Шифр 25: 5 задач. Показать, что система линейных уравнений имеет единственное решение, и найти его двумя способами

  • ID: 08755 
  • 11 страниц

Содержание:


Задача 5

Показать, что система линейных уравнений имеет единственное решение, и найти его двумя способами: а) по правилу Крамера; б) матричным способом.

[image]

Решение:

а) Найдем решение системы по правилу Крамера, для этого сначала вычислим определитель:

[image]

[image], следовательно, система имеет единственное решение: [image]; [image]; [image].

Вычислим [image], [image],[image]:

[image]

[image]

[image]

Отсюда: [image]; [image]; [image].

Проверка:

[image]

Все три уравнения при подстановке в них [image], [image], [image] обратились в очевидные равенства, значит, единственное правильное решение найдено верно.

б) Найдем решение системы матричным способом: для этого вычислим алгебраические дополнения:

[image]; [image]; [image];

[image]; [image]; [image];

[image]; [image]; [image].

Таким образом,

[image]

Решение системы в матричной форме по формуле [image] запишется так:

[image]

Приравнивая элементы матрицы, стоящие слева и справа, получаем: [image], [image], [image].

Ответ: [image], [image], [image].

Задача 18

Пользуясь методом Гаусса, найти общее решение системы линейных уравнений, а также два частных ее решения, одно из которых базисное.

[image]

Решение:

Выпишем расширенную матрицу системы и решим ее, сначала умножив первую строку на (-3) и сложив со второй, на (-5) и сложив с третьей, на (4) и сложив с четвертой; затем умножив вторую строку на (-3) и сложив с третьей, на (-4) и сложив с четвертой:

[image]~[image]~[image].

По виду этой матрицы заключаем, что система совместная и неопределенная. Система, соответствующая полученной матрице, имеет вид: