Задания 3, 19, 28, 31, 43. Показать, что система линейных уравнений имеет единственное решение, и найти его двумя способами

  • ID: 04749 
  • 10 страниц

Фрагмент работы:

Задания 3, 19, 28, 31, 43. Показать, что система линейных уравнени…

Задача 3.

Показать, что система линейных уравнений имеет единственное решение, и найти его двумя способами:

а) по правилу Крамера

б) матричным способом

Решение:

Вычислим определитель системы

так как..., то система имеет единственное решение.

а) Найдем решение системы по правилу Крамера

б) решим систему матричным способом.

Вычислим алгебраические дополнения:

Тогда обратная матрица равна

Решение системы в матричной форме запишется так:

Решения, найденные двумя способами совпадают.

Ответ:.........

Задача 19.

Пользуясь методом Гаусса, найти общее решение системы линейных уравнений, а также два частных ее решения, одно из которых базисное.

Решение: Выпишем расширенную матрицу системы:

Умножим первую строку матрицы В на 5, прибавим ее ко второй, вычтем ее из четвертой и третьей строк. Получим следующую матрицу:

Разделим вторую строку на 3, третью на -15 и четвертую на 3, получаем

Вычтем из третьей и четвертой строк вторую

Последней матрице соответствует следующая система уравнений

В данном примере выберем за базисные переменные -...и..., за свободную переменную.... Выразим базисные неизвестные через свободную, получим общее решение системы уравнений:

Найдем частное решение СЛАУ:...

Базисное решение имеет вид:...

Ответ: общее решение СЛАУ...

частное решение СЛАУ:..., базисное решение СЛАУ:...

Задача 28.

Решить графически задачу линейного программирования.

Решение:

Найдем решение задачи линейно программирования графическим способом. Построим область допустимых решений (рис.1.). Для этого построим прямые ограничений, для чего вычислим координаты точек пересечения этих прямых с осями координат.

=...

=...

=...

Построим вектор С = (3, 1) и целевую функцию по уравнению:

=...

На рис. 1 видно, что оптимальное решение соответствует точке В, лежащей на пересечении прямых (1) и (2). Найдем координаты точки В:

При этом значение целевой функции

Рис. 1. Графическое решение задачи.

Ответ:...

Задача 31.

Проверим, является ли данная транспортная задача закрытой:

и.........

Следовательно, данная транспортная задача закрытая. Найдем исходное решение по методу минимального тарифа.

Склады потребители запасы

135 12 0 8 22 115 10 15 250

+ -

16 120 4 80 15 13 21 200

45 19 18 26 16 105 20 150

- +

потребление 180 120 80 115 105 600

Число занятых клеток в таблице равно..., в нашем примере заполненных клеток оказалось 6, то есть условие невырожденности не выполнено. Поместим нулевую поставку в клетку (1, 2). Полученное исходное решение запишем в виде матрицы

Стоимость перевозки при исходном решении составляет:

Проверим найденное решение на оптимальность. Добавим в распределительную таблицу столбец...и строку.... Полагая..., найдем остальные... и....

1 2 3 4 я...

180 120 80 115 105

1 250 135 12 0 8 22 115 10 15 0

+ -

2 200 16 120 4 80 15 13 21 -4

3 150 45 19 18 26 16 105 20 7

- +

12 8 19 10 13

Вычислим оценки свободных клеток:

Получили оценку..., следовательно, исходное решение не является оптимальным и его можно улучшить.

Выполним перераспределение груза (перераспределение показано стрелочками). Получим новый опорный план.

1 2 3 4 5...

180 120 80 115 105

1 250 180 12 0 8 22 70 10 15 0

2 200 16 120 4 80 15 13 21 -4

3 150 19 18 26 45 16 105 20 6

12 8 19 10 14

Стоимость перевозки составляет:

Проверим найденное решение на оптимальность.

Проверим условия оптимальности для незаполненных клеток:

Условия оптимальности выполнены для всех клеток. Следовательно, построенный план оптимален.

Ответ:......

Задача 43.

Составить экономико-математическую модель. Найти решение задачи линейного программирования при помощи средств Excel на ПК.

На предприятии освоены четыре технологии производства основной продукции. В таблице указаны запасы потребляемых ресурсов, затраты их в течение месяца и объемы выпуска готовой продукции. Установить такое время работы предприятия по каждой технологии, при котором выпуск продукции будет максимальным, а расход ресурсов не превысит их наличия.

ресурсы Запасы ресурсов Расход ресурсов при технологии

1 2 3 4

Р1 20 2 2 1 5

Р2 16 4 1 4 1

Р3 22 2 3 1 2

Объем выпуска продукции 6 3 4 5

Решение:

Введем следующие обозначения:

x1 - первая технология

x2 - вторая технология

x3 -третья технология

x4 -четвертая технология

Используя данные таблицы, определим необходимое количество каждого вида технологий при работе предприятия по каждой технологии х = (х1, х2, х3, х4):

Р1 = 2х1 + 2х2+х3 + 5х4

Р2 = 4х1 + х2+4х3 +х4

Р3 =2х1 + 3х2+х3 +2х4

Так как работа предприятия не должна превышать объема ресурсов, то имеем следующие ограничения

2х1 + 2х2+х3 + 5х4?2

4х1 + х2+4х3 +х4?4

2х1 + 3х2+х3 +2х4?2

Кроме того также должны выполняться условия неотрицательности переменных х1, х2, x3, x4, т.е. х1 ? 0, х2 ? 0, x3? 0, x4? 0.

Целевая функция модели должна выражать основную цель деятельности предприятия: время работы предприятия по каждой технологии, обеспечивающее предприятию максимальную прибыль.

Если обозначить функцию прибыли через Z, то:

Z = 6х1 +3х2+4х3 + 5х4

а основная цель может быть выражена так: максимизировать целевую функцию

Z = 6х1 +3х2+4х3 + 5х4

Таким образом, математическая модель максимизации прибыли предприятия может быть записана в следующем виде.

Найти неизвестные значения переменных х1, х2, x3, x4, удовлетворяющие ограничениям

2х1 + 2х2+х3 + 5х4?2

4х1 + х2+4х3 +х4?4

2х1 + 3х2+х3 +2х4?2

х1 ? 0, х2 ? 0, x3? 0, x4? 0.

и доставляющие максимальное значение целевой функции

Z = 6х1 +3х2+4х3 + 5х4? max.

Решим эту задачу с помощью Excel. Введем следующую таблицу, составленную из коэффициентов задачи (таблица 1).

В итоге получаем следующее время работы предприятия по каждой технологии: 1 технология -..., 2 технология -..., 3 технология -..., 4 технология -.... При этом прибыль составит:...ден.ед.

Ответ:...............ден.ед.