Решение систем нелинейных уравнений методом Ньютона

  • ID: 72908 
  • 2 страницы

Фрагмент работы:

Решение систем нелинейных уравнений методом Ньютона

Решение систем нелинейных уравнений методом Ньютона

Рассмотрим систему n нелинейных уравнений с n неизвестными

или в векторной форме

f(x) = 0

здесь....

Основная идея метода Ньютона состоит в выделении из уравнений системы линейных частей, которые являются главными при малых приращениях аргументов. Это позволяет свести исходную задачу к решению последовательности линейных систем.

Пусть известно некоторое приближение x(k) корня x*. Тогда поправку... можно найти, решая систему

Для определения... разложим векторную функцию...в ряд по.... Сохранив только линейные по... части, получим

Здесь через... обозначена матрица производных....

Если..., то..., где... - матрица, обратная матрице производных.

Таким образом, последовательные приближения корня можно вычислять по формуле

Отсюда видно, что метод Ньютона решения системы состоит в построении итерационной последовательности:

Если..., то в достаточно малой окрестности корня x* итерационный процесс сходится, причём с квадратичной скоростью, т.е. если..., то.... Поэтому в качестве критерия окончания итерационного процесса можно использовать условие.... Если начальное приближение выбрано удачно, то метод Ньютона сходится очень быстро.