Вариант 17.Пользуясь методом Гаусса, найти общее решение системы линейных уравнений, а также два частных ее решения, одно из которых базисное

  • ID: 04739 
  • 12 страниц

Фрагмент работы:

Задача 8.

Показать, что система линейных уравнений имеет единственное решение, и найти его двумя способами:

а) по правилу Крамера

б) матричным способом

Решение:

Вычислим определитель системы

так как..., то система имеет единственное решение.

а) Найдем решение системы по правилу Крамера

б) решим систему матричным способом.

Вычислим алгебраические дополнения:

Тогда обратная матрица равна

Решение системы в матричной форме запишется так:

Решения, найденные двумя способами совпадают.

Ответ:.........

Задача 18.

Пользуясь методом Гаусса, найти общее решение системы линейных уравнений, а также два частных ее решения, одно из которых базисное.

Решение:

Выпишем расширенную матрицу системы:

С помощью элементарных преобразований приведем расширенную матрицу В к треугольному виду.

~

Последней матрице соответствует следующая система уравнений

В данном примере выберем за базисные переменные -...и..., за свободную переменную.... Выразим базисные неизвестные через свободную, получим общее решение системы уравнений:

Найдем частное решение СЛАУ:...

Базисное решение имеет вид:...

Ответ: общее решение СЛАУ...

частное решение СЛАУ:..., базисное решение СЛАУ:...

Задача 23.

Решить графически задачу линейного программирования.

Решение:

Найдем решение задачи линейно программирования графическим способом. Построим область допустимых решений (рис.1.). Для этого построим прямые ограничений, для чего вычислим координаты точек пересечения этих прямых с осями координат.

=...

=...

=...

=...

Построим вектор...= (4, 1) и целевую функцию по уравнению: 4x1 + x2 = 4

На рис. 1 видно, что оптимальное решение соответствует точке С, лежащей на пересечении прямых (2) и (3). Поэтому ее координаты находятся как решение системы линейных уравнений, задающих эти прямые:

При этом значение целевой функции

Рис. 1. Графическое решение задачи.

Ответ:...

Задача 40.

Проверим, является ли данная транспортная задача закрытой:

и...

Следовательно, данная транспортная задача закрытая. Найдем исходное решение по методу минимального тарифа.

Склады потребители запасы

175 5 175 15 18 16 8 350

6 40 10 15 160 6 200 4 400

25 10 20 240 10 15 18 250

потребление 175 225 240 160 200 1000

Число занятых клеток в таблице равно..., в нашем примере заполненных клеток оказалось 7, то есть условие невырожденности выполнено. Полученное исходное решение запишем в виде матрицы

Стоимость перевозки при исходном решении составляет:

Проверим найденное решение на оптимальность. Добавим в распределительную таблицу столбец...и строку.... Полагая..., найдем остальные... и....

1 2 3 4 5...

175 225 240 160 200

1 350 175 5 175 15 18 16 8 0

2 400 6 40 10 15 160 6 200 4 -5

3 250 25 10 20 240 10 15 18 5

5 15 5 11 9

Вычислим оценки свободных клеток:

Получили оценки... и..., следовательно, исходное решение не является оптимальным и его можно улучшить.

Выполним перераспределение груза. Получим новый опорный план.

1 2 3 4 5...

175 225 240 160 200

1 350 175 5 15 18 16 175 8 0

- +

2 400 6 215 10 15 160 6 25 4 -4

+ -

3 250 25 10 20 240 10 15 18 6

5 14 4 10 8

Вычислим оценки свободных клеток:

Получили оценки..., следовательно, исходное решение не является оптимальным и его можно улучшить.

Выполним перераспределение груза. Получим новый опорный план.

1 2 3 4 5...

175 225 240 160 200

1 350 175 5 15 18 16 175 8 0

2 400 6 225 10 15 150 6 25 4 -4

+ -

3 250 25 20 240 10 10 15 18 5

- +

5 14 5 10 8

Вычислим оценки свободных клеток:

Условия оптимальности выполнены для всех клеток. Следовательно, построенный план оптимален.

Ответ:......8075

Задача 48.

Составить экономико-математическую модель. Найти решение задачи линейного программирования при помощи средств Excel на ПК.

В суточном рационе кормления крупного рогатого скота должны быть не менее 20 кормовых единиц, не менее 2000 г белков и не менее 100 г кальция. Для кормления используют сено, силос, корнеплоды и концентраты. содержание питательных веществ в 1 кг каждого вида корма, а также его себестоимость представлены в таблице. Составить кормовой рацион минимальной стоимости.

Содержание питательных

веществ в 1 кг корма Корм

сено силос корнеплоды концентрат

Кормовая единица 0,5 0,2 6 0,8

Белки 40 10 12 200

Кальций 5 4 3 1

Себестоимость 1 кг корма, ден. ед. 2 1 2 4

Решение:

Введем следующие обозначения:

x1 - количество потребляемого сена

x2 - количество потребляемого силоса

x3 - количество потребляемых корнеплодов

x4 - количество потребляемого концентрата

Используя данные таблицы, определим необходимое количество каждого вида корма для рациона животных х = (х1, х2, х3, х4):

Содержание:

кормовых единиц = 0,5х1 + 0,2х2+6х3 + 0,5х4

белков = 40х1 + 10х2+12х3 + 200х4

кальция = 5х1 + 4х2+3х3 + х4

Так как количество питательных веществ не должно превышать суточного рациона, то имеем следующие ограничения

0,5х1 + 0,2х2+6х3 + 0,5х4 ? 20

40х1 + 10х2+12х3 + 200х4 ? 2000

5х1 + 4х2+3х3 + х4 ? 100

Кроме того также должны выполняться условия неотрицательности переменных х1, х2, x3, x4, т.е. х1 ? 0, х2 ? 0, x3? 0, x4? 0.

Целевая функция модели должна выражать основную цель деятельности предприятия: получение кормового рациона минимальной стоимости.

Если обозначить функцию себестоимости кормов через Z, то:

Z = 2х1 + х2+2х3 + 4х4

а основная цель может быть выражена так:

минимизировать целевую функцию Z =2х1 + х2+2х3 + 4х4

Таким образом, математическая модель минимизации стоимости суточного рациона крупного рогатого скота может быть записана в следующем виде.

Найти неизвестные значения переменных х1, х2, x3, x4, удовлетворяющие ограничениям

0,5х1 + 0,2х2+6х3 + 0,5х4 ? 20

40х1 + 10х2+12х3 + 200х4 ? 2000

5х1 + 4х2+3х3 + х4 ? 100

и доставляющие минимальное значение целевой функции

Z = 2х1 + х2+2х3 + 4х4? max.

Решим эту задачу с помощью Excel. Введем следующую таблицу, составленную из коэффициентов задачи (таблица 1).

В итоге получаем, что суточной рацион кормления крупного рогатого скота должен состоять из: сена -...кг, силоса -...кг, корнеплодов -..., концентратов -...кг. При этом стоимость кормового рациона составляет:...ден.ед.

Таблица 1. решение задачи с помощью Microsoft Excel.

Ответ:...кг...кг......кг.

ден.ед.