Шифр 69. На трех базах имеется груз в количестве 240, 400, 360 единиц

  • ID: 04802 
  • 12 страниц

Фрагмент работы:

Задача 1.

Показать, что система линейных уравнений имеет единственное решение, и найти его двумя способами:

а) по правилу Крамера

б) матричным способом

Решение:

Вычислим определитель системы

так как..., то система имеет единственное решение.

а) Найдем решение системы по правилу Крамера

б) решим систему матричным способом.

Вычислим алгебраические дополнения:

Тогда обратная матрица равна

Решение системы в матричной форме запишется так:

Решения, найденные двумя способами совпадают.

Ответ:.........

Задача 14.

Пользуясь методом Гаусса, найти общее решение системы линейных уравнений, а также два частных ее решения, одно из которых базисное.

Решение:

Выпишем расширенную матрицу системы:

Умножим первую строку матрицы В на 3, прибавим ее ко второй. Умножим первую строку матрицы В на 4 и отнимем ее от третьей. Умножим первую строку матрицы В на 2, отнимем ее от четвертой. Получим следующую матрицу:

Разделим третью строку на -3 и четвертую на 4, получаем

Отнимем вторую строку от третьей и четвертой строк.

Последней матрице соответствует следующая система уравнений

В данном примере выберем за базисные переменные -...и..., за свободную переменную.... Выразим базисные неизвестные через свободную, получим общее решение системы уравнений:

Найдем частное решение СЛАУ:...

Базисное решение имеет вид:...

Ответ: общее решение СЛАУ...

частное решение СЛАУ:...

базисное решение СЛАУ:...

Задача 23.

Решить графически задачу линейного программирования.

Решение:

Найдем решение задачи линейно программирования графическим способом. Построим область допустимых решений (рис.1.). Для этого построим прямые ограничений, для чего вычислим координаты точек пересечения этих прямых с осями координат.

=...

=...

=...

=...

Построим вектор...= (4, 1) и целевую функцию по уравнению: 4x1 + x2 = 4

На рис. 1 видно, что оптимальное решение соответствует точке С, лежащей на пересечении прямых (2) и (3). Поэтому ее координаты находятся как решение системы линейных уравнений, задающих эти прямые:

При этом значение целевой функции

Рис. 1. Графическое решение задачи.

Ответ:...

Задача 36.

На трех базах......... имеется груз в количестве 240, 400, 360 единиц. Этот груз нужно перевезти в пять...............пунктов в количестве 300, 160, 220, 180, 140 единиц соответственно. Затраты на перевозку груза между пунктами поставок и потребления заданы матрицей тарифов...:

Спланировать перевозки так, чтобы их общая стоимость была минимальной.

Решение: Проверим, является ли данная транспортная задача закрытой:

и.........

Следовательно, данная транспортная задача закрытая. Найдем исходное решение по методу минимального тарифа.

Склады потребители запасы

240 9 15 35 20 8 240

- +

15 35 80 12 180 10 140 6 400

+ -

60 16 160 19 140 36 15 24 360

+ -

потребление 300 160 220 180 140 1000

Число занятых клеток в таблице равно..., то есть условие невырожденности выполнено. Полученное исходное решение запишем в виде матрицы

Стоимость перевозки при исходном решении составляет:

Проверим найденное решение на оптимальность.

Вычислим потенциалы... и....

Пусть..., тогда находим остальные потенциалы, получаем:

-17...7

9...12...29...27...23

Проверим условия оптимальности для незаполненных клеток:

=...

=...

=...

=...

Условия оптимальности не выполнены для клеток (1,4 ), (1,5), (3,4), (3,5). Следовательно, построенный план не оптимален.

Выполним перераспределение груза (перераспределение показано стрелочками). Получим новый опорный план.

Склады потребители запасы

100 9 15 35 20 140 8 240

+ -

15 35 220 12 180 10 6 400

- +

200 16 160 19 36 0 15 24 360

- +

потребление 300 160 220 180 140 1000

Стоимость перевозки при полученном решении составляет:

Проверим найденное решение на оптимальность, добавив нулевую поставку в клетку (3,4)

Вычислим потенциалы... и....

Пусть..., тогда находим остальные потенциалы, получаем:

2...7

9...12...10...8...8

Проверим условия оптимальности для незаполненных клеток:

=...

=...

=...

Условия оптимальности не выполнено для клетки (2, 5). Следовательно, построенный план не оптимален.

Выполним перераспределение груза (перераспределение показано стрелочками). Получим новый опорный план.

Склады потребители запасы

240 9 15 35 20 8 240

15 35 220 12 40 10 140 6 400

60 16 160 19 36 140 15 24 360

потребление 300 160 220 180 140 1000

Стоимость перевозки при полученном решении составляет:

Проверим найденное решение на оптимальность.

Вычислим потенциалы... и....

Пусть..., тогда находим остальные потенциалы, получаем:

2...7

9...12...10...8...4

Проверим условия оптимальности для незаполненных клеток:

=...

=...

=...

=...

Условия оптимальности выполнены для всех клеток. Следовательно, построенный план оптимален.

Ответ:......

Задача 41.

Составить экономико-математическую модель. Найти решение задачи линейного программирования при помощи средств Excel на ПК.

Трикотажная фабрика использует для производства свитеров и кофточек, жилетов и шапочек чистую шерсть, силон, нитрон, запасы которых составляют соответственно 1000, 500 и 400 кг. Количество пряжи каждого вида, необходимой для изготовления 10 изделий, а также прибыль, получаемая от их реализации, приведены в таблице. установить план выпуска изделий, максимизирующий прибыль.

Вид сырья Затраты пряжи на 10 шт. изделий, кг.

свитера кофточки жилеты шапочки

Шерсть 4 2 3 1

Силон 2 1 1,5 0,5

Нитрон 1 1 0,5 0,5

прибыль 6 5 5 1

Решение:

Введем следующие обозначения:

x1 - количество изготовленных свитеров

x2 - количество изготовленных кофточек

x3 - количество изготовленных жилетов

x4 - количество изготовленных шапочек

Используя данные таблицы, определим необходимое количество каждого вида изделия х = (х1, х2, х3, х4):

Расход материалов для изделий:

шерсти = 4х1 + 2х2+3х3 + х4

силона = 2х1 + х2+1,5х3 + 0,5х4

нитрона = х1 + х2+0,5х3 +0,54

Так как количество сырья не должно превышать его запасов, то имеем следующие ограничения

4х1 + 2х2+3х3 + х4? 1000

2х1 + х2+1,5х3 + 0,5х4? 500

х1 + х2+0,5х3 +0,54? 400

Кроме того также должны выполняться условия неотрицательности переменных х1, х2, x3, x4, т.е. х1 ? 0, х2 ? 0, x3? 0, x4? 0.

Целевая функция модели должна выражать основную цель деятельности предприятия: получение наибольшей прибыли.

Если обозначить функцию прибыли через Z, то:

Z = 6х1 + 5х2+5х3 + х4

а основная цель может быть выражена так:

максимизировать целевую функцию Z =6х1 + 5х2+5х3 + х4

Таким образом, математическая модель максимизации прибыли может быть записана в следующем виде.

Найти неизвестные значения переменных х1, х2, x3, x4, удовлетворяющие ограничениям

4х1 + 2х2+3х3 + х4? 1000

2х1 + х2+1,5х3 + 0,5х4? 500

х1 + х2+0,5х3 +0,54? 400

х1 ? 0, х2 ? 0, x3? 0, x4? 0.

и доставляющие максимальное значение целевой функции

Z = 6х1 + 5х2+5х3 + х4? max.

Решим эту задачу с помощью Excel. Введем следующую таблицу, составленную из коэффициентов задачи (таблица 1).

В итоге получаем количество изделий : свитеров -..., кофточек -..., жилетов -..., шапочек -.... При этом прибыль составляет:....

Таблица 1. решение задачи с помощью Microsoft Excel.

Ответ:................