Вариант 49. Показать, что система линейных уравнений имеет единственное решение, и найти его двумя способами

  • ID: 05729 
  • 17 страниц

Содержание:


Задача 1

Показать, что система линейных уравнений имеет единственное решение, и найти его двумя способами:

а) по правилу Крамера б) матричным способом

Решение: Вычислим определитель системы

так как..., то система имеет единственное решение.

а) Найдем решение системы по правилу Крамера

б) решим систему матричным способом.

Вычислим алгебраические дополнения:

Тогда обратная матрица равна

Решение системы в матричной форме запишется так:

Решения, найденные двумя способами совпадают.

Ответ:.........

Задача 12

Пользуясь методом Гаусса, найти общее решение системы линейных уравнений, а также два частных ее решения, одно из которых базисное.

Решение: Выпишем расширенную матрицу системы:

Найдем решение методом Гаусса:

Возьмем за базисные неизвестные... и..., за свободную.... Выразим базисные неизвестные через свободную.

Найдем частное решение СЛАУ:...

Базисное решение имеет вид:...

Ответ: общее решение СЛАУ...

частное решение СЛАУ:...

Базисное решение имеет вид:...

Задача 25

Решить графически задачу линейного программирования.

Решение: Найдем решение задачи линейно программирования графическим способом. Построим область допустимых решений (рис.1.). Для этого построим прямые ограничений, для чего вычислим координаты точек пересечения этих прямых с осями координат.

=...

=...

=...

Построим вектор С = (1, 2) и целевую функцию по уравнению:

=...

На рис. 1 видно, что оптимальное решение соответствует точке В, лежащей на пересечении прямых (1) и (2). Поэтому ее координаты находятся как решение системы линейных уравнений, задающих эти прямые:

При этом значение целевой функции

Рис. 1. Графическое решение задачи.

Ответ:...

Задача 37

На трех базах.........имеется груз в количестве 270, 300, 230 единиц. Этот груз нужно перевезти в пять...............пунктов в количестве 170, 110, 200, 140, 180 единиц соответственно. Затраты на перевозку груза между пунктами поставок и потребления заданы матрицей тарифов...:

Спланировать перевозки так, чтобы их общая стоимость была минимальной.

Решение:

Проверим, является ли данная транспортная задача закрытой:

и...

Следовательно, данная транспортная задача закрытая. Найдем исходное решение по методу минимального тарифа.

Склады потребители запасы

25 70 12 200 7 18 10 270

+ -

35 40 13 12 80 15 180 3 300

- +

170 30 16 11 60 25 16 230

+ -

потребление 170 110 200 140 180 800

Число занятых клеток в таблице равно..., в нашем примере заполненных клеток оказалось 6, то есть условие невырожденности не выполнено. Поместим нулевую поставку в клетку (1, 2). Полученное исходное решение запишем в виде матрицы

Стоимость перевозки при исходном решении составляет:

Проверим найденное решение на оптимальность.

Вычислим потенциалы... и....

Пусть..., тогда находим остальные потенциалы, получаем:

1...11

19...12...7...14...2

Проверим условия оптимальности для незаполненных клеток:

=...

=...

=...

Условия оптимальности не выполнены для клеток (3,2) и (3,3). Следовательно, построенный план не оптимален.

Выполним перераспределение груза (перераспределение показано стрелочками). Получим новый опорный план.

Склады потребители запасы

25 110 12 160 7 18 10 270

- +

35 13 12 120 15 180 3 300

170 30 16 40 11 20 25 16 230

+ -

потребление 170 110 200 140 180 800

Стоимость перевозки составляет:

Проверим найденное решение на оптимальность.

Вычислим потенциалы... и....

Пусть..., тогда находим остальные потенциалы, получаем:

- 6...4

26...12...7...21...9

Проверим условия оптимальности для незаполненных клеток:

=...

=...

=...

Условия оптимальности не выполнены для клеток (1,1) и (1,4). Следовательно, построенный план не оптимален.

Выполним перераспределение груза (перераспределение показано стрелочками). Получим новый опорный план.

Склады потребители запасы

25 110 12 140 7 20 18 10 270

+ -

35 13 12 120 15 180 3 300

170 30 16 60 11 25 16 230

- +

потребление 170 110 200 140 180 800

Стоимость перевозки составляет:

Проверим найденное решение на оптимальность.

Вычислим потенциалы... и....

Пусть..., тогда находим остальные потенциалы, получаем:

-3...4

26...12...7...18...6

Проверим условия оптимальности для незаполненных клеток:

=...

=...

=...

Условия оптимальности не выполнено для клетки (1,1). Следовательно, построенный план не оптимален.

Выполним перераспределение груза (перераспределение показано стрелочками). Получим новый опорный план.

Склады потребители запасы

140 25 110 12 7 20 18 10 270

+ -

35 13 12 120 15 180 3 300

30 30 16 200 11 25 16 230

- +

потребление 170 110 200 140 180 800

Проверим найденное решение на оптимальность.

Вычислим потенциалы... и....

Пусть..., тогда находим остальные потенциалы, получаем:

-3...5

25...12...6...18...6

Проверим условия оптимальности для незаполненных клеток:

=...

=...

=...

Условия оптимальности не выполнено для клетки (3,2). Следовательно, построенный план не оптимален.

Выполним перераспределение груза (перераспределение показано стрелочками). Получим новый опорный план.

Склады потребители запасы

170 25 80 12 7 20 18 10 270

35 13 12 120 15 180 3 300

30 30 16 200 11 25 16 230

потребление 170 110 200 140 180 800

Стоимость перевозки составляет:

Проверим найденное решение на оптимальность.

Вычислим потенциалы... и....

Пусть..., тогда находим остальные потенциалы, получаем:

-3...4

25...12...7...18...6

Проверим условия оптимальности для незаполненных клеток:

=...

=...

=...

Условия оптимальности выполнены для всех клеток. Следовательно, построенный план оптимален.

Ответ:......

Задача 41

Составить экономико-математическую модель. Найти решение задачи линейного программирования при помощи средств Excel на ПК.

Трикотажная фабрика использует для производства свитеров и кофточек, жилетов и шапочек чистую шерсть, силон, нитрон, запасы которых составляют соответственно 1000, 500 и 400 кг. Количество пряжи каждого вида, необходимой для изготовления 10 изделий, а также прибыль, получаемая от их реализации, приведены в таблице. установить план выпуска изделий, максимизирующий прибыль.

Вид сырья Затраты пряжи на 10 шт. изделий, кг.

свитера кофточки жилеты шапочки

Шерсть 4 2 3 1

Силон 2 1 1,5 0,5

Нитрон 1 1 0,5 0,5

прибыль 6 5 5 1

Решение:

Введем следующие обозначения:

x1 - количество изготовленных свитеров

x2 - количество изготовленных кофточек

x3 - количество изготовленных жилетов

x4 - количество изготовленных шапочек

Используя данные таблицы, определим необходимое количество каждого вида изделия х = (х1, х2, х3, х4):

Расход материалов для изделий:

шерсти = 4х1 + 2х2+3х3 + х4

силона = 2х1 + х2+1,5х3 + 0,5х4

нитрона = х1 + х2+0,5х3 +0,54

Так как количество сырья не должно превышать его запасов, то имеем следующие ограничения

4х1 + 2х2+3х3 + х4? 1000

2х1 + х2+1,5х3 + 0,5х4? 500

х1 + х2+0,5х3 +0,54? 400

Кроме того также должны выполняться условия неотрицательности переменных х1, х2, x3, x4, т.е. х1 ? 0, х2 ? 0, x3? 0, x4? 0.

Целевая функция модели должна выражать основную цель деятельности предприятия: получение наибольшей прибыли.

Если обозначить функцию прибыли через Z, то:

Z = 6х1 + 5х2+5х3 + х4

а основная цель может быть выражена так:

максимизировать целевую функцию Z =6х1 + 5х2+5х3 + х4

Таким образом, математическая модель максимизации прибыли может быть записана в следующем виде.

Найти неизвестные значения переменных х1, х2, x3, x4, удовлетворяющие ограничениям

4х1 + 2х2+3х3 + х4? 1000

2х1 + х2+1,5х3 + 0,5х4? 500

х1 + х2+0,5х3 +0,54? 400

х1 ? 0, х2 ? 0, x3? 0, x4? 0.

и доставляющие максимальное значение целевой функции

Z = 6х1 + 5х2+5х3 + х4? max.

Решим эту задачу с помощью Excel. Введем следующую таблицу, составленную из коэффициентов задачи (таблица 1).

В итоге получаем количество изделий : свитеров -..., кофточек -..., жилетов -..., шапочек -.... При этом прибыль составляет:....

Таблица 1. решение задачи с помощью Microsoft Excel.

Ответ:................

Список литературы