственно находим среднее значение вектора Пойнтинга:

(2)

5.10. В среде с параметрами  = 4,  = 1,  = 0 распространяется плоская электромагнитная волна, комплексная амплитуда вектора напряженности электрического поля которой в плоскости z = 0 равна....

Определить комплексную амплитуду вектора напряженности магнитного поля, если волна распространяется в направлении возрастания координаты z.

ОТВЕТ:....

РЕШЕНИЕ

Комплексная амплитуда плоской электромагнитной волны, распространяющейся в направлении единичного вектора... имеет вид [1, стр.47]:

(1)

Где комплексный коэффициент распространения равен [1, стр.46]:

(2)

Воспользуемся уравнением Максвелла:

(3)

Откуда для комплексных амплитуд напряженности получаем:

(4)

Откуда выражаем комплексную амплитуду напряженности магнитного поля:

(5)

Где характеристическое сопротивление среды равно:

(6)

В нашем случае направление распространения плоской волны в направлении возрастания координаты z:

(7)

По формуле (5) получаем:

(8)

7.35. Рабочий диапазон частот Н-образного волновода принято определять как интервал от 1,2fкр основного типа волны до fкр следующего типа волны.

Определить рабочий диапазон частот Н-образного волновода со следующими размерами: a = 20 мм, b = 6 мм, d = 1 мм, s = 10 мм. Критическую длину волны типа Н20 принять приближенно равной a.

ОТВЕТ: 4,3 – 15 ГГц.

РЕШЕНИЕ

Критическая длина волны (типа Н10) в Н-образном волноводе определяется следующим выражением [1, стр.79]:

(1)

Где  - фактор понижения критической частоты, зависящий от безразмерных отношений:

(2)

По графикам [1, стр.79] определяем фактор понижения критической частоты:... (3)

Находим критическую длину волны:

(4)

Следующую критическую длину волны типа Н20 принимаем приближенно равной a:

(5)

Определяем нижнюю и верхнюю граничные частоты рабочего диапазона частот (т.е. рабочий диапазон частот Н-образного волновода):

(6)

(7)

10.10. Какой тип колебаний является основным в прямоугольном резонаторе с размерами a = 2 см, b = 4 см, l = 3 см? Определить его резонансную частоту. Какой тип колебаний является ближайшим высшим? Найти его резонансную частоту.

ОТВЕТ: Н011, 6,25 ГГц; Е110, 8,38 ГГц.

РЕШЕНИЕ

Резонансная частота колебаний типа Нmnp или Emnp в прямоугольном объемном резонаторе определяется выражением [1, 130]:

(1)

Где m, n, p – целые числа.

Для нашего случая получаем:

(2)

Где с = 3108 м/с – скорость света в вакууме.

Известно [1, стр.131], что основным типом колебаний в прямоугольном резонаторе, имеющим минимальную резонансную частоту, в зависимости от соотношения размеров a, b и l могут быть Н101, Н011 или Е110. Для нашего случая вычисляем по формуле (2) соответствующие частоты:

(3)

(4)

(5)

Резонансной частотой является наименьшая частота из найденных: Н011, 6,25 ГГц.

Резонансная частота для следующего колебания соответственно равна: Е110, 8,39 ГГц.

13.25. СВЧ-феррит марки 10СЧ6 с параметрами М0 = 1,35105 А/м,  = 13,8,  = 3108 с-1 используется в устройстве для поворота плоскости поляризации плоской электромагнитной волны.

Определить минимальную длину ферритового образца z0, необходимую для создания угла поворота, равного – /4, если линейно поляризованная волна распространяется вдоль магнитного поля.... Напряженность магнитного поля 1,42105 А/м, частота колебаний 21010 с-1.

Указание: при расчете учесть, что |  – H | >> , и пренебречь потерями в феррите.

ОТВЕТ: 8,4 мм.

РЕШЕНИЕ

Заданная частота колебаний равна:

(1)

Определяем частоту Ларморовской прецессии [1, с.193]:

(2)

И находим частоту релаксации, определяющую магнитные потери в феррите [1, с.193]:

(3)

Если потери в феррите отсутствуют, то компоненты тензора относительной магнитной проницаемости равны [1, стр.193]:

(4)

(5)

(6)

Находим относительные электрическую и магнитную проницаемости для волн с правой и левой круговой поляризацией [1, стр.194]:

(7)

(8)

(9)

Если линейно поляризованная волна пройдет расстояние z, то угол поворота ее поляризации будет равен [1, стр.194]:

(10)

Откуда находим минимальную длину ферритового образца при заданном угле поворота поляризации линейно поляризованной волны:

(11)

ЛИТЕРАТУРА

1. Баскаков С.И., Карташев В.Г., Лобов Г.Д. и др. Сборник задач по курсу «Электродинамика и распространение радиоволн». – М.: Высш. школа, 1981. – 208 с.