Задачи 2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26, 29, 32, 35, 38, 41, 44, 47, 50

  • ID: 08690 
  • 11 страниц

Фрагмент работы:

Задачи 2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26, 29, 32, 35, 38, 41, 44, 47…

№2.

Объем капитальных вложений К (в млн. руб.) зависит от производственных мощностей М электростанций следующим образом:

=...

Определить в зависимости от мощности электростанций:

а) изменение величины капитальных вложений при изменении мощности на величину ?М;

б) прирост капитальных затрат на единицу мощности;

в) скорость изменения капитальных вложений при малых изменениям, мощности (предельные капитальные вложения);

г) скорость изменения предельных капитальных вложений.

Решение:

а)

б) Подставим в формулу...=1:

в) Определим предельные капитальные вложения:

г) определим скорость изменения предельных капитальных вложений:

№5.

Зависимость издержек производства у (в руб.) от количества выпускаемой продукции x (в тоннах):

Определить предельные издержки, если объем производства составляет:

а) 5 тонн, б) 10 тонн.

Решение:

Определим предельные издержки производства:

Тогда при объеме производства 5 тонн предельные издержки составят:

руб.

а при объеме производства 10 тонн:

руб.

№8.

Спрос на данный конкретный товар определяется функцией

q=10-p

где р - цена товара. Определить функцию эластичности спроса. Как изменится спрос, если при цене р = 2 произойдет повышение цены на 1%?

Решение:

Функция эластичности спроса определяется по формуле:

Тогда эластичность будет равна:

Если при цене p=2 произойдет повышение цены на 1%, то изменение спроса составит:

т.е. спрос уменьшится на 25%.

№11.

Пусть u(t) - количество работающих в момент t станков новой конструкции, v(t) - количество станков старой конструкции, которые постепенно заменяются новыми. Момент, когда количество новых и старых станков совпадает, определяется равенством u(t) = v(t). Будут ли при этом равны производные функций u(t) и v(t)?

Решение:

Т.к. станки старой конструкции заменяются новыми, то с течением времени количество новых станков увеличивается, а количество старых - уменьшается. Т.к. u(t) увеличивается, то.... Т.к. v(t) уменьшается, то....

Таким образом, производные в момент времени, когда количество новых и старых станков совпадает, равны не будут, поскольку будут иметь разные знаки.

№14.

Металлический полый шар с внутренним радиусом R изготовлен с погрешностью...?0,04%. На сколько при этом может измениться его внутренний объем?

Решение:

Объем шара вычисляется по формуле:.... Тогда:

№17.

При измерении прямоугольного участка найдено, что его длина равна 80 м, а ширина - 31 м. Ошибка при измерении длины не превышает 0,3 м, ширины - 0,1 м. Оценить абсолютную и относительную ошибку измерения площади.

Решение:

Площадь прямоугольника вычисляется по формуле:.... Рассматривая ее как функцию 2-х переменных, получим:

абсолютная ошибка:

м2.

относительная ошибка:

№20.

Расход S (в литрах) автомобилем горючего на 100 км пути зависит от скорости v (в км/час) по закону

Определить наиболее экономичную скорость.

Решение:

Для этого нужно найти минимальное значение для функции S на интервале [0;+?).

при..., ==>....

Таким образом, при скорости V=40 км/ч будет наиболее экономичный расход топлива, равный 12 л/100 км.

№23.

Около каменной стенки нужно сделать деревянный забор, чтобы огородить прямоугольный участок земли. Общая длина забора равна 8 м. Какова должна быть длина части забора, параллельной стенке, для того, чтобы забор охватил наибольшую площадь?

Решение:

Пусть x - длина части забора, параллельная стенке, тогда оставшаяся часть забора равна 8-x. Найдем площадь огороженного участка. Т.к. сторона забора, параллельная стенке, равна..., а перпендикулярная стенке -..., то площадь будет равна:

Требуется исследовать эту функцию на наибольшее значение при x?[0;?).

при..., ==>....

Таким образом, при длине части забора, параллельной стенке, равной 4 м, забором будет огорожена наибольшая площадь.

№26.

Требуется огородить забором прямоугольную площадку в 512 м2 и разделить ее на три части параллельно одной из сторон площадки. Какими следует выбрать размеры сторон площадки, чтобы на постройку заборов пошло наименьшее количество материала?

Решение:

Пусть сторона площадки, параллельно которой происходит деление, равна x, тогда другая сторона будет равна.... Определим количество материала, которое пойдет на постройку забора:

Исследуем эту функцию на наименьшее значение при x?[0;?).

не существует при....

при..., ==>..., ==>....

Таким образом, чтобы на постройку заборов пошло наименьшее количество материала, меньшая сторона должна быть равна 16 м, а большая -... м.

№29.

Площадь, занимаемая печатным текстом на странице книги 432 см2. Ширина полей вверху и внизу страницы - по 2 см, боковых полей - 1,5 см. Какими должны быть ширина и высота страницы, чтобы расход бумаги был минимальным?

Решение:

Пусть x - ширина текста, тогда... - его длина. При этом ширина страницы будет равна x+2?1,5=x+3, а длина -...+2?2=...+4. Соответственно, площадь страницы будет равна:

Требуется исследовать эту функцию на наименьшее значение при x?[0;?).

при..., ==>..., ==>....

Таким образом, при ширине страницы, равной 18+3=21 см, и при длине страницы, равной... см, расход бумаги будет минимальным.

№32.

На одном берегу реки шириною в 1 км находится электростанция, на другом берегу в d км вниз по течению фабрика. Стоимость прокладки 1 км кабеля по суше равна 9 млн. рублей, под водой - 15 млн. рублей. Найти наиболее экономный маршрут прокладки кабеля, если 1) d = 2 км, 2) d = 0,5 км.

Решение:

а) Пусть x - длина прокладки кабеля по суше, тогда длина прокладки кабеля под водой будет равна.... Определим общие затраты от прокладки кабеля:

Требуется исследовать эту функцию на наименьшее значение при x?[0;2].

при...

не подходит, т.к.... должно быть больше 0. Таким образом, имеем один корень.

Таким образом, самый экономный вариант прокладки кабеля будет при прокладке 1,25 км вдоль берега, а остальную часть протянуть под водой.

б) Пусть x - длина прокладки кабеля по суше, тогда длина прокладки кабеля под водой будет равна.... Определим общие затраты от прокладки кабеля:

Требуется исследовать эту функцию на наименьшее значение при x?[0;0,5].

при...

не подходит, т.к. x не может быть отрицательным.

не подходит, т.к.... должно быть больше 0.

Таким образом, для экономии средств следует весь кабель проложить под водой.

№35.

Определить оптимальный размер партии закупаемого через равные промежутки времени сырья, если годовая потребность в этом сырье 100 тонн, расходы сырья равномерны, годовые затраты на хранение 1 тонны сырья - 16 руб., затраты по закупке и доставке 1 партии сырья, не зависящие от количества сырья в партии, - 50 рублей. В течение года на складе в среднем хранится -... тонн сырья, где х - размер партии.

Решение:

Пусть x - количество тонн сырья в партии, тогда количество партий будет равно.... Определим суммарные затраты за год:

а) затраты на хранение

б) затраты по закупке и доставке 1 партии

Общие затраты:...

Требуется исследовать эту функцию на наименьшее значение при x?[0;100].

при..., ==>..., ==>....

Таким образом, для минимизации затрат следует покупать сырье партиями по 25 тонн.

№38.

Для удобства транспортировки малогабаритных упаковок существует правило, по которому тара, имеющая форму цилиндра, должна иметь сумму высоты и периметра основания цилиндра, не превышающую 170 см. Определить отношение высоты к периметру основания, при котором объем будет наибольшим.

Решение:

Пусть высота равна x, тогда периметр основания будет равен.... Определим объем цилиндра. Т.к. основание - это окружность, то ее радиус будет равен..., а площадь.... Соответственно, объем цилиндра будет равен:

Требуется исследовать эту функцию на наибольшее значение при x?[0;170].

при...

Таким образом, объем цилиндра будет наибольшим при высоте, равной... см. Тогда периметр основания будет равен..., а их отношение....

№41.

Одно судно, находящееся в данный момент к востоку от второго на расстоянии 100 км, идет на запад со скоростью 18 км/час. Второе судно идет к югу со скоростью 12 км/час. Определить, в какой момент судна будут наиболее близки друг к другу.

Решение:

Пусть t - время движения судов. Расстояние между ними будет равно:

Требуется исследовать эту функцию на наименьшее значение при t?[0;?).

при..., ==>...

Таким образом, через...3 часа 51 мин расстояние между судами будет минимальным.

№44.

Выбрать место между A1 и В1 (рис. 3) для постройки моста через реку так, чтобы длина пути между двумя данными пунктами А и В, расположенными по разные стороны реки, была наименьшей. Даны расстояния:.............

Решение:

Пусть A1D=x, тогда......, а.... Суммарная длина пути между A и B будет равна:

Требуется исследовать эту функцию на наименьшее значение при x?[0;с].

при...

Т.к...., то..., ==>..., поэтому корень удовлетворяет интервалу [0;с].

Сравним...:

==>...

Сравним...:

==>...

Таким образом, для минимизации расстояния между пунктами A и B точку D нужно выбрать на расстоянии... от точки A1.

№47.

Определить наименьшую высоту... двери вертикальной башни АВСD (рис. 6), чтобы через эту дверь в башню можно было внести жесткий стержень МN длины p, конец которого скользит вдоль горизонтальной прямой АВ. Ширина башни....

Решение:

Пусть AM=x, а OB=h. Т.к. треугольники AMN и BON подобны (по двум углам), то

По теореме Пифагора..., а..., поэтому

==>...

Требуется исследовать эту функцию на наибольшее значение при x?[0;p].

при...

Таким образом, минимальная высота двери, чтобы через эту дверь можно было внести стержень, должна быть равна....

№50.

Из углов квадратного листа картона размером 18 х 18 см2 нужно вырезать одинаковые квадраты так, чтобы, согнув лист по пунктирным линиям (рис. 7), получить коробку наибольшей вместимости. Какова должна быть сторона вырезаемого квадрата.

Решение:

Пусть сторона вырезаемого квадрата равна x, тогда сторона основания после сгибания листа будет равна 18-2x, а площадь основания - (18-2x)2. Соответственно, объем полученной коробки будет равен

Требуется исследовать эту функцию на наибольшее значение при x?[0;9].

при...

Таким образом, объем коробки будет наибольшим при стороне вырезаемого квадрата, равной 3 см.