Несобственные интегралы первого рода. Несобственные интегралы второго рода

  • ID: 07026 
  • 27 страниц

Содержание:


Введение

Символ интеграла введен с 1675г., а вопросами интегрального исчисления занимаются с 1696г. Интеграл используется в таких науках как физика, геометрия, математика и других науках.

Цель моей работы рассмотреть несобственные интегралы, действий над ними и способы вычислений.

Реализация поставленной цели требует решения следующих задач:

* рассмотрение общетеоретических аспектов введения понятий несобственный интеграл

* показать практическую применимость рассматриваемых положений на конкретных примерах.

Предметом исследования является несобственный интеграл.

Данная тема выбрана мною с целью уточнить и углубить знания о несобственных интегралах, действий над ними и способами вычислений. Эта тема достаточно чёткая и богато насыщенная различного рода задачными ситуациями.

1. Несобственные интегралы первого рода

Определение 1. Предположим, что функция...задана на бесконечном промежутке вида... и интегрируема на любом конечном отрезке..., где.... Таким образом, мы можем рассмотреть функцию:

Если эта функция имеет предел..., то число... называется значением несобственного интеграла первого рода

а сам интеграл:... называется сходящимся (иными словами, интеграл... сходится).

Если же предела... не существует (например, если... при...), то интеграл... называется расходящимся (то есть расходится) и не имеет никакого числового значения.

Геометрически, в случае..., величина несобственного интеграла... означает, по определению, площадь бесконечно длинной области, лежащей в координатной плоскости между лучом... на оси..., графиком... и вертикальным отрезком... (см. рис.1).

Рис.1.

Сходящиеся интегралы соответствуют таким областям, площадь которых конечна (хотя сама область... неограничена), а расходящиеся (в случае...) неограниченным областям с бесконечной площадью. В случае, когда... при..., часто пишут формально:

однако нужно ясно понимать, что эта запись означает расходимость интеграла и отсутствие у него числового значения.

Само определение значения интеграла через предел интегралов по конечным, но увеличивающимся отрезкам означает исчерпание площади... путем учёта все большей её части...правый вертикальный отрезок, проведённый при..., отодвигается всё дальше и дальше в бесконечность; в пределе будет учтена вся площадь под графиком... (см. рис.2).

Рис.2.

Пример.1 Вычислим значение интеграла...

Согласно определению, нам нужно вычислить значение функции

а потом вычислить предел...

Итак

(напомним, что... ) и...

Получили, что интеграл сходится и его значение таково:

Заметим, что тем самым мы вычислили площадь бесконечно длинной области под графиком..., лежащей над положительной полуосью (см. рис.3).

Рис.3.

Поскольку рассматриваемая функция... - чётная, то её график симметричен относительно оси..., так что площадь под графиком левее оси... - точно такая же, как и площадь правее оси..., то есть тоже равна..., а площадь под всем графиком (над всей осью...) естественно считать равной...

Пример 2 Рассмотрим несобственный интеграл...

Проведём вычисления в том же порядке, как в предыдущем примере:

далее имеем:...

то есть... при.... Значит, несобственный интеграл... расходится и, следовательно, не имеет никакого числового значения.

Рис.4.

Геометрически это означает, что площадь под графиком..., лежащая от 1 до..., бесконечно велика (несмотря, заметим, на то, что функция... убывает и стремится к 0 при...; однако это стремление к 0 недостаточно быстрое для того, чтобы интеграл сходился). На рисунке 4 мы пометили это обстоятельство условной записью....

Аналогично случаю интегрирования по промежутку..., уходящему в..., рассматривается и случай, когда область интегрирования простирается в.... Дадим в этом случае такое определение:

Определение 2 Предположим, что функция... задана на бесконечном промежутке вида... и интегрируема на любом конечном отрезке..., где.... Таким образом, мы можем рассмотреть функцию

Если эта функция имеет предел...

то число... называется значением несобственного интеграла первого рода

а сам интеграл... называется сходящимся (то есть сходится). Если же предела... не существует, то интеграл... называется расходящимся (то есть расходится) и не имеет никакого числового значения.

Геометрически, в случае неотрицательной подынтегральной функции..., вычисление несобственного интеграла... означает нахождение площади бесконечно длинной области..., лежащей между осью... и графиком..., левее вертикальной линии.... Условие... означает, что мы исчерпываем всю площадь, отодвигая всё левее, "в минус бесконечность", линию..., временно ограничивающую рассматриваемую часть области справа (см. рис.5).

Рис.5.

В интегралах... и... знаки... и... называют несобственными концами промежутка интегрирования, или несобственными пределами интегрирования. Данные нами определения означают, что при вычислении несобственных интегралов первого рода нужно "обрезать" несобственный предел некоторым конечным значением (...или...), вычислить определённый интеграл по получившемуся конечному промежутку..., а затем устремить в бесконечность конечный предел... или....

Очевидно, что при изменении направления на оси..., то есть при замене..., интеграл... переходит в равный ему интеграл... и, соответственно, после перехода к пределу, несобственный интеграл... переходит в равный ему интеграл....

