Шифр 25: 5 задач. Показать, что система линейных уравнений имеет единственное решение, и найти его двумя способами

  • ID: 08755 
  • 11 страниц

Содержание:


Шифр 25: 5 задач. Показать, что система линейных уравнений имеет е…

Задача 5

Показать, что система линейных уравнений имеет единственное решение, и найти его двумя способами: а) по правилу Крамера; б) матричным способом.

Решение:

а) Найдем решение системы по правилу Крамера, для этого сначала вычислим определитель:

следовательно, система имеет единственное решение: ; ;.

б) Найдем решение системы матричным способом: для этого вычислим алгебраические дополнения:

Решение системы в матричной форме по формуле запишется так:

Ответ:.

Задача 18

Пользуясь методом Гаусса, найти общее решение системы линейных уравнений, а также два частных ее решения, одно из которых базисное.

Решение:

Выпишем расширенную матрицу системы и решим ее, сначала умножив первую строку на (-3) и сложив со второй, на (-5) и сложив с третьей, на (4) и сложив с четвертой; затем умножив вторую строку на (-3) и сложив с третьей, на (-4) и сложив с четвертой:

Задача 24

Решить графически задачу линейного программирования.

z =

Решение:

Задача 37

На трех базах А1, А2, А3 имеется груз в количестве а1 = 270, а2 = 300, а3 = 230 единиц. Этот груз нужно перевезти в пять пунктов В1, В2, В3, В4, В5 в количестве b1 = 170, b2 = 110, b3 = 200, b4 = 140, b5 = 180 единиц соответственно. Затраты на перевозку груза между пунктами поставок и потребления заданы матрицами тарифов С:

Спланировать перевозки так, чтобы их общая стоимость была минимальной.

Решение:

Проверим, является ли данная транспортная задача закрытой:

;.

следовательно, данная транспортная задача закрытая. Найдем исходное решение по методу минимального тарифа.

bi

ai

Задача 45

При подкормке посева нужно внести на 1 га почвы не менее 10 ед. химического вещества А, 25 ед. вещества Б, 20 ед. вещества В. Сельскохозяйственное предприятие закупает комбинированные удобрения четырех видов (I, II, III, IV). В таблице указаны содержание химических веществ и цена за единицу массы каждого вида удобрений. Минимизировать расходы по закупке необходимого количества удобрений.

Химическое вещество Содержание вещества в единице массы удобрений

I II III IV

А 1 5 2 1

Б 12 3 3 2

В 4 4 2 2

Цена 5 3 2 3

Решение:

Обозначим через х1, х2, х3, х4 количество четырех видов удобрений I, II, III, IV.

Ограничения по содержанию химического вещества А выразим соотношением: х1 + 5х2 + 2х3 + х4  10.

Ограничения по содержанию химического вещества Б: 12х1 + 3х2 + 3х3 + 2х4  25.

Ограничения по содержанию химического вещества В: 4х1 + 4х2 + 2х3 + 2х4  20.

Требование минимизации расходов по закупке необходимого количества удобрений определяет целевую функцию: f = 5х1 + 3х2 + 2х3 + 3х4  min.

Решим задачу линейного программирования:

Литература