Задача 4. Исследовать средствами дифференциального исчисления функцию y=f(x) и построить ее график

  • ID: 92110 
  • 4 страницы

Фрагмент работы:

Задача 4. Исследовать средствами дифференциального исчисления функ…

Задача 4

Исследовать средствами дифференциального исчисления функцию y=f(x) и построить ее график:....

Решение:

1. Область определения функции:....

2. Вертикальных асимптот нет. Определим наклонные асимптоты:..., т.е. наклонных асимптот нет.

3. Определим поведение функции на концах области определения:

Концами области определения являются....... Найдем пределы функции при....

4. Функция не обладает свойствами четности и нечетности. Следовательно, график функции не будет симметричен ни относительно оси Оy, ни относительно начала координат.

5. Данная функция периодичностью не обладает.

6. Найдем первую производную функции и определим критические точки:.... Производная существует при любых х.

Решим уравнение...;...;...;....

Точки...;... критические. Следовательно, область определения функции делится на интервалы:....... Изобразим эти интервалы на числовой оси:

Замечаем, что при переходе через точку х=-4 производная поменяла знак с плюса на минус, значит, х=-4 является точкой максимума. Найдем значение функции в этой точке:.... Таким образом, график имеет минимум в точке А(-4;0).

При переходе через точку... производная поменяла знак с минуса на плюс, значит... является точкой минимума. Найдем значение функции в этой точке:

Таким образом, график имеет максимум в точке B(...;...).

6. Найдем производную второго порядка. Найдем точки, где y''=0:..........

Эти точки делит область определения... на два интервала.

а) На интервале... выберем число х=-4, и подставим его во вторую производную..., значит на интервале... график функции вогнутый.

б) На интервале... выберем число х=0, и подставим его во вторую производную..., значит на интервале... график функции выпуклый.

Таким образом, точка С(-10/3;-16/27) - точка перегиба.

7. Точки пересечения графика с осями координат.

На оси Оy: х=0.... Получили точку пересечения с осью Оy: (0;32)

На оси Ох: y=0, тогда x=-4, x=-2. Таким образом, график функции пересекает ось Ох в точках (-4;0) и (-2;0).

Построим график: