Задания 3, 19, 28, 31, 43. Показать, что система линейных уравнений имеет единственное решение, и найти его двумя способами

  • ID: 04749 
  • 10 страниц

Фрагмент работы:

Задача 3.

[image]

Решение:

Вычислим определитель системы

[image]

так как [image], то система имеет единственное решение.

) Найдем решение системы по правилу Крамера

[image]

[image]

[image]

[image] [image] [image]

) решим систему матричным способом.

Вычислим алгебраические дополнения:

[image] [image]

[image] [image]

[image] [image]

[image] [image]

[image]

Тогда обратная матрица равна

[image]

Решение системы в матричной форме запишется так:

[image]

Решения, найденные двумя способами совпадают.

Ответ: [image] [image] [image]

Задача 19.

[image]

Решение: Выпишем расширенную матрицу системы:

[image]

Умножим первую строку матрицы на 5, прибавим ее ко второй, вычтем ее из четвертой и третьей строк. Получим следующую матрицу:

[image]

Разделим вторую строку на 3, третью на -15 и четвертую на 3, получаем

[image]

Вычтем из третьей и четвертой строк вторую

[image]

Последней матрице соответствует следующая система уравнений

[image]

В данном примере выберем за базисные переменные – [image]и [image], за свободную переменную [image]. Выразим базисные неизвестные через свободную, получим общее решение системы уравнений:

[image]

Найдем частное решение СЛАУ:[image]

Базисное решение имеет вид: [image]

Ответ: общее решение СЛАУ [image]

частное решение СЛАУ:[image], базисное решение СЛАУ: [image]

Задача 28.

[image]

[image]

Решение:

Найдем решение задачи линейно программирования графическим способом. Построим область допустимых решений (рис.1.). Для этого построим прямые ограничений, для чего вычислим координаты точек пересечения этих прямых с осями координат.

(1) 21 - 2 = 2 [image]

(2) 1 + 2 = 4 [image]

(3) 1 + 32 = 3 [image]

Построим вектор = (3, 1) и целевую функцию по уравнению: