Вариант 37. Пользуясь методом Гаусса, найти общее решение системы линейных уравнений, а также два частных ее решения, одно из которых базисное

  • ID: 05235 
  • 10 страниц

Фрагмент работы:

Задача 3.

Показать, что система линейных уравнений имеет единственное решение, и найти его двумя способами:

а) по правилу Крамера

б) матричным способом

Решение:

Вычислим определитель системы

так как..., то система имеет единственное решение.

а) Найдем решение системы по правилу Крамера

б) решим систему матричным способом.

Вычислим алгебраические дополнения:

Тогда обратная матрица равна

Решение системы в матричной форме запишется так:

Решения, найденные двумя способами совпадают.

Ответ:.........

Задача 20.

Пользуясь методом Гаусса, найти общее решение системы линейных уравнений, а также два частных ее решения, одно из которых базисное.

Решение:

Выпишем расширенную матрицу системы:

Умножим первую строку матрицы В на 3, прибавим ее ко второй и третьей.

Умножим первую строку матрицы В на 4, вычитаем ее из первой

Получим следующую матрицу:

Вычтем из четвертой строки третью, получаем:

Разделим третью строку на - 3, получаем

Вычтем из третьей строки вторую

Последней матрице соответствует следующая система уравнений

В данном примере выберем за базисные переменные -...и..., за свободную переменную.... Выразим базисные неизвестные через свободную, получим общее решение системы уравнений:

Найдем частное решение СЛАУ:...

Базисное решение имеет вид:...

Ответ: общее решение СЛАУ...

частное решение СЛАУ:..., базисное решение СЛАУ:... Задача 28.

Решить графически задачу линейного программирования.

Решение:

Найдем решение задачи линейно программирования графическим способом. Построим область допустимых решений (рис.1.). Для этого построим прямые ограничений, для чего вычислим координаты точек пересечения этих прямых с осями координат.

=...

=...

=...

Построим вектор С = (3, 1) и целевую функцию по уравнению:

=...

На рис. 1 видно, что оптимальное решение соответствует точке В, лежащей на пересечении прямых (1) и (2). Найдем координаты точки В:

При этом значение целевой функции

Рис. 1. Графическое решение задачи.

Ответ:...

Задача 35.

На трех базах......... имеется груз в количестве 300, 400, 300 единиц. Этот груз нужно перевезти в пять...............пунктов в количестве 170, 230, 220, 180, 200 единиц соответственно. Затраты на перевозку груза между пунктами поставок и потребления заданы матрицей тарифов.... Спланировать перевозки так, чтобы их общая стоимость была минимальной.

Решение:

Проверим, является ли данная транспортная задача закрытой:

и.........

Следовательно, данная транспортная задача закрытая. Найдем исходное решение по методу минимального тарифа

Склады потребители запасы

15 100 13 19 17 200 8 300

+ -

170 7 50 10 15 180 6 14 400

- +

24 80 20 220 19 18 16 300

потребление 170 230 220 180 200 1000

Число занятых клеток в таблице равно..., то есть условие невырожденности выполнено. Полученное исходное решение запишем в виде матрицы

Стоимость перевозки при исходном решении составляет:

Проверим найденное решение на оптимальность. Вычислим потенциалы... и....

13...8

7...10...6

20...19

Пусть..., тогда находим остальные потенциалы, получаем:

-3...7

10...13...12...9...8

Проверим условия оптимальности для незаполненных клеток:

=...

=...

=...

Условия оптимальности выполнены для всех клеток. Следовательно, построенный план оптимален.

Ответ:......

Задача 43.

Составить экономико-математическую модель. Найти решение задачи линейного программирования при помощи средств Excel на ПК.

На предприятии освоены четыре технологии производства основной продукции. В таблице указаны запасы потребляемых ресурсов, затраты их в течение месяца и объемы выпуска готовой продукции. Установить такое время работы предприятия по каждой технологии, при котором выпуск продукции будет максимальным, а расход ресурсов не превысит их наличия.

ресурсы Запасы ресурсов Расход ресурсов при технологии

1 2 3 4

Р1 20 2 2 1 5

Р2 16 4 1 4 1

Р3 22 2 3 1 2

Объем выпуска продукции 6 3 4 5

Решение:

Введем следующие обозначения:

x1 - первая технология

x2 - вторая технология

x3 -третья технология

x4 -четвертая технология

Используя данные таблицы, определим необходимое количество каждого вида технологий при работе предприятия по каждой технологии х = (х1, х2, х3, х4):

Р1 = 2х1 + 2х2+х3 + 5х4

Р2 = 4х1 + х2+4х3 +х4

Р3 =2х1 + 3х2+х3 +2х4

Так как работа предприятия не должна превышать объема ресурсов, то имеем следующие ограничения

2х1 + 2х2+х3 + 5х4?2

4х1 + х2+4х3 +х4?4

2х1 + 3х2+х3 +2х4?2

Кроме того также должны выполняться условия неотрицательности переменных х1, х2, x3, x4, т.е. х1 ? 0, х2 ? 0, x3? 0, x4? 0.

Целевая функция модели должна выражать основную цель деятельности предприятия: время работы предприятия по каждой технологии, обеспечивающее предприятию максимальную прибыль.

Если обозначить функцию прибыли через Z, то:

Z = 6х1 +3х2+4х3 + 5х4

а основная цель может быть выражена так: максимизировать целевую функцию

Z = 6х1 +3х2+4х3 + 5х4

Таким образом, математическая модель максимизации прибыли предприятия может быть записана в следующем виде.

Найти неизвестные значения переменных х1, х2, x3, x4, удовлетворяющие ограничениям

2х1 + 2х2+х3 + 5х4?2

4х1 + х2+4х3 +х4?4

2х1 + 3х2+х3 +2х4?2

х1 ? 0, х2 ? 0, x3? 0, x4? 0.

и доставляющие максимальное значение целевой функции

Z = 6х1 +3х2+4х3 + 5х4? max.

Решим эту задачу с помощью Excel. Введем следующую таблицу, составленную из коэффициентов задачи (таблица 1).

В итоге получаем следующее время работы предприятия по каждой технологии: 1 технология -..., 2 технология -..., 3 технология -..., 4 технология -.... При этом прибыль составит:...ден.ед.

Ответ:...............ден.ед.