Вариант 3. Решить систему линейных алгебраических уравнений. матричным методом. методом Крамера

  • ID: 06672 
  • 11 страниц

Фрагмент работы:

Задача 1.

Решить систему линейных алгебраических уравнений: а) матричным методом, б) методом Крамера.

Решение:

а) найдем решение системы матричным методом.

Запишем систему алгебраических уравнений в матричном виде:

или...

Решение системы будем искать в виде:...

Обратную матрицу будем искать по формуле:...

Вычислим определитель системы

так как..., то система имеет единственное решение.

Составим союзную матрицу.... Вычислим алгебраические дополнения:

Союзная матрица...

Транспонируем союзную матрицу...

Тогда обратная матрица равна

Решение системы в матричной форме запишется так:

а) Найдем решение системы по правилу Крамера

Решения, найденные двумя способами совпадают.

Ответ:.........

Задача 2.

Даны вершины треугольника АВС. Составить уравнения: а) трех его сторон; б) медианы, проведенной из вершины С, в) высоты, опущенной из вершины А на сторону ВС.

Решение:

а) составим уравнение стороны АВ треугольника, как прямой проходящей через точки А и В:

Составим уравнение стороны АС треугольника, как прямой проходящей через точки А и С:

Составим уравнение стороны ВС треугольника, как прямой проходящей через точки С и В:

б) составим уравнение медианы, проведенной из вершины С.

Так как СМ - медиана, значит точка М делит сторону треугольника АВ пополам. Найдем координаты точки М по формулам деления отрезка пополам

Составим уравнение медианы СМ, как прямой проходящей через точки С и М:

в) составим уравнение высоты, опущенной из вершины А на сторону ВС

так как АН - высота, значит..., тогда направляющий вектор прямой ВС будет являться нормальным вектором для высоты АН.

Найдем координаты нормального вектора прямой АН:

Составим уравнение высоты АН, как прямой проходящей через точку А и нормальный вектор...:

Ответ: а) (АВ):..., (АС):..., (ВС):...

б) (СМ):...

в) (АН):...

Задача 3.

По заданным координатам вершин... куба...: а) найти координаты остальных вершин куба, б) найти уравнения всех ребер куба, в) найти уравнения всех граней куба.

Решение:

а) воспользуемся тем. Что по определению грани куба - квадраты. Выпишем равные вектора, т.е. коллинеарные одинаково направленные вектора, длины которых равны:

Используя данные равенства и то, что координаты равных векторов равны, найдем неизвестные вершины куба...

Пусть............

Найдем координаты точки... из равенства векторов...:

Найдем координаты точки... из равенства векторов...:

Найдем координаты точки... из равенства векторов...:

Найдем координаты точки... из равенства векторов...:

б) зная координаты всех вершин куба, запишем уравнения ребер куба, как уравнения прямых проходящих через две заданные точки:

:...

:...

:...

:...

:...

:...

:...

:...

:...

:...

:...

:...

в) зная координаты всех вершин куба, запишем уравнения граней куба, как плоскостей проходящих через три заданные точки:

запишем уравнение грани..., как уравнение плоскости..., проходящей через три точки......... и... по следующей формуле:

Аналогично составим уравнения всех остальных граней куба

Задача 4.

Провести полное исследование функции и построить ее график.

Решение:

1) функция определена на всей числовой оси, т.е...

2)...... функция общего вида

3) точки пересечения с осями координат

С осью...

С осью...

4) данная функция точек разрыва не имеет, следовательно, у данной функции вертикальных асимптот нет.

Найдем наклонную асимптоту в виде...

данная функция наклонную асимптоту не имеет.

5) Найдем точки экстремума и интервалы монотонности.

Найдем критические точки:

Результаты вычислений оформим в таблицу

+ 0 - 0 +

возрастает максимум

0

убывает минимум

-4

возрастает

6) найдем точки перегиба и интервалы вогнутости

Результаты вычислений оформим в таблицу

- 0 +

выпукл Перегиб

-2

вогнут

7) построим эскиз графика

Задача 5.

Вычислить определенный интеграл

Решение:

Вычислим неопределенный интеграл по правилу "Интегрирование по частям":...

Проверим, правильно ли найден неопределенный интеграл:

неопределенный интеграл найден верно

Вычислим определенный интеграл

Ответ:...

Задача 6.

Решить задачу Коши для дифференциального уравнения

Решение:

Составим характеристическое уравнение и найдем его корни:

Тогда общее решение однородного дифференциального уравнения запишется в виде:

Найдем производную от функции...:...

По условию задачи:.........

Получаем следующую систему с двумя неизвестными:

Искомое решение задачи Коши запишется в виде:...

Ответ:...

Задача 7.

В магазин поступило 30 холодильников, пять из них имеют заводской дефект. Случайным образом выбирается один холодильник. Какова вероятность того, что он будет без дефекта?

Решение:

Обозначим через событие А - выбор исправного холодильника.

Тогда по формуле классической вероятности:

где m - благоприятствующие для события А исходы, n - всевозможные исходы.

Ответ:...