Таким образом, все свойства интегралов по промежутку... повторяют соответствующие свойства интегралов по промежутку....

Определение 3. Пусть функция... определена при всех... и интегрируема на любом отрезке.... Возьмём произвольное значение... (например...) и будем считать по определению несобственный интеграл... равным сумме двух несобственных интегралов по промежуткам... и..., то есть

Если при этом оба несобственных интеграла в правой части сходятся, то и интеграл... считается сходящимся, а если хотя бы один из них расходится (при этом неважно, сходится или расходится другой), то и интеграл... считается расходящимся (тогда он не имеет никакого числового значения).

Заметим, что в точности в соответствии с этим определением мы поступили выше, когда определяли площадь области, расположенной под всем графиком функции...; эта площадь оказалась равной числу....

Свойства несобственных интегралов первого рода

Теорема 1. Пусть фиксировано число... и функция... интегрируема на любом отрезке..., где.... Тогда если несобственный интеграл... сходится, то при любом... сходится интеграл.... Обратно, если при некотором...сходится интеграл..., то сходится и интеграл..., т.е

(1)

Из той же формулы (1) следует и второе утверждение теоремы. Действительно, по условию теоремы интеграл по конечному отрезку... существует, поскольку функция интегрируема, так что при любом...из формулы (1) получаем:

Отсюда переходом к пределу при...получаем, что

причём существование предела, задающего интеграл в левой части, следует из предположенной сходимости несобственного интеграла... в правой части.

Замечание. Данное свойство говорит о том, что свойство несобственного интеграла быть сходящимся - это свойство, связанное с поведением функции "на бесконечности": изменение значений функции на любом конечном отрезке... никак не сказывается на сходимости (или расходимости) интеграла..., а следовательно, и на факте сходимости (или, соответственно, расходимости) интеграла..., хотя такое изменение может, конечно, привести к изменению значения этого интеграла.

Теорема 2 (теоpема сpавнения). Пусть даны две функции... и..., заданные на..., причём при всех...выполняется неравенство...

Тогда из сходимости интеграла от большей функции..., следует сходимость интеграла от меньшей функции..., причём

а из расходимости интеграла от меньшей функции..., следует расходимость интеграла от большей функции...:

Геометрически данная теорема означает: оно означает, что если площадь под верхним графиком на следующем рисунке (она заштрихована), конечна, то конечна и имеет меньшее значение площадь под нижним графиком (она имеет двойную штриховку).

Рис. 6.

При помощи теорем можем в некоторых случаях исследовать сходимость интеграла, не вычисляя его значения. Для доказательства сходимости интеграла от функции... достаточно найти более простую функцию..., для которой интеграл... легко вычисляется и сходится. Согласно теореме, тогда исходный интеграл тоже сходится, причём мы получаем оценку его величины:.... Если же нам нужно доказать расходимость интеграла..., то достаточно найти такую (более просто устроенную) функцию..., что... и интеграл... расходится.

Приведём примеры, показывающие этот приём в действии и разъясняющие, как определять, что же для данного интеграла нужно доказывать: сходимость или расходимость.

Пример. 3 Покажем, что интеграл Эйлера - Пуассона... сходится.

Для сравнения выберем функцию..., неопределённый интеграл от которой легко считается:...

Очевидно, что обе функции... и..., положительны. Покажем, что при достаточно больших... имеет место неравенство.... Поскольку... - возрастающая функция переменного..., неравенство... эквивалентно неравенству между показателями степени:...

которое, как легко видеть, выполняется при всех.... Значит... при.... Однако интеграл от большей функции сходится:

Отсюда следует сходимость интеграла....

Для многих примеров при доказательстве сходимости или расходимости интеграла естественно сравнивать подынтегральную функцию с функцией вида.... Определим, при каких значениях показателя... интеграл... cходится.

Рассмотрим случай.... Тогда

поскольку при.......

Значит, при... интеграл сходится и имеет значение....

Рассмотрим случай....

Тогда...

поскольку...

(то есть предела не существует) и.... Значит, при... интеграл расходится.

Рассмотрим случай....

Тогда

поскольку при...

Значит, при... интеграл расходится.

Итак, интеграл сходится (и функция... определена и равна...) только при...; при... интеграл расходится.

Пример 4. Исследуем сходимость несобственного интеграла

При больших значениях... дробь... имеет почти такие же значения, как дробь.... Действительно, поделив числитель и знаменатель дроби... на..., получим

Дроби... и... при больших... принимают пренебрежимо малые значения, так что ведущую роль будет играть функция..., получающаяся при отбрасывании этих малых слагаемых в числителе и знаменателе.

Интеграл от функции... сходится: поскольку..., то получаем сходящийся интеграл...

При достаточно больших... обе функции... и..., принимают положительные значения и

Поэтому из сходимости интеграла от..., которую мы уже проверили, следует сходимость интеграла от... по промежутку....

На основании теоремы.1 сходится и исходный интеграл.

Пример 5 Исследуем сходимость несобственного интеграла

Наводящие соображения насчёт того, с какой функцией сравнивать подынтегральную функцию

таковы: при больших значениях... ведущую роль в знаменателе играет..., поскольку... при больших...; значит, если откинуть 1, получим функцию

Поскольку её показатель... больше 1, то интеграл

сходится. В то же время имеет место неравенство

поскольку, очевидно....

Итак, интеграл от большей функции... сходится, откуда следует сходимость исходного интеграла....

Пример 6 Исследуем сходимость несобственного интеграла

При больших...в числителе ведущую роль играет..., поскольку... и..., а в знаменателе ведущая роль принадлежит..., поскольку.... Поэтому при больших... подынтегральная функция

принимает почти такие же значения, что и функция

Интеграл от... расходится, поскольку показатель... меньше 1.

Теорема 3 Если интеграл... сходится, то сходится также интеграл..., причём имеет место неравенство

Определение 4 Если несобственный интеграл... сходится, то несобственный интеграл...называется абсолютно сходящимся. Если же несобственный интеграл... расходится, а несобственный интеграл... сходится, а несобственный интеграл... называется условно сходящимся.

Определение 5 Неотрицательная функция... называется мажорантой для функции... на множестве..., лежащем в области определения обеих функций, если... при всех......

Теорема 4. Пусть для функции..., интегрируемой на любом отрезке..., существует мажоранта... на..., причём несобственный интеграл... сходится. Тогда несобственный интеграл... тоже сходится, и....

Пример 7 Рассмотрим несобственный интеграл

Поскольку... при всех..., функция... служит мажорантой для... на.... Интеграл от этой мажоранты сходится и равен.... Значит, сходится и данный нам интеграл..., причём его значение не превосходит... по абсолютной величине:....

2. Несобственные интегралы второго рода

Пусть на полуинтервале... задана функция..., интегрируемая на любом отрезке..., где..., однако не интегрируемая на отрезке.... В точке... эта функция может быть вовсе не определена и стремиться к... при..., любо вовсе не иметь никакого предела при этой базе. Рассмотрим функцию..., она определена при.... Эта функция... может иметь предел при... (левосторонний предел). Этот предел мы будем называть значением интеграла от... по всему полуинтервалу... и обозначать в точности как обычный интеграл:

Определение 1 Пусть функция... удовлетворяет указанным выше условиям на.... Несобственным интегралом второго рода назовём тогда интеграл

значение... которого равняется левостороннему пределу

Если этот предел существует, то несобственный интеграл называется сходящимся, а если предела не существует, то расходящимся. Расходящемуся интегралу не приписывается никакого числового значения; в этом случае будем условно писать

Геометрически вычисление несобственного интеграла второго рода представляет собою (при...) исчерпание площади неограниченной фигуры под графиком функции... над... с помощью вычисления плошадей ограниченных фигур, получающихся над отрезком..., а затем приближением правого конца... к точке... (см. рис.1).

Рис.1.

Итак, площадь неограниченной фигуры, изображённой на рисунке, по определению равна значению несобственного интеграла -....

Пример 1 Найдём площадь... фигуры, расположенной под графиком функции -... над промежутком.... (Заметим, что функция... не определена при... и стремится к... при..., так что указанная фигура - неограниченная и площадь задаётся несобственным интегралом второго рода (см. рис.2):....

Рис.2.

Возьмём -... и вычислим обычный (собственный) определённый интеграл....

Имеем по теореме Ньютона - Лейбница:

Далее вычисляем предел:

Поскольку оказалось, что предел существует, то несобственный интеграл сходится, а искомая площадь равна его значению:....

Определение 2. Аналогично интегралу по полуинтервалу... от функции... с особенностью в точке..., определяется несобственный интеграл второго рода от функции..., имеющей особенность в точке... полуинтервала...:...

если существует предел....

В случае существования указанного предела интеграл называется сходящимся, а в случае, когда предел не существует, - расходящимся.

Пример 2 Рассмотрим интеграл....

Если..., то подынтегральная функция... стремится к... при..., так что получается несобственный интеграл второго рода.

Рассмотрим такие случаи:

1).... Тогда интеграл вычисляется так:

поскольку при... имеем... и....

2).... Тогда...

то есть интеграл расходится, поскольку... при....

3).... Тогда...

и интеграл снова расходится, поскольку... при..., если показатель....

Признаки сравнения

Для функций, определенных и положительных на промежутке..., справедливы признаки сравнения (сходимости), аналогичные признакам сравнения для несобственных интегралов с бесконечными пределами.

1?. (Признак сравнения). Пусть функция... и... определены на промежутке... и интегрируемы в каждом отрезке....... Если..., то из сходимости интеграла... следует сходимость интеграла..., причем............, из расходимости интеграла... вытекает расходимость интеграла....

2?. (Частный признак сравнения). Если функция...... определена и непрерывна на... и является бесконечно большой порядка... по сравнению с... при..., то интеграл... сходится при...